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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第79練 離散型隨機變量的均值與方差
訓練目標
熟練掌握隨機變量的均值與方差的求法．
訓練題型
(1)求隨機變量的均值；(2)求隨機變量的方差；(3)統(tǒng)計知識與均值、方差的綜合應用．
解題策略
(1)熟練掌握均值、方差的計算公式及其性質；(2)此類問題的關鍵是分析概率模型，正確求出概率.
1.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號．
(1)求ξ的分布列，均值和方差；
(2)若η＝aξ＋
2、b，Eη＝1，Dη＝11，試求a，b的值．
2．(20xx·威海模擬)三人參加某娛樂闖關節(jié)目，假設甲闖關成功的概率是，乙、丙兩人同時闖關成功的概率是，甲、丙兩人同時闖關失敗的概率是，且三人各自能否闖關成功相互獨立．
(1)求乙、丙兩人各自闖關成功的概率；
(2)設ξ表示三人中最終闖關成功的人數(shù)，求ξ的分布列和均值．
3.某研究小組在電腦上進行人工降雨模擬實驗，準備用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，其實驗數(shù)據統(tǒng)計如下：
方式
實施地點
大雨
中雨
小雨
模擬實驗總次數(shù)
A
甲
4次
6次
2
3、次
12次
B
乙
3次
6次
3次
12次
C
丙
2次
2次
8次
12次
假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響，請你根據人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據：
(1)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；
(2)考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才達到理想狀態(tài)，丙地只要是小雨或中雨即達到理想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達到理想狀態(tài)的個數(shù)”為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和均值E(ξ)．
4．(20xx·鄭州模擬)某市公安局為加強安保工作，特舉行安保項目的選拔比賽活動，其中A、B兩個代表隊進行對抗賽
4、，每隊三名隊員，A隊隊員是A1、A2、A3，B隊隊員是B1、B2、B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下表，現(xiàn)按表中對陣方式進行三場比賽，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ，η，且ξ＋η＝3.
對陣隊員
A隊隊員勝
A隊隊員負
A1對B1
A2對B2
A3對B3
(1)求A隊最后所得總分為1的概率；
(2)求ξ的分布列，并用統(tǒng)計學的知識說明哪個隊實力較強．
答案精析
1．解 (1)ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×
5、＋4×＝，
D(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.
(2)由題意可知D(η)＝a2D(ξ)＝a2×＝11，∴a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，
∴當a＝2時，1＝2×＋b，得b＝－2；
當a＝－2時，1＝－2×＋b，得b＝4.
∴或
2．解 (1)記甲，乙，丙各自闖關成功的事件分別為A1，A2，A3，
由已知A1，A2，A3相互獨立，且滿足
解得P(A2)＝，P(A3)＝.
所以乙、丙各自闖關成功的概率分別為，.
(2)ξ的可能取值為0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝××＝＝，
P(ξ＝1)＝＋＋＝，
P(ξ＝2
6、)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝3)＝××＝＝.
所以隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
所以隨機變量ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
3．解 (1)由人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據，用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：
方式
實施地點
大雨
中雨
小雨
A
甲
P(A1)＝
P(A2)＝
P(A3)＝
B
乙
P(B1)＝
P(B2)＝
P(B3)＝
C
丙
P(C1)＝
P(C2)＝
P(C3)＝
記“甲、乙、丙三地都恰為中雨”為
7、事件E，則P(E)＝P(A2)P(B2)P(C2)＝××＝.
(2)設甲、乙、丙三地達到理想狀態(tài)的概率分別為p1、p2、p3，
則p1＝P(A2)＝，p2＝P(B1)＝，p3＝P(C2)＋P(C3)＝，ξ的可能取值為0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝××＝；
P(ξ＝1)＝p1(1－p2)(1－p3)＋(1－p1)p2(1－p3)＋(1－p1)(1－p2)p3
＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝2)＝p1p2(1－p3)＋(1－p1)p2p3＋p1(1－p2)p3＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝3)＝p1p2p3＝××＝.
所以隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.
4．解 (1)記“A隊最后所得總分為1”為事件A0，
∴P(A0)＝××＋××＋××＝.
(2)ξ的所有可能取值為3,2,1,0，
P(ξ＝3)＝××＝＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝0)＝××＝＝，
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
∵ξ＋η＝3，∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝.
由于E(η)>E(ξ)，故B隊的實力較強．
高三數(shù)學 第79練 離散型隨機變量的均值與方差練習
