無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器設計.ppt

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33從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換）,對于模擬濾波器,已經(jīng)形成了許多成熟的設計方案，如巴特沃茲濾波器,切比雪夫濾波器,考爾濾波器,每種濾波器都有自己的一套準確的計算公式，同時，也已制備了大量歸一化的設計表格和曲線，為濾波器的設計和計算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設計中，只要掌握原型變換，就可以通過歸一化低通原型的參數(shù)，去設計各種實際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設計方法，也可通過前面所討論的各種變換應用于數(shù)字濾波器的設計，具體過程如下：原型變換映射變換原型變換也可把前兩步合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換關系，完成各類數(shù)字濾波器的設計,模擬原型,模擬低通、高通帶通、帶阻,數(shù)字低通、高通帶通、帶阻,下面舉例討論應用模擬濾波器低通原型，設計各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線性變換法。一低通變換通過模擬原型設計數(shù)字濾波器的四個步驟：1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率k。2）由變換關系將k映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值k。3）根據(jù)k設計模擬濾波器的Ha(s)4）把Ha(s)變換成H(z)（數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)）,例1,設采樣周期,設計一個三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法求解。解：a.脈沖響應不變法由于脈沖響不變法的頻率關系是線性的，所以可直接按c=2fc設計Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率c歸一化的三階巴特沃茲濾波器的傳遞函數(shù)為：以代替其歸一化頻率，得：,也可以查表得到。由手冊中查出巴特沃茲多項式的系數(shù)，之后以代替歸一化頻率，即得。將代入，就完成了模擬濾波器的設計，但為簡化運算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。,為進行脈沖響應不變法變換，計算Ha(S)分母多項式的根，將上式寫成部分分式結構：對照前面學過的脈沖響應不變法中的部分分式形式有將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：,-極點,并將代入，得：合并上式后兩項，并將代入，計算得：,可見，H（Z）與采樣周期T有關，T越小，H（Z）的相對增益越大，這是不希望的。為此，實際應用脈沖響應不變法時稍作一點修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與有關，即只與fc和fs的相對值有關，而與采樣頻率fs無直接關系。最后得：例如，與的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù),這一結論適合于所有的數(shù)字濾波器設計。,b.雙線性變換法P85例4（一）首先確定數(shù)字域臨界頻率（二）根據(jù)頻率的非線性關系，確定預畸的模擬濾波器臨界頻率(三)以代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)并將代入上式。（四）將雙線性變換關系代入，求H(Z)。,圖1三階Butterworth數(shù)字濾波器的頻響,脈沖響應不變法,雙線性變換法,fs/2,0,200,400,600,800,1000,1200,1400,1600,1800,2000,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,頻率/Hz,圖3.14三階巴特沃茲濾波器的頻率響應,幅值,圖1為兩種設計方法所得到的頻響，對于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快，最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點,這個三階零點正是模擬濾波器在處的三階傳輸零點通過映射形成的。因此,雙線性變換法使過渡帶變窄,對頻率的選擇性改善,而脈沖響應不變法存在混淆,且沒有傳輸零點。,二.高通變換設計高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時，有兩種方法：先設計一個相應的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過脈沖響應不變法或雙線性變換法轉換為數(shù)字濾波器。模擬原型模擬高通、帶通、帶阻數(shù)字高通、帶通、帶阻設計方法同上面討論的低通濾波器的設計。即確定轉換為相應的高通、帶通、帶阻模擬濾波器的設計Ha(s)H(Z)直接利用模擬濾波器的低通原型，通過一定的頻率變換關系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設計。頻率變換模擬原型數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻,這里只討論第二種方法。因其簡捷便利，所以得到普遍采用。變換方法的選用：脈沖響應不變法：對于高通、帶阻等都不能直接采用，或只能在加了保護濾波器后才可使用。因此，使用直接頻率變換（第二種方法），對脈沖響應不變法要有許多特殊的考慮，它一般應用于第一種方法中。雙線性變換法：下面的討論均用此方法，實際使用中多數(shù)情況也是如此?；陔p線性變換法的高通濾波器設計：在模擬濾波器的高通設計中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關系同樣可應用于雙線性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器.即,由于倒數(shù)關系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。即,如圖,映射到即映射到即圖1高通變換頻率關系這一曲線的形狀與雙線性變換時的頻率非線性關系曲線相對應，只是將坐標倒置，因而通過這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。,1.0,1.0,0,圖2高通原型變換,應當明確：所謂高通DF，并不是高到，由于數(shù)字頻域存在折疊頻率，對于實數(shù)響應的數(shù)字濾波器，部分只是的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是，高通也僅指這一段的高端，即到為止的部分。高通變換的計算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預畸的臨界頻率時，應采用,不必加負號，因臨界頻率只有大小的意義而無正負的意義。,例,：采樣設計一個三階切比雪夫高通DF，其通過頻率（但不必考慮以上的頻率分量），通帶內損耗不大于1dB。解：首先確定數(shù)字域截止頻率,則切比雪夫低通原型的模函數(shù)為：為N階切比雪夫多項式,通帶損耗時，N=3時,系統(tǒng)函數(shù)為（可由MATLAB計算獲得）：,為方便，將和S用T/2歸一化，則,于是,圖3三階切比雪夫高通頻響,例5（書上）設計一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400500Hz，通帶內容許有0.5dB的波動，阻帶內衰減在小于317Hz的頻帶內至少為19dB，采樣頻率為1,000Hz。確定最小階數(shù)N。模擬切比雪夫濾波器設計中階數(shù)的確定公式為求得最小的N：,wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000);wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000);N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s);B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s);num,den=bilinear(B,A,1000);h,w=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(0,500,-80,10);grid;xlabel()ylabel(幅度/dB),三帶通變換如圖1,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為，則帶通變換的目的是將:（頻率映射關系具有周期性,幅頻響應具有原點對稱性）。即將S的原點映射到，而將點映射到，滿足這一要求的雙線性變換為：,模擬低通,圖1帶通原型變換,當時因此（帶通變換關系）,圖中點正好映射在上，而映射在，兩端，因此滿足帶通變換的要求。,帶通變換的頻率關系,穩(wěn)定性證明：同時，這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設由于上式完全是實數(shù)，所以是映射在S平面軸上。其中分子永遠非負的，因此的正負決定于分母由此證明了，S左半平面映射在單位圓內，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關系是穩(wěn)定的變換關系，可用它來完成帶通的變換，如圖1。,設計：設計帶通時，一般只給出上、下邊帶的截止頻率作為設計要求。為了應用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)換算成中心頻率及模擬低通截止頻率。為此將代入變換關系式：由于在模擬低通中是一對鏡象頻率，代入上面兩等式，求出,例,又同時也就是模擬低通的截止頻率，有了這兩個參數(shù)就可完成全部計算。：采樣fs=400kHz，設計一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率求中心頻率：,求模擬低通的通帶截止頻率與阻帶邊界頻率：從頻率增加了約1.05倍，衰減增加了（10-3）dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標（查表）歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：代入，代入變換公式,例6帶通濾波器設計,四帶阻變換把帶通的頻率關系倒置就得到帶阻變換。,給定,例7w1=95/500;w2=105/500;B,A=butter(1,w1,w2,stop);h,w=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h);axis(50,150,-30,10);grid;xlabel(頻率/Hz)ylabel(幅度/dB),3.4從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z平面變換法）,上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡的低通原型來設計各種DF的方法，這種原型變換的設計方法同樣也可直接在數(shù)字域上進行。DF低通原型函數(shù)這種變換是由所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一個映射變換。為便于區(qū)分變換前后兩個不同的Z平面，我們把變換前的Z平面定義為u平面，并將這一映射關系用一個函數(shù)g表示：,各種DF的H（z）,于是，DF的原型變換可表為：,函數(shù)的特性：1)是的有理函數(shù)。2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求u的單位圓內部必須對應于z的單位圓內部。3）必須是全通函數(shù)。為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z的單位圓應映射到u的單位圓上，若以分別表示u平面和Z平面的單位圓，則式為且必有，其中是的相位函數(shù)，即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。,全通函數(shù)的基本特性：,任何全通函數(shù)都可以表示為：其中為極點，可為實數(shù)，也可為共軛復數(shù)，但必須在單位圓以內，即，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。的所有零點都是其極點的共軛倒數(shù)N：全通函數(shù)的階數(shù)。變化時，相位函數(shù)的變化量為。不同的N和對應各類不同的變換。,下面具體討論幾種原型變換：低通低通（LP）LPLP的變換中，和都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當時，相應的，如圖1(a)，根據(jù)全通函數(shù)相位變化量為的性質，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且必須滿足以下兩條件：g(1)=1,g(-1)=-1滿足以上要求的映射函數(shù)應為：其中是實數(shù)，且,圖1(a)LP-LP變換（有對稱性）,代入（1）式，可得到上述變換所反映的頻率變換關系：由此得上式把，。頻率特性:呈線性關系，其余為非線性。當時，帶寬變窄，當時，帶寬變寬，適當選擇，可使變換為，如上圖所示。:低通原型截止頻率，:變換后截止頻率,LP-LP頻率變換,圖LP-LP頻率變換特性,確定：把變換關系帶入（2）式，有：得（2）式的頻率關系，如前圖,LP-HPa.基本思想：上述LP變換中的Z代以Z,則LP=HP。,b.高通變換,或,LP-HP變換把,如圖2（a），,在上述LP-LP變換中，將Z代以Z,得LP-HP變換關系：,原型低通的截止頻率對應于高通的邊界頻率，欲將變換到，由（2）式，有：,LP-Hp變換,圖2(a)LPHp變換,LP-BPLP-BP變換把帶通的中心頻率故N=2。由以上分析得變換關系：或,如圖3(a),全通函數(shù)取負號。,LP-BP變換,圖3(a)LP-BP變換,把變換關系代入（2）式得：消去r1，得：令,確定r1,r2：,可證明，其中r1,r2代入（2）式，則可確定頻率變換關系，如圖3（b）。,LP-BP頻率關系,LPBS如圖4(a),LPBS變換把帶阻的中心頻率的變化范圍為,故N=2又g(1)=1,所以，全通函數(shù)取正號。由以上分析得變換關系：（1）或（2）,LP-BS變換,圖4(a)LP-BS變換,確定r1,r2：把變換關系代入（2）式得：其中，r1,r2代入（2）式，得圖4（b）,此頻率變換關系與前面的分析相吻合。,LP-BS頻率變換關系,LP-BS變換的又一種實現(xiàn)方法:由低通到帶阻的變換同樣可以通過旋轉變換來完成,但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到帶阻,即其中的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到帶通公式求,最后可求得,如書中表格內表達式。,低通,