中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題突破 專題五 幾何探究問題課件.ppt

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專題五 幾何探究問題,幾何探究問題主要涉及利用三角形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的探索與證明、三角形和四邊形的綜合探索與證明以及幾何動(dòng)態(tài)問題等.這是中考對幾何推理與證明能力考查的必然體現(xiàn),重在提高學(xué)生對圖形及性質(zhì)的認(rèn)識(shí),訓(xùn)練學(xué)生的推理能力,解題時(shí)應(yīng)注意演繹推理與合情推理的結(jié)合.全國各地的中考數(shù)學(xué)試題都把幾何探究問題作為中考的壓軸題之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23題、2015年的第23題、第2014年的第23題、2013年的第23題等.預(yù)計(jì)2017年安徽中考中,這類問題仍是考查的重點(diǎn)之一,需重點(diǎn)復(fù)習(xí).,幾何探究問題是中考必考題型,考查知識(shí)全面,綜合性強(qiáng),它把幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來,滲透數(shù)形結(jié)合思想,重在考查分析問題的能力、邏輯思維推理能力.如折疊類型、探究型、開放型、運(yùn)動(dòng)型、情境型等,背景鮮活,具有實(shí)用性和創(chuàng)造性,在考查考生計(jì)算能力的同時(shí),考查考生的閱讀理解能力、動(dòng)手操作能力、抽象思維能力、建模能力,力求引導(dǎo)考生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中去.需要通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等來確定所需求的結(jié)論、條件或方法,因而解題的策略是將其轉(zhuǎn)化為封閉性問題. 常用的解題策略: 1.找特征或模型:如中點(diǎn)、特殊角、折疊、相似結(jié)構(gòu)、三線合一、三角形面積等; 2.找思路:借助問與問之間的聯(lián)系,尋找條件和思路; 3.照搬:照搬前一問的方法和思路解決問題,如照搬字母、照搬輔助線、照搬全等、照搬相似等; 4.找結(jié)構(gòu):尋找不變的結(jié)構(gòu),利用不變結(jié)構(gòu)的特征解決問題.常見的不變結(jié)構(gòu)及方法:有直角,作垂線,找全等或相似;有中點(diǎn),作倍長,通過全等轉(zhuǎn)移邊和角;有平行,找相似,轉(zhuǎn)比例.,題型2,題型1,題型3,題型1 與全等三角形有關(guān)的探究 典例1 (2016山東泰安)(1)已知:ABC是等腰三角形,其底邊是BC,點(diǎn)D在線段AB上,E是直線BC上一點(diǎn),且DEC=DCE,若A=60(如圖),求證:EB=AD; (2)若將(1)中的“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長線上”,其他條件不變(如圖),(1)的結(jié)論是否成立,并說明理由; (3)若將(1)中的“若A=60”改為“若A=90”,其他條件不變,則 的值是多少?(直接寫出結(jié)論,不要求寫解答過程),題型2,題型1,題型3,【解析】(1)作DFBC交AC于F,由已知得ABC和ADF均為等邊三角形,則AD=DF,利用AAS證明DBECFD,得EB=DF,從而EB=AD;(2)作DFBC交AC的延長線于點(diǎn)F,同(1)證出DBECFD,得出EB=DF,即可得出結(jié)論;(3)作DFBC交AC于點(diǎn)F,同(1)得:DBECFD,得出EB=DF,證出ADF是等腰直角三角形,得出DF= AD,即可得出結(jié)果.,題型2,題型1,題型3,【答案】 (1)作DFBC交AC于點(diǎn)F,如圖1所示. ADF=ABC,AFD=ACB,FDC=DCE, ABC是等腰三角形,A=60, ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60, DBE=120,ADF=AFD=60=A, ADF是等邊三角形,DFC=120,AD=DF, DEC=DCE,FDC=DEC,ED=CD, DBECFD(AAS),EB=DF,EB=AD.,題型2,題型1,題型3,(2)EB=AD成立. 理由如下: 作DFBC交AC的延長線于點(diǎn)F,如圖2所示. 由(1)得AD=DF,FDC=ECD,FDC=DEC,ED=CD, 又DBE=DFC=60, DBECFD(AAS),EB=DF, EB=AD.,題型2,題型1,題型3,理由如下: 作DFBC交AC于點(diǎn)F,如圖3所示: 同(1)得:DBECFD(AAS),EB=DF, ABC是等腰直角三角形,DFBC, ADF是等腰直角三角形,題型2,題型1,題型3,題型2 與相似三角形有關(guān)的探究 典例2 (2016內(nèi)蒙古包頭)如圖,已知一個(gè)直角三角形紙片ACB,其中ACB=90,AC=4,BC=3,E,F分別是AC,AB邊上的點(diǎn),連接EF. (1)如圖1,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3SEDF,求AE的長. (2)如圖2,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MFCA. 試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論; 求EF的長.,題型2,題型1,題型3,題型2,題型1,題型3,題型2,題型1,題型3,【答案】 (1)如圖1,ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處, EFAB,AEFDEF, SAEFSDEF, S四邊形ECBF=3SEDF,SABC=4SAEF, 在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=3,題型2,題型1,題型3,(2)四邊形AEMF為菱形.理由如下: 如圖2,ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)M處, AE=EM,AF=MF,AFE=MFE, MFAC,AEF=MFE, AEF=AFE,AE=AF, AE=EM=MF=AF, 四邊形AEMF為菱形. 連接AM交EF于點(diǎn)O,如圖2, 設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4-x, 四邊形AEMF為菱形,EMAB, CMECBA,題型2,題型1,題型3,(3)如圖3,作FHBC于點(diǎn)H, ECFH,NCENHF, 設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x, FHAC,BFHBAC,題型2,題型1,題型3,題型2,題型1,題型3,題型3 與全等和相似三角形有關(guān)的探究 典例3 (2016湖北黃石)在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2. (1)如圖1,若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為F,求證:ADFABC. (2)如圖2,在(1)的條件下,若=45,求證:DE2=BD2+CE2. (3)如圖3,若=45,點(diǎn)E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.,題型2,題型1,題型3,【解析】本題考查軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理.(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得DAE=FAE,AD=AF,再得出BAC=DAF,然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似得以證明;(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AD=AF,再求出BAD=CAF,然后利用邊角邊證明ABD和ACF全等,根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得CF=BD,ACF=ABD,然后求出ECF=90,最后利用勾股定理證明即可;(3)作點(diǎn)D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)F,連接AF,EF,CF,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出BAD=CAF,再結(jié)合(2)即可.,題型2,題型1,題型3,【答案】 (1)D,F關(guān)于直線AE對稱, DE=EF, DAE=FAE=, DAF=2=BAC, 又AB=AC,AD=AF,ADFABC. (2)DAF=2=BAC, DAF-DAC=BAC-DAC,即BAD=CAF, 又AB=AC,AD=AF, BADCAF, BD=CF, 且ACF=ABD=45,即ECF=90, 在ECF中,結(jié)合已證明的得DE2=BD2+CE2.,題型2,題型1,題型3,(3)解法1:將CAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得BAF,連接DF,如圖2所示. BF=CE, AF=AE, ACE=135=ABF,ABC=45, FBD=90, 即DF2=BF2+BD2, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),BAF=CAE, BAF+FAC=CAE+FAC=2, DAF=FAE-DAE=2-=,AF=AE, 又AD為公共邊, DAFDAE,即DF=DE. 將代入式, 得DE2=BD2+CE2.,題型2,題型1,題型3,解法2:作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)F,連接AF,EF,CF,如圖3所示. AD=AF,DE=EF, DAE=FAE=, DAF=2=BAC, 即DAF-DAC=BAC-DAC, BAD=CAF. 又AB=AC,AD=AF. BADCAF, BD=CF, 且ACF=ABD=45, DCF=DCA+ACF=90, CFCE,EF2=FC2+CE2, 將代入得DE2=BD2+CE2.,2,1,3,4,5,6,7,8,1.(1)問題發(fā)現(xiàn) 如圖1,ABC和ADE均為等邊三角形,點(diǎn)D在BC的延長線上,連接CE,請?zhí)羁? ACE的度數(shù)為 ; 線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系為 . (2)拓展探究 如圖2,ABC和ADE均為等腰直角三角形, BAC=DAE=90,點(diǎn)D在邊BC的延長線上, 連接CE,請判斷ACE的度數(shù)及線段AC,CD,CE 之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由. (3)問題解決 如圖3,在RtABC中,AC=3,BC=5,ACB=90,若點(diǎn)P滿足PA=PB,APB=90,請直接寫出線段PC的長度.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)ABC為等邊三角形, AB=AC=BC,BAC=60, ADE為等邊三角形, AD=AE,DAE=60, BAC+DAC=DAE+DAC,即BAD=CAE, ABDACE(SAS), ACE=B=60. ABDACE,BD=CE, BC=BD-CD=CE-CD, AC=CE-CD.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)ABC和ADE均為等腰直角三角形, AB=AC,BAD=CAE,AD=AE, ACEABD(SAS), ACE=B=45,BD=CE,即BC+CD=CE, BC=CE-CD,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,如圖(2),點(diǎn)C,P在AB的異側(cè)時(shí), 過點(diǎn)A作ADPC于點(diǎn)D, ACB=APB=90,A,B,P,C四點(diǎn)共圓, ACD=ABC=45,APD=ABC,2,1,3,4,5,6,7,8,2.如圖1,在平行四邊形ABCD中,AEBC于點(diǎn)E,E恰為BC的中點(diǎn),tan B=2. (1)求證:AD=AE; (2)如圖2,點(diǎn)P在線段BE上,作EFDP于點(diǎn)F,連接AF,求證:DF-EF= AF.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)如圖1,AEBC,AEB=90, tan B=2, =2,AE=2BE, E為BC的中點(diǎn),BC=2BE, AE=BC. 四邊形ABCD是平行四邊形, AD=BC, AD=AE. (2)如圖,作AMAF,交DP于點(diǎn)M,則MAF=90. 四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC, AEBC,AEAD, DAE=MAF=90, DAM=FAE=90-MAE. AEBC,EFDP,AEP=EFP=90,2,1,3,4,5,6,7,8,AEF+PEF=90,PEF+FPE=90, AEF=FPE, ADBC,ADM=FPE, ADM=AEF, 在ADM和AEF中, AM=AF,DM=EF, DF-EF=MF.,2,1,3,4,5,6,7,8,3.(2016武漢)在ABC中,P為AB上一點(diǎn). (1)如圖1,若ACP=B,求證:AC2=APAB. (2)若M為CP的中點(diǎn),AC=2. 如圖2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的長; 如圖3,若ABC=45,A=BMP=60,直接寫出BP的長.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如圖,取AP中點(diǎn)G,連接MG. 設(shè)AG=x,則PG=x,BG=3-x.,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,4.(2016北京)在等邊ABC中, (1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點(diǎn),AP=AQ,BAP=20,求AQB的度數(shù); (2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M,連接AM,PM. 依題意將圖2補(bǔ)全; 小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想:在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過程中, 始終有PA=PM.小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論, 形成了證明該猜想的幾種想法: 想法1:要證明PA=PM,只需證APM是等邊三角形; 想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證ANPPCM; 想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK 請你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可).,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)AP=AQ,APQ=AQP, APB=AQC, ABC是等邊三角形, B=C=60, BAP=CAQ=20, AQB=APQ=BAP+B=80.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如圖所示. 如圖,AP=AQ,APQ=AQP, APB=AQC, ABC是等邊三角形,B=C=60, BAP=CAQ, 點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M, AQ=AM,QAC=MAC, MAC=BAP,BAP+PAC=MAC+CAP=60, PAM=60, AP=AQ,AP=AM, APM是等邊三角形, PA=PM.,2,1,3,4,5,6,7,8,5.(2016貴陽)(1)閱讀理解: 如圖,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍. 解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到EBD),把AB,AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是 ; (2)問題解決: 如圖,在ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DEDF于點(diǎn)D, DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CFEF; (3)問題拓展: 如圖,在四邊形ABCD中,B+D=180,CB=CD,BCD=140,以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖所示: AD是BC邊上的中線, BD=CD, BDECDA(SAS), BE=AC=6, 在ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得:AB-BEAEAB+BE, 10-6AE10+6,即4AE16, 2AD8.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM,EM,如圖所示: 由(1)得BMDCFD(SAS), BM=CF, DEDF,DM=DF,EM=EF, 在BME中,由三角形的三邊關(guān)系得:BE+BMEM, BE+CFEF.,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)BE+DF=EF. 理由如下: 延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖所示: ABC+D=180,NBC+ABC=180, NBC=D, NBCFDC(SAS), CN=CF,NCB=FCD, BCD=140,ECF=70, BCE+FCD=70, ECN=70=ECF,2,1,3,4,5,6,7,8,NCEFCE(SAS), EN=EF, BE+BN=EN, BE+DF=EF.,2,1,3,4,5,6,7,8,6.(2016福建莆田)若正方形有兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)在三角形的同一條邊上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另兩條邊上,則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形,ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,各邊上的高分別記為ha,hb,hc,各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為xa,xb,xc (1)模擬探究:如圖,正方形EFGH為ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形, (3)拓展延伸:若ABC為銳角三角形,bc,請判斷xb與xc的大小,并說明理由.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)正方形EFGH中,EHFG, AEHABC, ADBC,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,7.如圖,ABC中,ADBC,DEAC于E,AFBE于H,交DE于F, (1)求證:ADFBCE; (2)若AB=AC,求證:DF=EF; (3)在(2)的條件下,若EAF=30,直接寫出cos EBC的值.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)如圖,ADBC, ADC=90,即1+EDC=90, DEAC,DEC=90, EDC+C=90, 1=C, AHBE,SAH+ASH=90, 又2+BSD=90,BSD=ASH, SAH=2, ADFBCE.,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如圖2,DCE=ACD, RtCDERtCAD,2,1,3,4,5,6,7,8,提示:如圖3,設(shè)EF=x,則DF=EF=x,在RtAEF中,EAF=30,AF=2EF=2x,AE=,2,1,3,4,5,6,7,8,8.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB的延長線上,連接CE,AFCE,AF分別交線段CE,邊BC,對角線BD于點(diǎn)F,G,H(點(diǎn)F不與點(diǎn)C,E重合). (1)當(dāng)點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)時(shí),求GF的長; (2)設(shè)BE=x,OH=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的自變量的取值范圍; (3)當(dāng)BHG是等腰三角形時(shí),求BE的長.,2,1,3,4,5,6,7,8,解:(1)AB=8,BC=6,AC=10, AFCE,AFC=AFE=90, 點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn),CF=EF. 在ACF和AEF中, AE=AC=10,BE=2. CGF=AGB,GFC=ABG, FCG=GAB,CBE=ABG, CBEABG,2,1,3,4,5,6,7,8,2,1,3,4,5,6,7,8,(2)如圖所示,作BMAF,ONAF,垂足分別為點(diǎn)M,N, AFCE,ONBMCE, ONHBMH,ANOAFC,BMGCFG,2,1,3,4,5,6,7,8,(3)BHG是等腰三角形, 當(dāng)BH=BG時(shí),AHDGHB,即BE=3; 當(dāng)GH=GB時(shí),得出AHD=ADH,AH=AD=6,設(shè)BG=t, 則AB2+BG2=AG2, 即82+t2=(6+t)2,2,1,3,4,5,6,7,8,當(dāng)HG=HB時(shí),得出HGB=HBG=OCB,即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合(不符合題意). 綜上所述,當(dāng)BHG為等腰三角形時(shí),BE=3或BE= .,