2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 二次函數(shù)教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 二次函數(shù)教案 新人教A版知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義 形如：f(x)ax2bxc (a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)_ ax2bxc (a0)_ _. 頂點(diǎn)式：f(x)_ a(xm)2n(a0)_ _.零點(diǎn)式：f(x)_ a(xx1)(xx2) (a0)_ _.點(diǎn)評(píng)：.求二次函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法.根據(jù)所給條件的特征，可選擇一般式、頂點(diǎn)式或零點(diǎn)式中的一種來求.已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)a0定義域xR(個(gè)別題目有限制的，由解析式確定)值域a0a0y，)y(，a0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.知識(shí)點(diǎn)2 二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系當(dāng)?shù)膱D像與x軸無交點(diǎn)無實(shí)根的解集為或者是R; 當(dāng)?shù)膱D像與x軸相切有兩個(gè)相等的實(shí)根的解集為或者是R;當(dāng)?shù)膱D像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)有兩個(gè)不等的實(shí)根 的解集為或者是。知識(shí)點(diǎn)3 一元二次方程實(shí)根分布的充要條件一般地對(duì)于含有字母的一元二次方程的實(shí)根分布問題，用圖象求解，有如下結(jié)論：令（）（同理討論的結(jié)論）(1) x1, x2, x2,則(3) x1b, x2b,則 (4) x1b (b),則(5）若f(x)=0在區(qū)間( ,b)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根，則有點(diǎn)評(píng)：（1）討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：判別式； 區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)； 對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置在討論過程中，注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想.知識(shí)點(diǎn)4 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一般分為三種情況討論：（1）若對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（小）值；（或利用函數(shù)的單調(diào)性直接決定函數(shù)的最大（?。┲担?）若對(duì)稱軸在區(qū)間右邊，則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?；（3）若對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，則是函數(shù)的最小值（）或最大值（），再比較的大小決定函數(shù)的最大（小）值。點(diǎn)評(píng)：（1）兩個(gè)重要的結(jié)論：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值；單調(diào)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處取得最值。（2）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的討論的基點(diǎn)是對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置的討論，尤其當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)抓住討論的基點(diǎn)進(jìn)行討論。特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)對(duì)拋物線開口及結(jié)論的影響。題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù).解方法一設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，依題意有解之，得所求二次函數(shù)為y4x24x7.方法二設(shè)f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)， 拋物線對(duì)稱軸為x. m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n8，yf(x)a28.f(2)1，a281， 解之，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依題意知：f(x)10的兩根為x12，x21， 故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc (a0)； (2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k (a0)；(3)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).變式訓(xùn)練1：已知二次函數(shù)f(x)滿足：在x=1時(shí)有極值；圖象過點(diǎn)(0，-3)，且在該點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行。（1）求f(x)的解析式；（2）求函數(shù)g(x)=f(x2)的單調(diào)遞增區(qū)間。解：（1）設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則f(x)=2ax+b即解得 f(x)=x2-2x-3（2）g(x)=f(x2)=x4-2x2-3，g(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)列表：x(-，-1)(-1，0)(0，1)(1，+)f(x)-+-+f(x)由表可得：函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，0)，(1，+)題型二 二次函數(shù)中的單調(diào)性 例2已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6.(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.(3)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時(shí)定義域?yàn)閤6,6，且f(x)，f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0變式訓(xùn)練2：（1）.已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_ (，2_（2）已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過點(diǎn)(1,3)，且f (1x)f (1x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖象過點(diǎn)(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當(dāng)10時(shí)，F(xiàn)(x)的對(duì)稱軸為x，又F(x)在(1,1上是增函數(shù)或.1或10.當(dāng)10，即1時(shí)，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值范圍為(，0題型三二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例3（1）設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2，xt，t+1的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。解：（1）f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)當(dāng)t+11，即t0時(shí)，當(dāng)即0t1時(shí)，g(t)=f(1)=1；當(dāng)t1，函數(shù)在t，t+1上為增函數(shù)，g(t)=f(t)=t2-2t+2，g(t)=（2）已知函數(shù)的最大值為，求的值。（2）令，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，由，得（舍去）當(dāng)，即時(shí)，得或（舍去）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，由，得綜上可得：的值為或（3）已知a1，若f(x)=ax2-2x+1在區(qū)間1，3上的最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)， 求g(a)的函數(shù)表達(dá)式； 判斷函數(shù)g(a)的單調(diào)性，并求出g(a)的最小值。（3） f(x)=ax2-2x+1=a(x-)2+1-，由已知條件可知：13；當(dāng)12時(shí)，a1。M(a)=f(3)=9a-5, N(a)=f(x)min=1-，g(a)=9a-5-(1-)=9a+-6. 當(dāng)23時(shí)，a. M(a)=f(1)=a-1, N(a)=f(x)min=1-, g(a)=(a-1)-(1-)=a+-2。 g(a)= 當(dāng)a1a2，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)(1-)0，g(a)在，1上是增函數(shù)，最小值是g()=.g(a)在，1上是增函數(shù)，最小值是g()=.探究提高(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解.變式訓(xùn)練3：（1）已知函數(shù)f(x)4x24ax4aa2在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)最大值5，求a的值.解f(x)424a，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)為.當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在區(qū)間0,1上遞減，此時(shí)f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，即a24a50，a5或a1(舍去)當(dāng)01，即0a2時(shí)，ymaxf4a，令4a5，a(0,2)當(dāng)1，即a2時(shí)，f(x)在區(qū)間0,1上遞增ymaxf(1)4a2.令4a25，a12xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)由f(0)1得，c1. f(x)ax2bx1.又f(x1) f(x)2x，a(x1)2b(x1)1 (ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m10得，mbc,且f(1)=0,證明f(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn);（2） 在(1)的條件下,是否存在mR,使池f(m)= - a成立時(shí),f(m+3)為正數(shù),若存在,證明你的結(jié)論,若不存在,說明理由.（3）若對(duì),有2個(gè)不等實(shí)根,證明必有一個(gè)根屬于解:（1）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).（2）的一個(gè)根,由韋達(dá)定理知另一根為，在(1,+)單調(diào)遞增,即存在這樣的m使；（3）令,則是二次函數(shù).的根必有一個(gè)屬于.例6 二次函數(shù) 的零點(diǎn)分別為（1）證明 （2）證明（3）若滿足不等式|，試求的取值范圍.解：（1）由題意知x、x是一元二次方程ax的兩個(gè)實(shí)根，所以x+x=-x+x=-xx.所以(1+x)(1+x)=1.（2）由方程ax(a0)的判別式=1-4a0,解得0a所以y=ax( a0)的圖象的對(duì)稱軸-0，即aa，,若xa，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此時(shí)g(a)2a2. ()當(dāng)aa，a2，若xa， f(x)2a2a2. 此時(shí)g(a)a2，綜上，得g(a).分類討論的思想是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一.本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法.在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：一是求實(shí)數(shù)a的值時(shí)，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯(cuò)；二是求函數(shù)最值時(shí)，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論.除此外，解決函數(shù)問題時(shí)，以下幾點(diǎn)容易造成失分：1.含絕對(duì)值問題，去絕對(duì)值符號(hào)，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；2.分段函數(shù)求最值時(shí)要分段求，最后寫在一起時(shí)，沒有比較大小或不會(huì)比較出大小關(guān)系；3.解一元二次不等式時(shí)，不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻.方法與技巧1.數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問題的基本方法.特別是涉及二次方程、二次不等式的時(shí)候常常結(jié)合圖形尋找思路.2.含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題經(jīng)常使用的方法是分類討論.比如討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，又例如涉及二次不等式需討論根的大小等.3.關(guān)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)稱軸的判斷方法(1)對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x.(2)對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱軸方程為xa(a為常數(shù)).(3)對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱軸方程為xa(a為常數(shù)).注意：(2)(3)中，f(ax)f(ax)與f(x2a)f(x)是等價(jià)的.(4)利用配方法求二次函數(shù)yax2bxc (a0)對(duì)稱軸方程為x；(5)利用方程根法求對(duì)稱軸方程.若二次函數(shù)yf(x)對(duì)應(yīng)方程f(x)0的兩根為x1、x2，那么函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x.失誤與防范1.求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要經(jīng)過配方法，要熟練準(zhǔn)確利用配方法.2.對(duì)于函數(shù)yax2bxc要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須認(rèn)定a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況.3.對(duì)于二次函數(shù)yax2bxc (a0)給定了定義域?yàn)橐粋€(gè)區(qū)間k1，k2時(shí)，利用配方法求函數(shù)的最值是極其危險(xiǎn)的，一般要討論函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況，有時(shí)要討論下列四種情況：k1；k1；0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是 ( D)2.函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是 ()A.m2 B.m2 C.m1 D.m13.已知函數(shù)f(x)ax2(bc)x1 (a0)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閍c，b，則點(diǎn)(a，b)的軌跡是()A.線段 B.直線的一部分C.點(diǎn) D.圓錐曲線4.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(，0 B.2，) C.(，02，) D.0,25.已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(，0)6.函數(shù)f(x)x2(2a1)|x|1的定義域被分成了四個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A.a B.a D.a0，12，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.13.若方程x211x30a0的兩根均大于5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.14.已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍1,2a，則yf(x)的值域?yàn)開.三、解答題15.是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)x22axa的定義域?yàn)?,1時(shí)，值域?yàn)?,2？若存在，求a的值；若不存在，說明理由.解f(x)(xa)2aa2.當(dāng)a1時(shí)，f(x)在1,1上為增函數(shù)，a1(舍去)；當(dāng)1a0時(shí)，a1；當(dāng)01時(shí)，f(x)在1,1上為減函數(shù)，a不存在綜上可得a1.16.已知二次函數(shù)f(x)ax2bx (a，b為常數(shù)，且a0)，滿足條件f(1x)f(1x)，且方程f(x)x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n (mn)，使f(x)的定義域和值域分別為m，n和3m,3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由.解(1)f(x)滿足f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱而二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x，1.又f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，(b1)20.由得b1，a.f(x)x2x.(2)f(x)x2x(x1)2.如果存在滿足要求的m，n，則必需3n，n.從而mn0時(shí)，方程f(x)0只有一個(gè)實(shí)根；f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱；方程f(x)0至多有兩個(gè)實(shí)根其中正確的命題是_解析：c0時(shí)，f(x)x|x|b(x)x|x|bxf(x)，故f(x)是奇函數(shù)；b0，c0時(shí)，f(x)x|x|c0，x0時(shí)，x2c0無解，x0時(shí)，f(x)x2c0，x，有一個(gè)實(shí)數(shù)根7對(duì)于區(qū)間a，b上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)于區(qū)間a，b中的任意數(shù)x均有|f(x)g(x)|1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間a，b上是密切函數(shù)，a，b稱為密切區(qū)間若m(x)x23x4與n(x)2x3在某個(gè)區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則它的一個(gè)密切區(qū)間可能是_3,4 2,4 2,3 1,4解析：|m(x)n(x)|1|x25x7|1，解此絕對(duì)值不等式得2x3，故在區(qū)間2,3上|m(x)n(x)|的值域?yàn)?,1，|m(x)n(x)|1在2,3上恒成立8.已知函數(shù)f(x)的自變量的取值區(qū)間為A，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f(x)的保值區(qū)間.函數(shù)f(x)x2形如n，) (n(0，)的保值區(qū)間是_.9.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)x2(2t1)x12t.(1)求證：對(duì)于任意tR，方程f(x)1必有實(shí)數(shù)根； (2)若t，求證：方程f(x)0在區(qū)間(1,0)及上各有一個(gè)實(shí)根.證明(1)由于f(x)x2(2t1)x12t.f(x)1(x2t)(x1)0，(*)x1是方程(*)的根，即f(1)1.因此x1是f(x)1的實(shí)根，即f(x)必有實(shí)根(2)當(dāng)t0.f(0)12t20.又函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不間斷 因此f(x)0在區(qū)間(1,0)及上各有一個(gè)實(shí)根 10. 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)滿足條件：f(0)= 1；對(duì)任xR，均有f(x-4)=f(2-x);函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=x1的圖像相切.()求函數(shù)f(x)的解析式；()當(dāng)且僅當(dāng)x4,m(m4)時(shí)，f(x-t)g(x)恒成立，試求t，m的值.解：()由得c=1，由知， 即b=2a， 所以f(x)=ax2+2ax-1由知:方程ax2+2ax-1=x-1，即ax2+(2a-1)x=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，故。()當(dāng)且僅當(dāng)x4,m(m4)時(shí)，f(x-t)g(x)恒成立,不等式，即x2-2tx+t2-2t0的解集為4,m，,解得t=8,m=12或t=2,m=0m4, t=8,m=12符合題意。11設(shè)函數(shù)f(x)x22bxc(cb1)，f(1)0，方程f(x)10有實(shí)根(1)證明：3c1且b0；(2)若m是方程f(x)10的一個(gè)實(shí)根，判斷f(m4)的正負(fù)并加以證明解：(1)證明：f(1)012bc0b.又cb1，故c13c.方程f(x)10有實(shí)根，即x22bxc10有實(shí)根，故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1.又cb1，得3c1，由b知b0.(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1)，f(m)10，cm1，c4m430，f(m4)的符號(hào)為正