高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解 理

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專題四立體幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點(diǎn)撥立體幾何專題是高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關(guān)的體積)和空間位置關(guān)系及空間角，一大題?？伎臻g位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關(guān)系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能突破點(diǎn)10空間幾何體表面積或體積的求解提煉1求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.提煉2球與幾何體的外接與內(nèi)切(1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑ra，外接球的半徑Ra.圖101(2)正方體與球：設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，O為其對(duì)稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖101所示正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ；正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG；正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1.回訪1幾何體的表面積或體積1. (2016全國(guó)甲卷)如圖102是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()圖102A20B24C28D32C由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(zhǎng)(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為22416，底面積為224；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長(zhǎng)為4，所以圓錐的側(cè)面積為248.所以該幾何體的表面積為S164828.2(2015全國(guó)甲卷)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖103，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()圖103A.B.C.D.D由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐的體積為V1111，剩余部分的體積V213.所以，故選D.3(2014全國(guó)卷)如圖104，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1 cm)，圖中粗線畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為()圖104A.B.C. D.C由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個(gè)圓柱的組合體其中左面圓柱的高為4 cm，底面半徑為2 cm，右面圓柱的高為2 cm，底面半徑為3 cm，則組合體的體積V1224322161834(cm3)，原毛坯體積V232654(cm3)，則所求比值為.回訪2球與幾何體的外接與內(nèi)切4(2015全國(guó)卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64C144 D256C如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VOABC最大，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VOABC最大為R2R36，R6，球O的表面積為4R2462144.故選C.5(2013全國(guó)卷)如圖105，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()圖105A. cm3 B cm3C. cm3 D. cm3A如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC862(cm)，BMAB84(cm)設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3) 6(2012全國(guó)卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A. BC. D.A由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍，所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍在三棱錐OABC中，其棱長(zhǎng)都是1，如圖所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解.(1)(2016全國(guó)乙卷)如圖106，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是() 圖106A17B18C20 D28(2)(2016全國(guó)丙卷)如圖107，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖107A1836 B5418C90 D81(1)A(2)B(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3R3，解得R2.因此它的表面積為4R2R217.故選A. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(333633)25418.故選B.1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解變式訓(xùn)練1(1)(2016平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖108所示，則該幾何體的體積為() A. B5C5 D.圖108(2)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖109所示，則此幾何體的表面積是()圖109A90 cm2 B129 cm2C132 cm2 D138 cm2圖1010(3)(名師押題)如圖1010，從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD A1B1C1D1中分離出來(lái)由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么最多能盛的水的體積為_(kāi)cm3.(1)D(2)D(3)36(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V212112122.(2)該幾何體如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6 cm,4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積S2(4643)36339939138(cm2)(3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1CD1B1的體積又V三棱錐C1CD1B1V三棱錐CB1C1D1636(cm3)，所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，最多能盛36 cm3體積的水熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問(wèn)題題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問(wèn)題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記.先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解.(1)(2016南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖1011所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖1011A.B.C.D.(2)(2016全國(guó)丙卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 BC6 D.(1)D(2)B(1)法一由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐SABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設(shè)球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質(zhì)可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24.故選D.法二由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC，其中HS是三棱錐的高，由側(cè)視圖可知HS2，由正視圖和側(cè)視圖可得HAHBHC2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長(zhǎng)SH交球面于點(diǎn)P，則SP就是球的直徑，由點(diǎn)A在球面上可得SAAP.又SH平面ABC，所以SHAH.在RtASH中，SA4.設(shè)球的半徑為R，則SP2R，在RtSPA中，由射影定理可得SA2SHSP，即4222R，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24.故選D.(2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R.因?yàn)锳BC的內(nèi)切圓半徑為2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax3.故選B.解決球與幾何體的切、接問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來(lái)確定對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過(guò)球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來(lái)變式訓(xùn)練2(1)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60，AA12，則該三棱柱的外接球的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952037】A. BC. D20(2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖1012(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1)，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是_圖1012(1)B(2)20(1)設(shè)A1B1C1的外心為O1，ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11，設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2d2r2122，故R，所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.(2)由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長(zhǎng)、寬分別為4和2的矩形，高為2，且側(cè)面SDC與底面ABCD垂直，且頂點(diǎn)S在底面上的射影為該側(cè)面上的底面邊的中點(diǎn)由該幾何體的結(jié)構(gòu)特征知球心在過(guò)底面中心O且與底面垂直的直線上，同時(shí)在過(guò)側(cè)面SDC的外接圓圓心且與側(cè)面SDC垂直的直線上因?yàn)镾DC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為RAC，故外接球的表面積為4R220.