高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第1部分 專題4 突破點11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理

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突破點11空間中的平行與垂直關(guān)系提煉1異面直線的性質(zhì)(1)異面直線不具有傳遞性注意不能把異面直線誤解為分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線(2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直(3)求異面直線所成角的一般步驟為：找出(或作出)適合題設(shè)的角用平移法；求轉(zhuǎn)化為在三角形中求解；結(jié)論由所求得的角或其補角即為所求.提煉2平面與平面平行的常用性質(zhì)(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等(2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(3)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行(4)兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.提煉3證明線面位置關(guān)系的方法(1)證明線線平行的方法：三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理；線面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線面平行的方法：尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)(3)證明線面垂直的方法：線面垂直的定義，需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；線面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理(4)證明面面垂直的方法：定義法，即證明兩個平面所成的二面角為直二面角；面面垂直的判定定理，即證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線回訪1異面直線的性質(zhì)1(2016全國乙卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C. D.A設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m. 又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.2(2015廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交D由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交回訪2面面平行的性質(zhì)與線面位置關(guān)系的判斷3(2013全國卷)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于lD根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示由圖可知與相交，且交線平行于l，故選D.4(2016全國甲卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)對于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤對于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對于，因為，所以，沒有公共點又m，所以m，沒有公共點，由線面平行的定義可知m，故正確對于，因為mn，所以m與所成的角和n與所成的角相等因為，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確熱點題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明題型分析：空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的考查，同時也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.(1)(2016蘭州三模)，是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知EF，AB于點B，CD于點D，若增加一個條件，就能得出BDEF.現(xiàn)有下列條件：AC；AC與，所成的角相等；AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上；ACEF.其中能成為增加條件的序號是_ 【導(dǎo)學(xué)號：85952040】若AC，且EF，則ACEF，又AB，且EF，則ABEF，AB和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF平面ACDB，則EFBD，可以成為增加的條件；AC與，所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF與平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF與BD垂直，不能成為增加的條件；由CD，EF，得EFCD，所以EF與CD在內(nèi)的射影垂直，又AC與CD在內(nèi)的射影在同一直線上，所以EFAC，CD和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF平面ACDB，則EFBD，可以成為增加的條件；若ACEF，則AC，則BDAC，所以BDEF，不能成為增加的條件，故能成為增加條件的序號是.圖111(2)(2016全國乙卷)如圖111，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G.證明：G是AB的中點；在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積解題指導(dǎo)(2)解證明：因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以ABPD.因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以ABDE.1分因為PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.2分又由已知可得，PAPB，所以G是AB的中點.3分在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.4分理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC.又PAPCP，因此EF平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連接CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心由知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CDCG.8分由題設(shè)可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.10分由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，11分所以四面體PDEF的體積V222.12分在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問題時，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會找特例、反例和構(gòu)建幾何模型判斷兩直線是異面直線是難點，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線)判定而反證法是證明兩直線異面的有效方法提醒：判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關(guān)系中易忽視兩個平面平行此類問題可以結(jié)合長方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例變式訓(xùn)練1(1)(2016石家莊二模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，則m，m；若，則.其中真命題的個數(shù)為()A0B1C2D3B若m，n，則m，n可能平行或異面，錯誤；若，則，又m，則m，正確；若n，mn，則m或m或m或m，錯誤；若，則，可能平行或相交，錯誤，則真命題個數(shù)為1，故選B.(2)(2016全國丙卷)如圖112，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點圖112證明MN平面PAB；求四面體NBCM的體積解證明：由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，2分所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.4分因為PA平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.6分由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM42.8分所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.12分熱點題型2平面圖形的翻折問題題型分析：(1)解決翻折問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.(2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化. (2016全國甲卷)如圖113，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置圖113(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐DABCFE的體積解(1)證明：由已知得ACBD，ADCD.1分又由AECF得，故ACEF.2分由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.3分(2)由EFAC得.4分由AB5，AC6得DOBO4.所以O(shè)H1，DHDH3.5分于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.6分由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.8分又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.10分五邊形ABCFE的面積S683.11分所以五棱錐DABCFE的體積V2.12分翻折問題的注意事項1畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖2把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)3準確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準確進行計算的基礎(chǔ)變式訓(xùn)練2(2016海淀二模)已知長方形ABCD中，AD，AB2，E為AB的中點將ADE沿DE折起到PDE，得到四棱錐PBCDE，如圖114所示圖114(1)若點M為PC的中點，求證：BM平面PDE；(2)當平面PDE平面BCDE時，求四棱錐PBCDE的體積；(3)求證：DEPC.解(1)證明：取DP中點F，連接EF，F(xiàn)M.因為在PDC中，點F，M分別是所在邊的中點，所以FM綊DC.1分又EB綊DC，所以FM綊EB，2分所以四邊形FEBM是平行四邊形，所以BMEF.3分又EF平面PDE，BM平面PDE.所以BM平面PDE.4分(2)因為平面PDE平面BCDE，在PDE中，作PODE于點O，因為平面PDE平面BCDEDE，所以PO平面BCDE.6分在PDE中，計算可得PO，7分所以V四棱錐PBCDESh(12).8分(3)證明：在矩形ABCD中，連接AC交DE于點I，因為tanDEA，tanCAB，所以DEACAB，所以DEAC，9分所以在四棱錐PBCDE中，PIDE，CIDE，10分又PICII，所以DE平面PIC.11分因為PC平面PIC，所以DEPC.12分