【機(jī)械類畢業(yè)論文中英文對(duì)照文獻(xiàn)翻譯】NURBS曲線的雙圓弧

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偏移通過(guò)e/2在每個(gè)方向上的多邊形來(lái)獲得脂肪寬度e的多邊形;和 構(gòu)建分段G1雙圓弧曲線，它位于內(nèi)脂肪多邊形。由于E /2多邊形逼近，原 NURBS曲線完全位于脂肪多邊形內(nèi)。如果G1雙圓弧還在于脂肪的多邊形內(nèi)，它接近曲線內(nèi)。因此，第一個(gè)目標(biāo)是獲得一個(gè)NURBS曲面的快速和可靠的多邊形分解曲線。3.1多邊形分解 基本上有兩種多邊形分解為：（1）參數(shù);和（2）的幾何。該參數(shù)分解來(lái)計(jì)算一組參數(shù)，其中多邊形的頂點(diǎn)被假定。為了避免整個(gè)計(jì)算，如彎曲，同樣的間隔參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。如果曲線是參數(shù)在0，1，點(diǎn)的數(shù)量計(jì)算如下:其中M是一界上的二階導(dǎo)數(shù)。給定n，則 多邊形分解需要計(jì)算點(diǎn)的1 / n 增量。雖然這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方法，并且它工作相當(dāng)充分的公差大，它有許多不足之處： 它是參數(shù)化依賴，同樣的曲線，即不同的參數(shù)化可能會(huì)大大不同的衍生工具，因此點(diǎn)數(shù);計(jì)算一個(gè)尖銳界的二階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，特別是對(duì)理性的曲線;和 在式趨于過(guò)采樣的曲線相當(dāng)多的使算法中一個(gè)緩慢的下降（見(jiàn)表1）。其中l(wèi)P0，PP表示P0and PP之間為什么NURBS分解為Bezier原因是直線 雙重的：（1）個(gè)體Bezier片往往是簡(jiǎn)單的，以及（2）細(xì)分Bezier比細(xì)分便宜 將NURBS。 這兩種方法的比較，發(fā)現(xiàn)在表1using中所示的測(cè)試曲線。 2，p和g表示的由參數(shù)變化與幾何過(guò)程所需的多邊形頂點(diǎn)的數(shù)量，respectively.It顯然，對(duì)于高精密制造thederivative基礎(chǔ)的方法提供點(diǎn)的望而卻步largenumber。即使在10的范圍231024它過(guò)樣品以25的平均系數(shù)，因此，在這研究幾何方法選擇。3.2 差錯(cuò)控制 由于頂點(diǎn)的PS，PE的一個(gè)子集 中，目的是要檢查雙圓弧，裝到PS，PE和切線那里，是可以接受的近似。也就是說(shuō)，雙圓弧必須在E中的多邊形PS，PE/ 2。的核心要素差錯(cuò)控制的是距離的計(jì)算之間的線段PQ和圓弧，圖3。 假設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)是圓弧的掃描角范圍內(nèi)，該距離是德定義為如表1圖3。線段和圓弧的距離點(diǎn)M是中心C的垂直投影到線段PQ 。如果其中一個(gè)點(diǎn)是不屬于掃掠角，線段是夾相對(duì)于的邊界射線和新業(yè)務(wù)進(jìn)行測(cè)試。如果兩個(gè)點(diǎn)的后掠角外，線段是不接受和prede NED的距離，所謂的定義，是返回?，F(xiàn)在，給定一個(gè)雙圓弧曲線和多邊形，則算法過(guò)程如下。1，對(duì)于每個(gè)頂點(diǎn)， 第二最接近的雙圓弧。請(qǐng)注意，一個(gè)多邊形頂點(diǎn)可以更加掃描角度范圍內(nèi)謊言不止一個(gè)雙圓弧。2，對(duì)于每個(gè)多邊形計(jì)算腿從距離參與第一步中獲得的圈子。一些例子示于圖4所示。圖4（a）示出了 C形雙圓弧中，幾乎所有的點(diǎn)都在范圍內(nèi)掃兩個(gè)biarcs的角度。線段朝向的雙圓弧的中間被分割，使得第一部分被測(cè)試靠第一圓弧，而第二個(gè)是針對(duì)測(cè)試第二電弧。一個(gè)S形的例子中給出了圖圖4（b）所示。只有一個(gè)弧是從每個(gè)點(diǎn)可見(jiàn)，兩個(gè)多邊形必須被分割為成功的錯(cuò)誤檢查。圖。圖4（c）所示。當(dāng)端部切線的矢量和是特例 垂直于弦。有幾個(gè)點(diǎn)是從可見(jiàn)3個(gè)圓弧，并且只有一條腿分割是必要的，因?yàn)樗械狞c(diǎn)都在各自最親密的弧線，只有一個(gè)除外。特殊情況下的直線，由共線端部的切線定義的，是在圖1所示。圖4（d）所示。所有點(diǎn)都必須突出到內(nèi)部線段的一部分并且必須是在公差范圍內(nèi)。圖4（a）C型雙圓弧與點(diǎn)的子集。 （b）S形雙圓弧與點(diǎn)的子集。 （c）四部分雙圓弧與點(diǎn)的子集。 （d）簡(jiǎn)并雙圓弧與點(diǎn)的子集。圖4 （a） C型雙圓弧與點(diǎn)的子集。 （b） S- shap3.3 .雙圓弧擬合給出的雙圓弧配方和誤差控制機(jī)制，一個(gè)非常強(qiáng)大的算法可以被設(shè)計(jì)為近似任意NURBS曲線。該算法的主要步驟概述如下。1，分解的NURBS曲線進(jìn)入的至少C1段連續(xù)性。即，從輸入的曲線具有多重性的結(jié)不到的程度提取物片段。后面這一步的原理是捕捉到尖點(diǎn)或直線段。如果一個(gè)輪廓曲線包含了彎道，直線和圓弧，這些段通常由多重海里等于拼湊度。2，對(duì)于每個(gè)至少C1流暢的曲線得到一個(gè)雙圓弧.操作步驟如下。2.1 。獲取一個(gè)多邊形分解為E / 2 。同時(shí)存儲(chǔ)多邊形的頂點(diǎn)以及參數(shù)，其中這些頂點(diǎn)假設(shè)。2.2 。計(jì)算單元的切線在多邊形的頂點(diǎn)。2.3 。段頂點(diǎn)設(shè)置成一個(gè)子集，從而使裝biarcs滿足公差要求。2.4 。一塊biarcs連成一個(gè)G1NURBS曲線以節(jié)省儲(chǔ)存空間。結(jié)矢量由下式計(jì)算交界處的弦長(zhǎng)參數(shù)化點(diǎn)作為概括為兩部分以上。編雙圓弧與點(diǎn)的子集。 （c）四部分雙圓弧與點(diǎn)的子集。 （d）簡(jiǎn)并雙圓弧與點(diǎn)子集。都在從多邊形逼近寬容，其數(shù)量r是最佳的以某種方式。最優(yōu)能是許多形式，例如弧的最小數(shù)目，最小平均誤差，最小曲率范圍等經(jīng)驗(yàn)表明這種計(jì)算最佳是相當(dāng)昂貴甚至有可能不會(huì)產(chǎn)生美觀的曲線。該這是應(yīng)用方法是一個(gè)簡(jiǎn)單的搜索技術(shù)， 嘗試第二最長(zhǎng)的圓弧一旦一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)始切線計(jì)算。 該方法首先找到最長(zhǎng)的電弧從起始開(kāi)始。一旦第一電弧被發(fā)現(xiàn)時(shí)，增量kD的是設(shè)置為開(kāi)始和結(jié)束索引之間的差。這個(gè)想法是從計(jì)算機(jī)圖形借來(lái)的，被稱為一致性原則。即，預(yù)期的第i個(gè)段近似為大約相同數(shù)量的頂點(diǎn)的第（i 2 1 ）個(gè)人做。如果碰巧第i段立即公差范圍內(nèi)，最終指數(shù)科延伸。二進(jìn)制搜索開(kāi)始一旦點(diǎn)設(shè)置PS，PE不能由一個(gè)近似電弧所需的公差范圍內(nèi)。即使在上述分割方法不嚴(yán)格優(yōu)化，實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，此外，根據(jù)一致性原則，使搜索該算法相當(dāng)快，因?yàn)槊總€(gè)新的雙圓弧建設(shè)要求不超過(guò)幾個(gè)迭代多。圖5示出了該算法的工作。該biarcs與控制點(diǎn)（實(shí)線）和原始曲線（虛線）示于圖圖5（a ）使用0.02 。為了更好地可視化，該控制點(diǎn)在圖上被關(guān)閉。 5（ b）所示。圖5（c ）是關(guān)鍵 GURE顯示所有三條曲線，原始曲線（虛線） ，該雙圓弧逼近（固體）為以及多邊形逼近（實(shí)線） ，是內(nèi)脂肪多邊形。圖。圖5（d ） （六）目前曲率曲線的耐受元代，分別為。注意變化在沿原曲線的曲率。該雙圓弧近似的目的是要再現(xiàn)的形狀這條曲線有一個(gè)階梯函數(shù)。這清楚地表明這更適合于雙圓弧近似的曲線是那些已經(jīng)順利曲率變化。它采取了10公差?yuàn)Z回路徑的彎曲的細(xì)節(jié)TURE情節(jié)，圖5 （ f）所示。請(qǐng)注意，兩個(gè)小區(qū)不重疊由于在這兩條曲線的參數(shù)的差（原NURBS曲線和它的雙圓弧逼近） 。然而，曲率情節(jié)無(wú)論是外形，以及作為峰相當(dāng)不錯(cuò)轉(zhuǎn)載。4，測(cè)試和實(shí)例上述算法已經(jīng)過(guò)測(cè)試的各種數(shù)據(jù)集，包括開(kāi)放式和封閉式的曲線。我們能夠?qū)崟r(shí)近似任意NURBS曲線最多27寬容在Windows工作站上。錯(cuò)誤檢查也被執(zhí)行，并且發(fā)現(xiàn)，該近似是很好的給定公差，即在大多數(shù)情況下，內(nèi)最大誤差被認(rèn)為是比一半稍多的需要寬容。兩個(gè)測(cè)試案例示于圖6和7所示。圖6（ a）表示的直鏈曲線的雙圓弧近似和、圖.5 （a）雙圓弧近似：=0.02 （b）雙圓弧逼近，控制點(diǎn)關(guān)閉：=0.02。 （c）雙圓弧逼近脂肪多邊形：=0.02。 （d） 曲率曲線;。=0.02。 （e）曲率曲線：=0.0001（0曲率圖：。=0.00001。尖角使用0.01。曲率曲線示于圖。圖6（b）和（c）為22的公差和25，分別為。請(qǐng)注意如何做好峰以及該的曲率情節(jié)形狀近似。一種鞋內(nèi)底的設(shè)計(jì)示于圖。 7，鞋墊是由數(shù)字化的點(diǎn)插值得到的， 隨后它被近似雙圓弧。圖。圖7（a）顯示原始曲線和它的雙圓弧逼近（與控制點(diǎn)）為電子0.005。曲率圖是圖7（b）和（c）為公差0.005和24。請(qǐng)注意在圖重疊。這是因?yàn)檫@兩個(gè)曲線參數(shù)都以相同的方式，即采用弦長(zhǎng)參數(shù)化。一個(gè)合法的問(wèn)題是，為什么沒(méi)有參數(shù)化的雙圓弧相同的方式，原始曲線是參數(shù)化的答案是雙重的：（1）雙圓弧不需要任何參數(shù)化，即用1給出了緊湊存儲(chǔ)和（2）多輸入曲線不是很好參數(shù)化的，它是繼承一個(gè)不那么好一個(gè)參數(shù)化。一個(gè)有趣的問(wèn)題是如何做的次數(shù)圓弧,表2示出上圖的曲線進(jìn)行了實(shí)證研究的結(jié)果。 表2圖.6的（a）雙圓弧逼近的例子：=0.01; （b）曲率曲線：=0.01; (c) 曲率曲線：=0.00001圖.7（a）雙圓弧逼近的例子：=0.005。 （b）曲率曲線：=0.001。 （c）曲率曲線：=0.0001實(shí)際測(cè)試證實(shí)，由于耐受性下降由數(shù)量級(jí)，段數(shù)大致雙。這實(shí)際上是一個(gè)相當(dāng)合理的增長(zhǎng)考慮到減少的十倍。5結(jié)論 A到逼近任意NURBS曲線用G1 biarcs方法。該雙圓弧曲線的特殊配方參數(shù)使得該方法適用于一個(gè)NURBS建模環(huán)境。該算法是穩(wěn)健的幾乎所有操作都是幾何計(jì)算，如線交點(diǎn)，點(diǎn)的預(yù)測(cè)，以及各種矢量操作，如點(diǎn)和交叉產(chǎn)品。因?yàn)橛?jì)算的簡(jiǎn)單性，算法的實(shí)時(shí)即使是在普通的Windows工作站上執(zhí)行高達(dá)約27。該方法是最合適在工程應(yīng)用中，原始曲線已經(jīng)順利曲率變化，輸出曲線都必須是直線或圓弧，或nwhere的應(yīng)用程序就必須具有逐段常曲率的分段曲線。致謝 作者感謝教授D.沃爾頓，I.-K.李和M.-S.金正日對(duì)他們的許多寶貴的意見(jiàn)和批評(píng)。參考文獻(xiàn)1安江，金，何，李的K-Y 。 1圓弧的二次樣條逼近Bezier曲線。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)1998 ， 2 Bezier PE 。數(shù)控：數(shù)學(xué)與應(yīng)用。新紐約：約翰威利父子，1972。 3 博爾頓公里。雙圓弧曲線。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)1975; 4 莊S-H ，高CZ 。 B樣條單面圓弧逼近曲線無(wú)干擾抵消。電腦輔助設(shè)計(jì) 1999 ; 5 菲利普D， Magedson R， Markot R.表面算法衍生工具。計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)1986; 6 里的JM ，里森費(fèi)爾德射頻。對(duì)于計(jì)算機(jī)的理論發(fā)展代和分段多項(xiàng)式曲面的顯示。 IEEE模式分析與機(jī)器智能交易 1980; PAMI - 2（1） 7 Hoschek J.圓樣條曲線。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)1992 ; 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