2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第4講　數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第4講數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教版【xx年高考會這樣考】1數(shù)學(xué)歸納法的原理及其步驟2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)時(shí)要抓住數(shù)學(xué)歸納法證明命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學(xué)歸納法在證明命題中的應(yīng)用技巧基礎(chǔ)梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法2數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)Pn是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：證明起始命題P1(或P0)成立；在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以斷定Pn對一切正整數(shù)成立(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：歸納奠基：證明當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立；歸納遞推：假設(shè)nk，(kN*，kn0)時(shí)，命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)，命題成立；由得出結(jié)論 兩個(gè)防范數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，第一步是遞推的“基礎(chǔ)”，第二步是遞推的“依據(jù)”，兩個(gè)步驟缺一不可，在證明過程中要防范以下兩點(diǎn)：(1) 第一步驗(yàn)證nn0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值(2)第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在證明nk1時(shí)，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法第二步關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”三個(gè)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)nn0時(shí)成立，要弄清楚命題的含義(2)由假設(shè)nk成立證nk1時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用nk成立的結(jié)論(3)要注意nk到nk1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)雙基自測1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0 等于()A1 B2 C3 D0解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形答案C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1f(n)(n2，nN*)的過程，由nk到nk1時(shí)，左邊增加了()A1項(xiàng) Bk項(xiàng) C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)解析1，共增加了2k項(xiàng)，故選D.答案D3用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1aa2an1(a1，nN*)”在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A1 B1a C1aa2 D1aa2a3答案C4某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得()An6時(shí)該命題不成立 Bn6時(shí)該命題成立Cn4時(shí)該命題不成立 Dn4時(shí)該命題成立解析法一由nk(kN*)成立，可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立因而若n4成立，必有n5成立現(xiàn)知n5不成立，所以n4一定不成立法二其逆否命題“若當(dāng)nk1時(shí)該命題不成立，則當(dāng)nk時(shí)也不成立”為真，故“n5時(shí)不成立”“n4時(shí)不成立”答案C5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由nk推導(dǎo)nk1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_解析不等式的左邊增加的式子是，故填.答案考向一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(nN*，n2)審題視點(diǎn) 注意第一步驗(yàn)證的值，在第二步推理證明時(shí)要注意把假設(shè)作為已知證明(1)當(dāng)n2時(shí)，右邊22tan tan 2左邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k2)時(shí)，等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk，那么當(dāng)nk1時(shí)，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)1tan ktan(k1)(k1)(k1)(k1)這就是說，當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)知，對任何nN*且n2，原等式成立 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要注意第(1)步中驗(yàn)證n0的值，如本題要取n02，在第(2)步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上正確地使用正切的差角公式【訓(xùn)練1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的nN*，.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對一切nN*等式都成立考向二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題【例2】是否存在正整數(shù)m使得f(n)(2n7)3n9對任意自然數(shù)n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由審題視點(diǎn) 觀察所給函數(shù)式，湊出推理要證明所需的項(xiàng)解由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然成立；(2)假設(shè)nk(kN*且k1)時(shí)，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；當(dāng)nk1時(shí)，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于3k11是2的倍數(shù)，故18(3k11)能被36整除，這就是說，當(dāng)nk1時(shí)，f(n)也能被36整除由(1)(2)可知對一切正整數(shù)n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除，m的最大值為36. 證明整除問題的關(guān)鍵“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證【訓(xùn)練2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假設(shè)nk(kN*且k1)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假設(shè)可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1時(shí)命題也成立，對任意nN*原命題成立考向三用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例3】用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立審題視點(diǎn) 本題用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，在推理過程中用放縮法，要注意放縮的“度”證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1；右邊.左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2，且kN*)時(shí)不等式成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立 在由nk到nk1的推證過程中，應(yīng)用放縮技巧，使問題得以簡化，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，從nk到nk1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較與1的大小，并說明理由解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，于是由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：當(dāng)n1時(shí)，a12111，結(jié)論成立；假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)結(jié)論成立，即ak2k1，則當(dāng)nk1時(shí)，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時(shí)，結(jié)論也成立由、知，對任意nN*，都有an2n1.即1an2n，1n1.考向四歸納、猜想、證明【例4】數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想審題視點(diǎn) 利用Sn與an的關(guān)系式求出an的前幾項(xiàng)，然后歸納出an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，a1a2S222a2，a2.當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S323a3，a3.當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)證明當(dāng)n1時(shí)，左邊a11，右邊1，左邊右邊，結(jié)論成立假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak，ak1，這表明nk1時(shí)，結(jié)論成立，由知猜想an成立 (1)歸納、猜想、證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例從特例入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律(2)數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法所運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決【訓(xùn)練4】 由下列各式1，11，1，12，1，你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明答案猜想：第n個(gè)不等式為1(nN*)(1)當(dāng)n1時(shí)，1，猜想正確(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時(shí)猜想正確，即1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，1.即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立對于任意nN*，不等式恒成立閱卷報(bào)告20由于方法選擇不當(dāng)導(dǎo)致失誤【問題診斷】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)，其難點(diǎn)在于歸納假設(shè)后，如何推證對下一個(gè)正整數(shù)值命題也成立.【防范措施】 把歸納假設(shè)當(dāng)做已知條件參加推理.明確對下一個(gè)正整數(shù)值命題成立的目標(biāo)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學(xué)歸納法.【示例】 在數(shù)列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：.實(shí)錄(1)由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2，所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對一切正整數(shù)都成立錯(cuò)因第二問由于不等式的右端為常數(shù)，結(jié)論本身是不能用數(shù)學(xué)歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強(qiáng)不等式后，用數(shù)學(xué)歸納法證明(2)當(dāng)n1時(shí)假設(shè)nk(kN*)時(shí)不等式成立即當(dāng)nk1時(shí)到此無法用數(shù)學(xué)歸納法證明正解(1)用實(shí)錄(1)(2)證明：.n2時(shí)，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.綜上，原不等式成立