2019-2020年高中數(shù)學 《基本不等式》教案6 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 基本不等式教案6 蘇教版必修5教學目標:1 學會推導并掌握均值不等式定理;2 能夠簡單應用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。教學重點:均值不等式定理的證明及應用。教學難點:等號成立的條件及解題中的轉化技巧。教學過程: 重要不等式:如果a、bR,那么a 2b 2 2ab(當且僅當ab時取“”號)證明:a 2b 22ab(ab)2當ab時,(ab)20,當ab時,(ab)20所以,(ab)20 即a 2b 2 2ab由上面的結論,我們又可得到定理:如果a,b是正數(shù),那么 (當且僅當ab時取“”號)證明:()2()22a b2 即 顯然,當且僅當ab時,說明:1)我們稱為a,b的算術平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù),因而,此定理又可敘述為:兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2)a 2b 22ab和成立的條件是不同的:前者只要求a,b都是實數(shù),而后者要求a,b都是正數(shù).3)“當且僅當”的含義是充要條件.4)數(shù)列意義問:a,bR?例題講解:例1 已知x,y都是正數(shù),求證:(1)如果積xy是定值P,那么當xy時,和xy有最小值2; (2)如果和xy是定值S,那么當xy時,積xy有最大值S2證明:因為x,y都是正數(shù),所以 (1)積xy為定值P時,有 xy2上式當xy時,取“”號,因此,當xy時,和xy有最小值2.(2)和xy為定值S時,有 xy S 2上式當x=y時取“”號,因此,當x=y時,積xy有最大值S 2.說明:此例題反映的是利用均值定理求最值的方法,但應注意三個條件:)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù);)等號成立條件必須存在。師:接下來,我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.例2 :已知a、b、c、d都是正數(shù),求證:(abcd)(acbd)4abcd分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同時加強對均值不等式定理的條件的認識.證明:由a、b、c、d都是正數(shù),得0,0,abcd即(abcd)(acbd)4abcd例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元,池壁每1m2的造價為120元,問怎樣設計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元?分析:此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化,即建立函數(shù)關系式,然后求函數(shù)的最值,其中用到了均值不等式定理.解:設水池底面一邊的長度為xm,水池的總造價為l元,根據(jù)題意,得l240000720(x)2400007202240000720240297600當x,即x40時,l有最小值297600因此,當水池的底面是邊長為40m的正方形時,水池的總造價最低,最低總造價是297600元.評述:此題既是不等式性質在實際中的應用,應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立,又是不等式性質在求最值中的應用,應注意不等式性質的適用條件.為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用,我們來進行課堂練習.課本P91練習1,2,3,4.3課堂小結通過本節(jié)學習,要求大家掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會應用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值,但是在應用時,應注意定理的適用條件。4課后作業(yè)P94習題 1,2,3教學后記:抓住重點,強調概念,掌握。- 配套講稿:
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