基于幾何方法精確分析一類三自由度的平面并聯機器人外文文獻翻譯、中英文翻譯

基于幾何方法精確分析一類三自由度的平面并聯機器人外文文獻翻譯、中英文翻譯,基于,幾何,方法,法子,精確,分析,一類,自由度,平面,并聯,機器人,外文,文獻,翻譯,中英文 基于幾何方法精確分析一類三自由度的平面并聯機器人Alexander Yu（a），Ilian A. Bonev（b），Paul Zsombor-Murray（a）（a）機械工程學院，McGill大學，817 Sherbrooke St.W ，蒙特利爾，加拿大H3A 2K6 （b）自動化制造工程部，E cole de technologie supe rieure (E TS) （a）1100 Notre-Dame St.W.，蒙特利爾，魁北克，加拿大 H3C 1K32006年6月12收到; 2006年12月11收到訂正形式; 2007年3月16號被接受2007年5月3日出現在網上摘要并聯機器人正越來越多地被用于工業(yè)的精確定位和調整。他們的優(yōu)點是剛性好，快速，準確。隨著并聯機器人被廣泛使用，我們有必要制定一種方法來比較不同的并聯機器人設計方案。但是不存在一個簡單的方法用來充分比較并聯機器人的精確度。過去已有某些被采用的指標如靈活度，可達工作空間和總體調節(jié)指數，但當它們用于既有平移又有轉動自由度的機器人時表現都不完美。針對這些問題，本文提出了一種簡單的幾何方法來精確計算由于驅動元件的準確性不夠而引起的局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。這個方法是針對一類三自由度平面并聯機器人的，該類機器人的最大的工作空間是由圓弧和直線段構成的，并且工作空間內沒有奇異位置。三個特別設計的方案用于說明這種方法。 2007 Elsevier Ltd. 版權所有。關鍵詞：并聯機器人； 靈活度；工作空間； 位置； 精確性；誤差分析1. 引言 并聯機器人一度是實驗室里純學術的東西，但是在最近幾年它已經被越來越多地用于工業(yè)上的定位和調整。由于當今市場有這些快速和敏捷的機器人的需求，因此新的并聯機器人正在被設計和制造。但是，仍然有許多設計新的并聯機器人的關鍵問題沒有解決，如優(yōu)化設計和性能標指。怎么能證明一個新的并聯機器人設計是現有機器人的優(yōu)化方案呢？根據機器人的工作空間來評價該機器人的性能是否就足夠了呢？顯然，在當前工業(yè)環(huán)境下，答案是否定的，因為在許多應用中定位精度已成為一個關鍵的問題。有幾個很好的界定性能指標已被廣泛的用于串聯和并聯的機器人。然而，最近的一項研究 1 再次審查這些指標，并討論其用于有平移和旋轉自由度的并聯機器人的嚴重不一致性。該研究審查了最常見的指標，優(yōu)化并聯機器人：靈活度 2 和整體協調指數。用各種條件指數應用于機器人以找出其靈活度，以提高其準確性，如兩種標準指數或弗洛比尼斯指數，并通過計算機器人的全部工作空間來了解它的整體協調指數。 3 論文的結論是，這些指標不應當用于混合自由度類型的并聯機器人（平移和旋轉） 。當作者設計了一個新的三自由度（ 3自由度）平面并聯機器人，他們用靈活度來比較類似的設計 4 。這種是比較公平的，因為設計允許使用相同的層面。但是如果比較的是一個變化的單位（例如，從厘米級到毫米級） ，這些數字的指數將發(fā)生重大變化。更高價值的長度單位實質上將使機器人的靈活度接近0。如圖1所示。靈活度指標對使用部件的類型和部件的重要性非常敏感，因為靈活度依賴于雅可比矩陣。這個矩陣混合了可變的功能，如平移和旋轉功能。一種可能的解決這一問題的辦法是增加了條件數，但是每個條件都是由特定的問題來描述的 1 。整體協調指數（ GCI ）可以用來評估機器人在其工作空間里指標，它可用于機器人的優(yōu)化設計。但是，仍然存在著兩個問題，這指數。首先，它仍是依賴于一些問題的條件，這些問題必須已被概括描述出來 1 。其次，它是計算密集型的。顯然，工業(yè)并聯機器人最好的測量精度應與局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差在一個數量級上，因為驅動器誤差（輸入誤差） ，或一些廣義的誤差（例如，在特定工作空間里的均值和方差的誤差） 。一般方法可以在區(qū)間分析的基礎上近似計算這些誤差 5 。但是，此方法計算密集型的，并沒有深入到此問題優(yōu)化設計的運動學分析。圖 1 靈活度例子（a） PreXYT ， （b） HephAist并聯機器人（ c ）星三角并聯機器人。圖2 （a） PreXYT （正在申請專利）（ b ） HephAist的NAF3型校準臺（courtesy of HephAist Seiko Co., Ltd） 。與此相反，本文提出了一種簡單的幾何方法用于準確的計算一類三自由度平面完全并聯機器人局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。該機器人的可達工作空間是由圓弧和直線組成的，并且工作空間內沒有奇異位置。該方法不僅速度快于其他任何方法（針對特定類別的并聯機器人） ，而且也帶來了有價值的運動學分析。這種做法體現在三個特別設計，這些設計中最佳微定位的位置在相對較大的工作空間里的位置頗有不同：1. 一種新的并聯機器人，名為PreXYT ，由E cole de technologie superieure (E TS)設計和建造，它具有獨特2-PRP/1-PPR配置（ P和R用于被動棱柱和旋轉接頭，而P用于驅動滑移鉸）。圖2（a）顯示的是PreXYT的CAD模型。2. HephAist的3-PRP并聯機器人，由日本公司HephAist Seiko設計 ，目前已投入商業(yè)使用。圖2顯示的是其工業(yè)模型的照片。3. 星三角并聯機器人是另外一種在法國LIRMM設計的3-PRP并聯機器人 6 。這種機器人是雙三角并聯機器人的優(yōu)化設計方案 7 。其余內容安排如下。下一節(jié)介紹了擬議的幾何方法。然后，第3節(jié)介紹了所有三個并聯機器人逆運動學方程和直接運動學方程，其精確度將是本文研究重點。第4節(jié)簡要敘述了這三個機器人幾何形狀不變的工作空間。第5節(jié)適用于擬議的幾何方法計算局部最大位置度誤差和局部最大方向度誤差。最后一節(jié)給出了結論。2.幾何方法計算輸出誤差考慮三自由度完全平行平面機器人在一個理想的（名義上）狀態(tài)下。設x， y和表示移動平臺的假設位置和假設方向，1、2和3表示活動關節(jié)的變量。由于驅動器的誤差是 ，實際活動關節(jié)變量的范圍大概在1-，2+。因此，移動平臺的實際位置和方向分別是x+x，y+y，和+。現在的問題是給動機器人的公稱尺寸（x，y，1，2，3）和公差范圍 ，怎樣確定最大位置誤差和最大方向誤差。例如，最大位置誤差 max=maxx2+y2 ，最大方向誤差max=max。 為了計算這些誤差，我們基本上需要找到活動關節(jié)的變量中存在誤差的值。最大的錯誤是假設無論什么類型的機器人，無論機器人的尺寸如何，當機器人的活動關節(jié)變量受最大輸入誤差影響時，產生最大位置誤差，如誤差是+或-。事實上，在 8 ，這是代數證明的最大方向角的三自由度平面并聯機器人，在兩條支鏈平行時，在兩條支鏈平行時可能會出現第1類（串聯）或第2類（并聯）奇異，這就是間隔輸入誤差。同樣，有人證明，并非所有活動關節(jié)變量必須在間隔輸入誤差里才會產生最大位置誤差。當然，雖然也有例外，三自由度平面并聯機器人用于精確定位操作遠離第1類奇異點，當然也遠離第2類奇異（如果存在） 。另外，無論機器人得兩條支鏈是否平行都很容易推斷出局部最大方向誤差，并且很容易設計出這種沒有奇異點的機器人。因此，實際上當八個活動關節(jié)變量中有一個的輸入誤差是+或-時，這種三自由度平面并聯機器人會產生局部最大方向誤差。 現在，找到局部最大位置誤差相當于找到距離移動平臺通常位置最遠的不確定區(qū)域的中心點。這種不確定區(qū)域基本上是機器人通過改變活動鉸鏈所能到達的最大工作空間，距離是i-，i+ 。顯然正因為這一點，我們正在尋求在邊界的最大工作空間。在 9 中有一個計算邊界的幾何算法 ，但我們不會在這里討論細節(jié)。我們只需要提及的是組成這一邊界部份的曲線的形態(tài)，至少有一條支鏈會出現第1類奇異（這不在我們的研究范圍之內） ，或者解耦度較低。當這些曲線是由直線段或圓弧組成時，這將是非常容易距離移動平臺通常位置最遠的不確定區(qū)域的中心點。這一點將會是最大工作空間的交匯點。下面，將三個例子加以研究，以說明擬議的幾何方法。3 。運動學分析和逆運動學分析 從圖3a-c可以看出，基礎參考系Oxy固定在地面上，定義一個每個平面都是水平運動的并聯機器人。同樣，移動參照系Cx y是固定在移動平臺上的，并且與Oxy在同一平面內。定義Ai是轉動支鏈i的轉軸點（本文中，i=1，2，3），并且在Oxy平面內。 從圖3a和b中可以看出，基礎y軸沿著A2點的運動方向 ，而運動的x 軸沿著線A2A3的方向。從圖3a中可以看出，原點C與A1點重合。而在圖3b中，原點C 的擺放可以使A1沿著y 軸移動。S是A2和A3兩點的平行移動路徑之間的距離。而在HephAist的調整平臺，H是基礎坐標系x軸與A1移動路徑之間的距離。 從圖3中可以看出，設Oi是等邊三角形的三個頂點。令O點與O1點重合，令基礎坐標系x軸與線O1O2重合。令移動平臺上三條交叉線的交點是C點，讓C點隨著Ai點的移動而移動。這三條線之間的夾角相同。最后，移動坐標系y 軸與線A1C重合。圖。 3 。示意圖（a） PreXYT （正在申請專利） ， （b） HephAist的并聯機器人和（ c ）星三角并聯機器人。 令i是活動鉸鏈的距離，定義如下。以PreXYT和HephAist的調整平臺（圖3a和b ）為例，1是基礎坐標系y軸到A1點的距離 ，而2和3是基礎坐標系x軸分別到A2和A3的距離。最后，對于星三角機器人（圖3C） ，i是Oi到Ai的距離。事實上，對于星三角機器人，從機械設計上保證了Ai不能與Oi重合。3.1. PreXYT給定活動鉸鏈變量，可以非常好的直截了當的確定移動平臺的位置和方向。方向角也是很容易得到的,如：=tan-1 3-2s（1）而移動平臺的位置如下確定x=1（2）y=2+1(_3-_2s)（3）從這個例子可以看到，直接運動學PreXYT非常簡單，部分解耦。逆運動學分析也是很簡單的。根據移動平臺位置和方向可以如下獲得活動鉸鏈變量：1=x（4）2=y-x tan（5）3=y+s-xtan（6）Obviously, PreXYT has no singularities (provided that s is non-zero).顯然， PreXYT沒有奇異點（前提是S是非零） 。3.2 。 HephAist的并聯機器人給定活動鉸鏈變量，可以非常好的直截了當的確定移動平臺的位置和方向。方向角度的方程和方程（1）非常相似。移動平臺的位置是A_2A_3與過A_1且與A_2A_3正交的線的交點。因此可以由方程計算出x和y：x=d1s+h-23-2s2+3-22 （7）y=s22+h3-22+s1(3-2)s2+3-22 （8）我們可以看到，直接運動學HephAist的并聯機器人更為復雜而且耦合度高。逆運動學是比較容易解決的。根據移動平臺的位置和方向，可以獲得活動鉸鏈變量：1=x-h-ytan（9）2=y-x tan（10）3=y+s-xtan（11）由方程（7）-（11）定義（假設s是50），很顯然，這并聯機器人也沒有奇異點。注意 ，這是很大的優(yōu)勢，通常大多數平面并聯機器人都有奇異點。3.3 。星三角并聯機器人給定活動鉸鏈變量，通過這種直接的運動中使用的方法，如 10 中，可以非常好的直截了當的確定移動平臺的位置和方向。在圖4中，通過下列幾何的基礎上定義的第一次費爾馬點可以很容易的獲得C點的位置。圖。 4 。星三角并聯機器人的運動學求解由于三角形A1A2A3中，沒有任何一個角大于120度 （因為點Ai無法移動到三角形O1O2O3外面），等邊三角形在它外面。用Qi表示三角形最外層的角（見圖4 ）。然后使QiAi成120度并且相交于一點，即所謂的第一費爾馬點。這一點是移動支架的原點C。雖然目前移動平臺的位置是唯一的，但有兩種可能的方向角（和+180） 。但是，很明顯只兩個方案中只有一個是是可行的（那個-9090是可行的） 。要找到C點的坐標和方向角度 ，必須進行以下簡單的計算。讓Qi表示Ai到Qi的矢量，ai=xAiyAiT表示O到Ai點的矢量。因此，Qi可以被很簡單的寫成：qixQiyQi=12aj+ak+32E(aj-ak)（12）其中E=-1001（13）而且（i，j，k）=（1，2，3），（2，3，1）或（3，1，2）?，F在拿A1Q1和A2Q2來舉例說明，它們的交點是C，坐標如下：x=xA1yQ1-xQ1yA1xA2-xQ2-xA2yQ2-xQ2yA2xA1-xQ1xA1-xQ1yA2-yQ2-xA2-xQ2yA1-yQ1（14）y=xA1yQ1-xQ1yA1yA2-yQ2-xA2yQ2-xQ2yA2yA1-yQ1xA1-xQ1yA2-yQ2-xA2-xQ2yA1-yQ1（15）移動平臺的方向可通過測量線A_1C和基礎坐標系y軸的夾角來獲得：=a tan2y-yA1，x-xA1（16）這個裝置的逆運動學也很容易解決的。讓矢量c=x，yT表示基礎坐標系原點O到移動平臺原點C的距離。bi和pi分別表示沿著線OiAi和CAi的單位長度。然后，它可以被很容易地表示：i=biTE(oi-c)biTEpi-d（17）其中d是的三角形O1O2O3各頂點和相應初始位置之間的線性調節(jié)器（見圖3c） 。4 。恒方向工作空間分析 不變方向（位置）工作的平面并聯機器人 9 存在一個簡單的幾何計算方法。雖然，計算恒定方向工作的三個機器人時沒有必要精確計算。這個工作空間的分析表明，這些機器人沒有簡單的關系，精確的工作空間形狀和尺寸。為了能夠公平比較，這將假定只有限個制約工作機器人驅動器的限制。在這種情況下，恒定方向工作的所有三個平面并聯機器人可以很容易達到如圖5所示的幾何形狀，那里的恒定方向工作空間顯示為一塊區(qū)域。很顯然，導向工作的PreXYT的工作空間為任何非零方向大于恒定方向工作的HephAist機器人的工作空間。此外，導向工作的PreXYT機器人始終有兩到三個運動方向 ，而位置不變的恒定方向工作的HephAist的機器人是非常不同的。這意味著，局部地區(qū)每個點在某一范圍內至少有一個方向，-max，max，并且比PreXYT更大 。然而，所謂的最大的工作空間（所有能到達的位置）HephAist的并聯機器人要大得多的。不幸的是，圖5c不能明確表明恒定方向工作的平面星三角并聯機器人的工作空間是否大于其他兩個機器人，因為方向不一樣，也沒有限制的驅動器。事實上，在零方向，導向工作的PreXYT工作空間大于星三角并聯機器人，但是除了某些特定的方向角，情況就會反過來。然而，很明顯，星三角并聯機器人的最大工作空間大于PreXYT （這是一個正方形，其副作用是致i動器的運動）。直觀地看，一個機器人的工作空間越大，它的定位精度就越低。但是，如果只考慮最大位置度誤差（如文中所做） ，而沒有考慮它是否在準確定義的最大工作空間內，就會出現極端的現象，它將會在下一節(jié)中出現。5 。誤差分析因為用于比較的原因，將被認為所有這三個并聯機器人使用相同的驅動器，其行程為500毫米。設這些驅動器的精確度是=0.05毫米，這意味著如果活動鉸鏈i的形式參數是Qi，那 么它的實際參數再i-，i+范圍內。設星三角并聯機器人的偏距是100毫米?；谶@些假設，它現在將顯示，可以使用簡單幾何方法來分析最大的方向和位置誤差。圖5 恒方向工作空間（a） PreXYT ， （b） HephAist的并聯機器人和（ c ）星三角并聯機器人。5.1. PreXYT5.1.1 。最大方向度誤差圖6a顯示，很明顯，最大方向度誤差并不取決于名義位置的移動平臺并且最大方向度誤差發(fā)生在2號和3號驅動器各自在_2和_3的位置（取決于名義方向角的符號，這將是兩個組合） 。為了分析方向度誤差，應分析一個簡單的系統的類似三角形。跳過詳細分析，可以表示最大方向角：max=sin-12coss2+s tan-22（18）是名義上的方向角。圖7顯示了PreXYT用作表示的名義方向角時的最大的方向誤差。顯然，這清楚地表明，當增加， max下降。5.1.2 。最大位置度誤差再次談到圖6a，陰影區(qū)域是活動鉸鏈的角度在i-，i+范圍內的最大工作空間。事實上，這是該地區(qū)在C點。其幾何計算 9 是相當簡單的，三自由度并聯機器人的腿關節(jié)有兩個平動關節(jié)和一個轉動關節(jié)。最大工作空間的邊界是，當兩個驅動器正處于一個極限點時，C點描述的曲線。請注意，對于一般3自由度平面并聯機器人的界限，最大的工作空間的邊界可能還包括其中一條支鏈是在奇異位置時的曲線，在奇異位置時計算很復雜。圖。 6 。獲得的最大位置度誤差 （a） PreXYT ， （b） HephAist的并聯機器人和（ c ）星三角并聯機器人。圖。 7 。最大方向度誤差函數的名義方向角PreXYT 。圖。 8 。最大位置度誤差函數的名義方向角PreXYT 。但幸運的是，所有三個并聯機器人的所有支鏈都沒有奇異位置（在不拆卸機器人的情況下）。要找的最大位置度誤差，就應該找到名義位置與最大工作空間邊界的最大距離。分析一個通用3自由度平面并聯機器人很困難，最大工作空間的邊界可能是橢圓的一個片斷或者是連續(xù)狀態(tài)。然而，三自由度并聯機器人的腿關節(jié)有兩個平動關節(jié)和一個轉動關節(jié)（或者是交叉形的）。而且由于這些環(huán)形交叉口的中心明顯在最大工作空間外（與驅動器的行程相比非常小），最大位置度誤差發(fā)生在最大工作空間的一個角落。即，當三個驅動器正處于一個極限位置時。因此，只有8個可能性（8個角）應檢查移動平臺的每個名義位置和方向。然而對PreXYT來說，最大工作空間是一個平行四邊形，最大位置度誤差max較長對角線的一半。因此，下面的簡單方程表示PreXYT的最大位置度誤差：max=1+1+tan2（19）請注意， PreXYT的最大位置度誤差并不取決于機器人的尺寸（驅動器的距離和行程s） 。這一誤差在圖8中顯示為關于的函數。5.2 。 HephAist的并聯機器人5.2.1 。最大方向度誤差HephAist并聯機器人的最大方向角的解析表達式顯然和PreXYT的一樣 ，即方程（18）。5.2.2 。最大位置度誤差 HephAist并聯機器人最大工作空間的邊界是由四個圓弧和兩個線段的一部分組成的（圖6b）?？梢钥闯?，最大位置度誤差出現時最大方向度誤差已經出現了。因此，不難看出，要找出最大位置度誤差只有兩種配置需要測試：1-，2+，3-和1+，2-，3+。經過進一步分析后確定，如果是確定的，那么最大位置度誤差發(fā)生在max和1-處，否則最大位置度誤差發(fā)生在max和1+處。從本質上講，對于給定移動平臺名義位置和方向的HephAist并聯機器人只要一次計算就能找到的最大位置度誤差。 通過一個解析表達式可以很容易的找到最大位置度誤差，就不在這里推導了。對于一個給定的名義位置和方向，我們只需要解決活動鉸鏈的正確組合的正運動學問題，并且計算出名義位置和新位置的距離。利用這一過程，就能找到最大位置度誤差與名義位置和兩個給定方向之間的關系曲線（圖9）。 圖。 9清楚地表明， HephAist的并聯機器人的移動平臺遠離它的最大高度時，最大位置度誤差顯著上升。同樣明顯的是，從總體上來說， HephAist的并聯機器人比PreXYT的最大位置度誤差要大。5.3 。星三角并聯機器人5.3.1 。最大方向度誤差直觀來看，最大方向度誤差發(fā)生在1-，2-，3-和1+，2+，3+處。進一步檢查發(fā)現，最大的方向度誤差發(fā)生在，0時1-，2-，3-，0時1+，2+，3+處。數值分析表明，在星三角并聯機器人的工作空間中對任何名義的位置和方向來說，最大方向度誤差幾乎是相同的。因此，只有均值和方差是這里的最大方向度誤差，而不是表現出輪廓線，或是曲線：=0時，maxmean=14.11710-3maxvar=9.7110-27=15時maxmean=13.22810-3maxvar=6.8610-27請注意，最大位方向度誤差很可能是關于名義方向角的函數，這將解釋幾乎為零的方差。需要作進一步分析，以驗證這一有趣的假設，這將極大地簡化了最大方向角的計算。應當指出的是，星三角并聯機器人的最大方向度誤差是其他兩個平行的機器人的近兩倍。5.3.2 。最大位置度誤差如前所述，最大位置度誤差將出現在所有驅動器正處于極端的位置（最大工作空間的轉彎處，如圖6c所顯示的）。只要有一種舍棄8種配置中幾種的方法，就可以簡單地測試所有這些配置，并且不需要擔心計算時間。的確，對于每一個配置來說，通過正運動學方程（14）和（15）可以達到相同的位置。然后這一位置和名義位置的距離可以用于計算，最大位置度誤差是所有8個距離中最大的距離。星三角機器人的最大位置度誤差的等高線圖（圖10）清楚地表明，其平均最大位置度誤差與PreXYT 是類似的。然而，這不是什么在圖1中建議的巧妙方法，這說明靈巧度的不足保證了其精確度。圖。 9 。HephAist的并聯機器人的最大位置度誤差的等高線圖（在m級別）：（a）=0和（b）=15。圖。 10 。星三角并聯機器人最大位置度誤差（在m級別）的等高線圖：（a）=0和（b）=15。顯然，對一個特定的工作空間來說，一個更詳細的比較應基于均值和方差的最大位置和最大方向角。由于這些設備是最有可能像圓片一樣對齊，這樣的工作空間可能是一個直徑300毫米的圓形區(qū)域，在這圓形區(qū)域中5度角內的任何方向角都是可能的。但是，這并不是主題，本文并不會詳細敘述。6 。結論本文是失敗古典精度指標的直接響應，如局部靈巧指標，在處理并聯機器人的平移和取向的自由度，在優(yōu)化設計和比較。而不是使用非物理概念，如靈活性，作者提出了簡單的幾何辦法來精確的確定在某一特定的名義位置和方向時的由于驅動器誤差而引起的最大位置度誤差和最大的方向度誤差。顯然，這種方法還可以提供最大線速度和最大角速度。這種方法只適用于簡單的三自由度平面完全并聯機器人，并且沒有奇異位置。不過，這種機器人肯定是最佳的微定位和調整儀器。作者說明擬議幾何方法中引用了三個特殊的例子，其中有一個是商用的。簡單的比較揭示了大多數商用設計上的缺點。鳴謝作者要感謝Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (NSERC)和Fonds QuebecO_is de la recherche sur la nature et les technologies (FQRNT)的經濟支持。翻譯人：蔣林翻譯文獻: Geometric approach to the accuracy analysis of a class of 3-DOF planar parallel robots。Available online at www.sciencedirect.com。Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364375。Received 12 June 2006; received in revised form 11 December 2006; accepted 16 March 2007 Keywords: Parallel robots; Dexterity map; Workspace; Positioning; Accuracy; Error analysis has become a key issue in many applications. * Corresponding author. E-mail address: ilian.bonevetsmtl.ca (I.A. Bonev). Available online at Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364375 Mechanism and Machine Theory 0094-114X/$ - see front matter C211 2007 Elsevier Ltd. All rights reserved. 1. Introduction Parallel robots which were once constructed solely in academic laboratories have increasingly been used in industry for positioning and alignment in recent years. With such demand in the market today for these fast and agile machines, new parallel robots are being designed and manufactured. However, there are still many key issues regarding the design of new parallel robots, such as optimal design and performance indices. How could one prove that a new parallel robot design is an improvement over existing designs? Is it enough to eval- uate a robot based on its workspace? Clearly in the current industrial climate it is not, as positioning accuracy Available online 3 May 2007 Abstract Parallel robots are increasingly being used in industry for precise positioning and alignment. They have the advantage of being rigid, quick, and accurate. With their increasing use comes a need to develop a methodology to compare dierent parallel robot designs. However no simple method exists to adequately compare the accuracy of parallel robots. Certain indices have been used in the past such as dexterity, manipulability and global conditioning index, but none of them works perfectly when a robot has translational and rotational degrees of freedom. In a direct response to these problems, this paper presents a simple geometric approach to computing the exact local maximum position error and local maximum orientation error, given actuator inaccuracies. This approach works for a class of three-degree-of-freedom planar fully-par- allel robots whose maximal workspace is bounded by circular arcs and line segments and is free of singularities. The approach is illustrated on three particular designs. C211 2007 Elsevier Ltd. All rights reserved. Geometric approach to the accuracy analysis of a class of 3-DOF planar parallel robots Alexander Yu a , Ilian A. Bonev b, * , Paul Zsombor-Murray a a Department of Mechanical Engineering, McGill University, 817 Sherbrooke St.W., Montreal, Canada H3A 2K6 b Department of Automated Manufacturing Engineering, E cole de technologie superieure (E TS), 1100 Notre-Dame St.W., Montreal, Quebec, Canada H3C 1K3 doi:10.1016/j.mechmachtheory.2007.03.002 Several well defined performance indices have been developed extensively and applied to serial and parallel robots. However, a recent study 1 reviewed these indices and discussed their severe inconsistencies when applied to parallel robots with translational and rotational degrees of freedom. The study reviewed the most common indices to optimize parallel robots: the dexterity index 2, the various condition numbers applied to it to increase its accuracy such as the two-norm or the Frobenius number, and the global conditioning index that is computed over the complete workspace of the robot 3. The conclusion of the paper is that these indices should not be used for parallel robots with mixed types of degrees of freedom (translations and rotations). When the authors designed a new three-degree-of-freedom (3-DOF) planar parallel robot, they compared it to a similar design using the dexterity index 4. This comparison was somewhat fair, because the designs allow the use of identical dimensions. However should one change the magnitude of the units (e.g., from cm to mm), the numbers within the index would change dramatically. The higher value for the length units would essen- tially make the dexterity of a robot closer to 0 as shown in Fig. 1. The dexterity indices are very sensitive to both the type of units used and their magnitudes because of the dependence on the Jacobian matrix. This matrix also mixes non-invariant functions such as translational and rotational capabilities. A possible solution to this problem is the addition of condition numbers, however with each condition number there are particular problems as described in 1. The global conditioning index (GCI) can be used to evaluate a robot over its workspace, which can be used for the optimal design of a robot. However, there remain two problems with this index. Firstly, it is still depen- dant on a condition number whose problems were outlined in 1. Secondly, it is computationally-intensive. Obviously, the best accuracy measure for industrial parallel robots would be the local maximum position error and local maximum orientation error, given actuator inaccuracies (input errors), or some generalization of this (e.g., mean value and variance of the errors over a specific workspace). A general method that can be used for calculating these errors based on interval analysis was proposed recently in 5. However, this method is computationally-intensive and gives no kinematic insight into the problem of optimal design. 0. 0038 0. 00380. 0. 004 0. 0042 0. 0042 0. 0044 0 4 4 0. 0046 4 6 0. 0048 0. 0048 0. 0049 0. 0049 1 500 0 . 0 4 1 0 . 0. 00 49 3 500 ab A. Yu et al. / Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364375 365 0. 0038 0. 0038 0. 0038 0. 0038 004 0. 004 0. 004 0. 004 0 . 0 0 4 0. 0042 0 . 0 0 4 2 0. 0042 0. 0042 0. 0044 0. 0044 0 . 0 0. 0044 0. 0044 0. 0046 0. 0046 0 .0 0 0. 0046 0. 0046 0. 0048 0. 0048 0. 0048 0. 0049 0. 0049 0 . 0 0 4 9 0 . 0 0 4 9 0. 004941 0. 004941 0 . 0 0 4 9 4 0. 004941 x (mm) y( m m ) 0 100 200 300 400 500 600 700 0 100 200 300 400 0 .00 2 5 0 .0 0 2 50 .0 0 27 0 0 027 0 .0 0 2 7 0 . 0 0 2 9 0. 00 29 0. 00 29 0 . 0 0 2 9 0 . 0 0 3 1 0. 00 31 0. 00 31 0 . 0 0 3 1 0 . 0 0 3 3 0. 00 33 0. 00 33 0 . 0 0 3 3 0 . 0 0 3 5 0 .0 0 3 5 0.0 03 5 0 . 0 0 3 5 0. 003 7 0 . 0 0 3 7 0.0037 0 . 0 0 3 7 0 . 00 37 0 3 9 0 . 0 0 3 9 0.0039 0 . 0 0 3 9 0 . 0 0 4 1 0. 00 41 0 .0 0 4 1 0 . 0 0 0 .0 0 4 3 0. 00 43 0 . 0 0 4 3 0 0 4 5 0.0045 0 . 0 0 4 5 0 .0 0 4 7 0 .0 0 4 7 0. 00 49 x (mm) y( m m ) 0 100 200 300 400 500 600 700 0 100 200 300 400 0 . 0 0 5 0.0 05 0 . 0 0 5 0. 0 05 5 0. 00 55 0 . 0 0 5 5 0.0 05 5 0 . 0 0 5 5 0 . 0 0 6 0 .0 0 6 0 .0 0 6 0 .00 6 0 .0 0 6 5 0 . 0 0 6 5 0. 0065 0 .0 0 7 0 . 0 0 7 0 .0 0 7 2 50 . 0 0 7 4 x (mm) y( m m ) 0 100 200 300 400 500 600 700 0 100 200 300 400 500 c Fig. 1. Example of dexterity maps for (a) PreXYT, (b) Hephaists parallel robot and (c) the Star-Triangle parallel robot. 366 A. Yu et al. / Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364375 In contrast, this paper presents a simple geometric approach for computing the exact local maximum posi- tion error and local maximum orientation error for a class of 3-DOF planar fully-parallel robots, whose max- imal workspace is bounded by circular arcs and line segments and is free of singularities. The proposed approach is not only faster than any other method (for the particular class of parallel robots) but also brings valuable kinematic insight. The approach is illustrated on three particular designs that are arguable among the best candidates for micro-positioning over a relatively large workspace: 1. A new parallel robot, named PreXYT, designed and constructed at E cole de technologie superieure (E TS) that has a unique 2-PRP/1-PPR configuration (P and R stand for passive prismatic and revolute joints, respectively, while P stands for an actuated prismatic joint). A CAD model of PreXYT is shown in Fig. 2a. 2. Hephaists 3-PRP parallel robot, designed by the Japanese company Hephaist Seiko and currently in com- mercial use. A photo of the industrial model is shown in Fig. 2b. 3. Star-Triangle parallel robot, another 3-PRP parallel robot designed at LIRMM in France 6. This robot is a more optimal design of the double-triangular parallel manipulator 7. The remainder of this paper is organized as follows. The next section presents the proposed geometric approach. Then, Section 3 presents the inverse and direct kinematic equations for all three parallel robots whose accuracy will be studied in this paper. Section 4 briefly describes the geometry of the constant-orienta- tion workspace for each of the three robots. Finally, Section 5 applies the proposed geometric method for computing the local maximum position and orientation errors. Conclusions are given in the last section. Fig. 2. (a) PreXYT (patent pending) and (b) Hephaists NAF3 alignment stage (courtesy of Hephaist Seiko Co., Ltd). 2. Geometric method for computing output errors Consider a 3-DOF fully-parallel planar robot at a desired (nominal) configuration. Let x, y, and / denote the nominal position and nominal orientation of the mobile platform and q 1 , q 2 , and q 3 denote the nominal active-joint variables. Due to actuator inaccuracies of up to e, the actual active-joint variables are somewhere in the ranges q i C0 e; q i eC138 (i 1; 2;3). Therefore, the actual position and orientation of the mobile platform are x Dx, y Dy, and / D/, respectively. The question is, given the nominal configuration of the robot x; y; /; q 1 ; q 2 ; q 3 and the actuator inaccuracy e, how much is the maximum position error, i.e., d max max Dx 2 Dy 2 p , and the maximum orientation error, i.e., r max maxjD/j. In order to compute these errors, we basically need to find the values of the active-joint variables for which these errors occur. The greatest mistake would be to assume that whatever the robot and its nominal config- uration, the maximum position error occurs when each of the active-joint variables is subjected to a maximum input error, i.e., +e or C0e. Indeed, in 8, it was proven algebraically that the maximum orientation angle of a 3-DOF planar parallel robot may occur at a Type 1 (serial) or a Type 2 (parallel) singularity, or when two leg wrenches are parallel, for active-joint variables that are inside the input error intervals. Similarly, it was pro- ven that not all active-joint variables need to be at the limits of their input error intervals for a maximum posi- tion error. Naturally, though there are exceptions, 3-DOF planar parallel robots that are used for precision position- ing operate far from Type 1 singularities and certainly far from Type 2 singularities (if such even exist). Fur- thermore, it is simple to determine whether configurations for which two leg wrenches are parallel correspond to a local maximum of the orientation error and to design the robot in such a way that no such configurations exist. Therefore, for such practical 3-DOF planar parallel robot, the local maximum orientation error occurs at one of the eight combinations of active-joint variables with +e or C0e input errors. Now, finding this local maximum position error is equivalent to finding the point from the uncertainty zone of the platform center that is farthest from the nominal position of the mobile platform. This uncertainty zone is basically the maximal workspace of the robot obtained by sweeping the active-joint variables in the set of intervals q i C0 e; q i eC138. Obviously, the point that we are looking for will be on the boundary of the maximal workspace. A geometric algorithm for computing this boundary is presented in 9, but we will not discuss it here in detail. We need only mention that this boundary is composed of segments of curves that correspond to con- A. Yu et al. / Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364375 367 figurations in which at least one leg is at a Type 1 singularity (which we exclude from our study) or at an active-joint limit. When these curves are line segments or circular arcs, it will be very simple to find the point that is farthest from the nominal position of the mobile platform. This point will be generally an intersection point on the boundary of the maximal workspace. In what follows, three examples will be studied in order to illustrate the proposed geometric approach. 3. Inverse and direct kinematic analysis Referring to Fig. 3ac, a base reference frame Oxy is fixed to the ground and defines a plane of motion for each planar parallel robot. Similarly, a mobile reference frame Cx 0 y 0 is fixed to the mobile platform and in the same plane as Oxy. Let A i be a point on the axis of the revolute joint of leg i (in this paper, i 1; 2; 3) and in the plane of Oxy. Referring to Fig. 3a and b, the base y-axis is chosen along the path of motion of point A 2 , while the mobile x 0 -axis is chosen along the line A 2 A 3 .InFig. 3a, the origin C coincides with point A 1 , while in Fig. 3b, the origin C is placed so that point A 1 moves along the y 0 -axis. For both robots, s is the distance between the par- allel paths of points A 2 and A 3 , while in the Hephaists alignment stage, h is the distance between the base x- axis and the path of point A 1 . Referring to Fig. 3c, let points O i be located at the vertices of an equilateral triangle fixed in the base. Let the origin O of the base frame coincide with O 1 , and let the base x-axis be along the line O 1 O 2 . Let also the origin C be at the intersection of the three concurrent lines in the mobile platform, along which points A i move. These three lines make up equal angles. Finally, the mobile y 0 -axis is chosen along the line A 1 C. x y y x s O A 2 A 3 C A 1 C y x x s y A 2 A 1 A 3 O 1 2 3 2 3 1 h C y x x O O 1 y O 2 O 3 A 1 A 2 A 3 2 3 1 Fig. 3. Schematics of (a) PreXYT (patent pending), (b) Hephaists parallel robot and (c) the Star-Triangle parallel robot. Give mobile As one Give platform 3 2 The the active gularities. Note, that this is quite an advantage over most planar parallel robots, which have singularities. 368 A. Yu et al. / Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364375 3.3. Star-Triangle parallel robot Given the active-joint variables, we are able to uniquely define the position and orientation of the mobile platform through this direct kinematic method used in 10. Referring to Fig. 4, the position of C can be easily q 1 x C0h C0 ytan/; 9 q 2 y C0 xtan/; 10 q 3 y s C0 xtan/: 11 Since Eqs. (7)(11) are always defined (assuming s50), it is evident that this parallel robot too has no sin- obtaine inverse kinematics are easier to solve for. Given the position and orientation of the mobile platform, -joint variables are obtained as As one can observe, the direct kinematics of Hephaists parallel robot are more complex and highly coupled. s 2 q 3 C0 q 2 2 y s 2 q 2 hq 3 C0 q 2 2 sq 1 q 3 C0 q 2 s 2 q C0 q 2 : 8 is the intersection between line A 2 A 3 and the line passing through point A 1 and normal to A 2 A 3 . The resulting equations for x and y are therefore x sq 1 s h C0 q 2 q 3 C0 q 2 ; 7 s parallel robot n the active-joint variables, it is simple to uniquely define the position and orientation of the mobile . The equation of the orientation angle is the same as Eq. (1). The position of the mobile platform The inverse kinematic analysis is also trivial. Given the position and orientation of the mobile platform, the active-joint variables are obtained as q 1 x; 4 q 2 y C0 xtan/; 5 q 3 y s C0 xtan/: 6 Obviously, PreXYT has no singularities (provided that s is non-zero). 3.2. Hephaist x q 1 ; 2 y q 2 q 1 q 3 C0 q 2 s C16C17 : 3 can observe, the direct kinematics of PreXYT are very simple and partially decoupled. / tan C01 q 3 C0 q 2 s ; 1 while the position of the mobile platform is given by n the active-joint variables, it is straightforward to uniquely define the position and orientation of the platform. The orientation angle is easily obtained as C16C17 Let q i be the active-joint variables representing directed distances, defined as follows. For PreXYT and Hephaists alignment stage (Fig. 3a and b), q 1 is the directed distance from the base y-axis to point A 1 , while q 2 and q 3 are the directed distances from the base x-axis to points A 2 and A 3 , respectively. Finally, for the Star- Triangle robot (Fig. 3c), q i is the directed distance from O i to A i minus a constant positive oset d. Indeed, in the Start-Triangle robot, no mechanical design would allow point A i to reach point O i . 3.1. PreXYT d through the following geometric construction based on the notion of the first Fermat point. Since sides are denoted which To perfor # p A. Yu et al. / Mechanism and Machine Theory 43 (2008) 364375 369 where E C010 01 C20C21 ; 13 and i; j; k1; 2; 3 or (2, 3, 1) or (3, 1, 2). Now, taking lines A 1 Q 1 and A 2 Q 2 for example, their intersection point is C and has the following coordinates: x x A 1 y Q 1 C0 x Q 1 y A 1 x A 2 C0 x Q 2 C0x A 2 y Q 2 C0 x Q 2 y A 2 x A 1 C0 x Q 1 x A 1 C0 x Q 1 y A 2 C0 y Q 2 C0x A 2 C0 x Q 2 y A 1 C0 y Q 1 ; 14 x A 1 y Q 1 C0 x Q 1 y A 1 y A 2 C0 y Q 2 C0x A 2 y Q 2 C0 x Q 2 y A 2 y A 1 C0 y Q 1 The orient axis The inverse origin Then, where ear a q i C17 x Q i y Q i 1 2 a j a k 3 2 Ea j C0 a k ; 12 point O to point A i . Therefore, it can be easily shown that vector q i can be written as C090C176 / 90C176). find the coordinates of point C and the orientation angle h, the following simple calculations need to be med. Let q i denote the vector connecting point A i to point Q i , and a i x A i ; y A i C138 T is the vector connecting Fermat point. This point is the mobile frames origin C. While there is only solution for the position of the mobile platform, there are two possibilities for the ori- entation angle (/ and / + 180C176). Obviously, however, only one of these two solutions is feasible (the one for in triangle A 1 A 2 A 3 , none of the angles is greater that 120C176 (because points A i cannot move outside the of triangle O 1 O 2 O 3 ), equilateral triangles are drawn outside of it. The outmost vertices of these triangles as Q i (see Fig. 4). Then lines Q i A i make 120C176 angles and intersect at one point, the so-called first 1 O 2 A 1 Q 2 Fig. 4. Solving the direct kinematics of the Star-Triangle parallel robot. x O O 3 C x y A 3 Q y A 2 O 3 Q 1 y x A 1 C0 x Q 1 y A 2 C0 y Q 2 C0x A 2 C0 x Q 2 y A 1 C0 y Q 1 : 15 ation of the mobile platform can be found by measuring the angle between line A 1 C and the base y- / a tan 2y C0 y A 1 ; x C0 x A 1 : 16 kinematics of this device is also easily solved for. Let c x; yC138 T be the vector connecting the base O to the mobile frame origin C, b i be the unit length along O i A i and p i be the unit length along CA i . it can be easily shown that q i b T i Eo i C0 c b T i Ep i C0 d; 17 d is the oset between the vertices of triangle O 1 O 2 O 3 and the initial positions of the corresponding lin- ctuators (see Fig. 3c). 4. Constant-orientation workspace analysis There exists a simple geometric method for computing the constant-orientation (position) workspace of planar parallel robots 9. Although, calculating the constant-orientation workspace for the three robots is not necessary for computing the accuracy of these robots, this workspace analysis shows that there is no sim- ple relationship between accuracy and workspace shape and dimensions. To allow for fair comparison, it will be assumed that the only limits restraining the workspace of the robots are the actuator limits. Under these conditions, the constant-orientation workspaces for all three planar par- allel robots can be easily obtained geometrically, as shown in Fig. 5, where the constant-orientation work- spaces for a given orientation are shown as the hatched regions. From here, it is obvious that the constant-orientation workspace of PreXYT is greater than the constant- orientation workspace of Hephaists robot, for any non-zero orientation. Furthermore, the constant- orientatio