浙江省高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第10課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)與求和課件 文

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1、1專題三 數(shù)列2 1111111223()45(01)nnnnnnnnaS nnaSSnaaf nf naAaB AA 求通項(xiàng)公式的方法觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式 ；利用前 項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系；公式法：利用等差 比 數(shù)列求通項(xiàng)公式；累加法，如，累積法，如；轉(zhuǎn)化法：，且3 2121321 214nnnnnnnnnca babcabann 數(shù)列求和要先研究數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)選擇方法，化歸為基本數(shù)列求和若，是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則利用錯(cuò)位相減法；若，則用分組求和法，其中分組的方法比較靈活；裂項(xiàng)法，形如等；倒序相加法4 112237812*ICME71(201(31.)1)

2、nnnnOAA AA AA AOAOAOAanaaN如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串直角三角形演化而成的，其中如果把圖中的直角三角形繼續(xù)下去，并記， ，的長(zhǎng)度組成的數(shù)列為，試寫出數(shù)列滿足的一個(gè)遞推公式，并求【月紹興一中模的通例】擬項(xiàng)公式1.構(gòu)造法求通項(xiàng)5 22112*11111(2)11111 . 由題意，根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系得出數(shù)列的遞推關(guān)系為，且，通過(guò)換元可設(shè)，則有，因此數(shù)列是一個(gè)以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，所以，所以nnnnnnnnnaaababbnanNbbbnnn 這是一個(gè)需要通過(guò)換元構(gòu)造等差數(shù)列才能化解的問(wèn)題，破解的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出遞推公式，即根據(jù)直角三

3、角形三邊的平方關(guān)系列出數(shù)列的遞推關(guān)系 6 這類問(wèn)題構(gòu)造法的運(yùn)用前提則通過(guò)換元將復(fù)雜的平方問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次項(xiàng)的減法問(wèn)題，易于發(fā)覺(jué)通過(guò)化歸為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，因此要特別注意換元構(gòu)造法的使用，使用的目的是化復(fù)雜為簡(jiǎn)單或已知的等差數(shù)列、等比數(shù)列.7 01114(2011 3)()2nnnnnaaaaana N已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿【變式訓(xùn)足，求數(shù)列月舟山中學(xué)模擬練】的通項(xiàng)公式8 122121210 14224242 2220221nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 此題通過(guò)退一步得一個(gè)等式，用兩式相減或相加都不行，因此此題入手較難；此題的關(guān)鍵是通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)構(gòu)造出一個(gè)

4、簡(jiǎn)單的遞推公式，然后用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列求解由，得，則，因?yàn)?，若，則，這樣，數(shù)列是一個(gè)常數(shù)數(shù)列，與矛盾，9211111011112122 22lg2lg 22lg 2lg 22lg213lg22lg214122lg2lg 2lg22lg2lg22 2lg22 lg221 lg2lg2lg 2nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaabbbbbaababba 故，所以將等式兩邊取對(duì)數(shù)可得，不妨令，則，配湊得又，所以，所以，又2122.nnnab，所以10 *1*62()()(2013.1 42)0122nnnnnnnnnnyf xfxxanSnSnyf xabTbna amTnmNN已知二

5、次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前 項(xiàng)和為，點(diǎn) ，均在函數(shù)的圖象上求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，是數(shù)列的前 項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的【例 】最小正月柯橋中學(xué)模擬整數(shù)2.裂項(xiàng)法求和 11 22*2122211(0)2.623232 .()()32 .232312165 .13 126 65(115nnnnnnf xaxbx afxaxbfxxabf xxxnSnyf xSnnnaSSnnnnnnaannS NN設(shè)二次函數(shù)，則由于，得，所以又因?yàn)辄c(diǎn) ，均在函數(shù)的圖象上，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以*)12 11*33165 615111()26561111111(1)()()27713656111(

6、1)26111(1)26120110.22021 . 0nnnnniiba anmnnnTbnnnmnmnmm N由得，故因此，要使對(duì)恒成立，則 必須且僅需滿足，最小正整即所以滿數(shù)的為足要求13 本小題主要考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題的能力和推理能力，其中裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵步驟，對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行合理的分拆，然后相消，以達(dá)到最?；?jiǎn)見(jiàn)的目的的數(shù)列：141111111 11()111nnnannnnan nkk nnkannnn ，形如這樣的數(shù)列每一項(xiàng)可以分為兩項(xiàng)，先后相互相消求和15 *112341223121()2(2011 4)(2

7、)1322nnnnnnnaaaanaaaaaa aa aaa nN【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列中，求 ， ， ；證明：數(shù)列是等差數(shù)月列；試判斷與 的大小關(guān)系，并紹興一中模擬加以證明16 2341111112231212.325211111 1122111211111.222111144()1111111114 ()()(233412213nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannaaaaannnnna aa aaanan，因?yàn)?，所以，因此是?為首項(xiàng)，公差為 的等差數(shù)列，則，所以，即有11)4()2.121nn17 121133 (2010)3 12 1nnnnnnnnCCCxyxnCCrCr

8、rnrnr， ， 是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在 軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù) ，圓都與圓相互外切，以 表示的半徑，已知為遞增數(shù)列證明：為等比【例 】安徽卷數(shù)列；設(shè)，求數(shù)列的前 項(xiàng)和3.錯(cuò)位相減法求和 18 求證等比數(shù)列，可從兩個(gè)方面出發(fā)，一是等比數(shù)列的定義，即證 ；二是等比中項(xiàng)，即證 1=nnaqa211nnnnaaaa19 1111113331tansin.32(,0)12 3.22223 1.nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxCrrrrrrqrrrr將直線的傾斜角記為 ，則有，設(shè)的圓心為，則由題意知故為公，得同理，從而，將代入，比的等解得比數(shù)列20 11112

9、1211211211333.1212 33 331 32 3(1) 33 .321 333331 333 3() 3 .222342912nnnnnnnnnnnnnnnnnnnrqrnrnSrrrSnSnnSnnnS 由于，故，從而記，則有，得，故113() 39(23) 34.2nnnn21 第(1)小題充分利用平面幾何中兩圓外切的充要條件，找出rn+1與rn之間的等量關(guān)系，從而結(jié)合定義得證；第(2)小題，由(1)可知rn的通項(xiàng)公式，觀察新數(shù)列 知，可利用錯(cuò)位相減法求和，培養(yǎng)推理論證能力nnr22 an=Sn-Sn-1(n2)是數(shù)列中一個(gè)非常重要的公式，任何數(shù)列都滿足這個(gè)公式當(dāng)題目的條件中出

10、現(xiàn)an與Sn的關(guān)系式時(shí)，這個(gè)公式可作為突破口另外，錯(cuò)位相減法作為一種重要的求和方法，也要熟練掌握 21 122423.122nnnnnnnnnnnnaSanSaaabTaba ba b已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，是數(shù)列的前 項(xiàng)和，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式；己知，【變式訓(xùn)練】求的值23 2111112211122112211111111314243423242342()2()0()( 2)002(2 1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSaaaSaanSaaaaaaaaaaaaaaaaaaana當(dāng)時(shí)，解得，又當(dāng)時(shí)，得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列32(11322).nann所以是以

11、為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，24 1223111123113 25 2(21) 223 25 2(21) 2(21) 2 3 22(222 )(21)2 682 2(2(21) 2221) 2 nnnnnnnnnnnnTnTnnTnn 又得，25 1證明一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，常用兩種基本方法：定義法；等差(比)中項(xiàng)法(注意等比數(shù)列中an0) 2等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn，共涉及五個(gè)量：n，d(q)，an，Sn，a1，這五個(gè)量知二求三，體現(xiàn)了方程的思想，做題時(shí)，選用公式要恰當(dāng)，善于減少運(yùn)算量，達(dá)到快速、準(zhǔn)確求解的目的 3運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，需對(duì)q=1和q1進(jìn)行討論264求通項(xiàng)、求和的通項(xiàng)要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列5在解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，除常用數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用外，還要特別注意，在解題中一定要有“目標(biāo)意識(shí)”