第二章隨機(jī)變量及其分布22《事件的相互獨(dú)立性》

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1、2.2.2 2.2.2 事件的相互事件的相互獨(dú)立性獨(dú)立性1理解兩個事件相互獨(dú)立的概念2能進(jìn)行一些與事件獨(dú)立性有關(guān)的概率的計算3通過對實例的分析，會進(jìn)行簡單的應(yīng)用 本課主要學(xué)習(xí)事件相互獨(dú)立性。通過知識回顧、問題探究引入新課，得到事件相互獨(dú)立概念，相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識相互獨(dú)立事件與互斥事件概念的區(qū)別，通過練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生鞏固概念，由例1、例2、例3問題解決加深對較為復(fù)雜的實際問題求概率的解題方法，強(qiáng)調(diào)解決應(yīng)用問題的思想方法與一般步驟。 在概念教學(xué)過程中，通過實例引導(dǎo)學(xué)生理解概念、應(yīng)用比較法讓學(xué)生區(qū)分新舊概念的實質(zhì)突出本節(jié)課重點(diǎn)，采用例題與變式結(jié)合的方法，通過例1、例2、例3問題

2、分析與講解掌握求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率實際問題的分析、解決問題的思想方法，突破本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)。什么叫做互斥事件？什么叫做對立事件？兩個互斥事件A、B有一個發(fā)生的概率公式是什么？若A與A為對立事件，則P（A）與P（A）關(guān)系如何？不可能同時發(fā)生的兩個事件不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件互斥事件；如果兩如果兩個互斥事件有一個發(fā)生時另一個必不發(fā)生個互斥事件有一個發(fā)生時另一個必不發(fā)生，這樣的兩個互斥事件叫對立事件對立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P()=1 條件概率 設(shè)事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率。 記作P(B |A).條件概

3、率計算公式:()()(|)( )( )n ABP ABP B An AP A注意條件：必須 P(A)0 我們知道，當(dāng)事件A的發(fā)生對事件B的發(fā)生有影響時，條件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有時事件A的發(fā)生，看上去對事件B的發(fā)生沒有影響， 比如依次拋擲兩枚硬幣的結(jié)果,拋擲第一枚硬幣的結(jié)果（事件A）對拋擲第二枚硬幣的結(jié)果（事件B）沒有影響，這時P(B|A)與P(B)相等嗎？?BA.B, A,3,13發(fā)生的概率嗎發(fā)生的概率嗎的發(fā)生會影響事件的發(fā)生會影響事件事件事件最后一名同學(xué)抽到獎券最后一名同學(xué)抽到獎券為為事件事件抽到獎券抽到獎券第一名同學(xué)沒有第一名同學(xué)沒有為為事件事件同學(xué)有放回地抽

4、取同學(xué)有放回地抽取名名現(xiàn)分別由現(xiàn)分別由張能中獎張能中獎張獎券中只有張獎券中只有思考思考 .BPAPA|BPAPABP,BPA|BP,31,.AB顯然 有放回地抽取獎券時 最后一名同學(xué)也是從原來的 張獎券中任取 張 因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對最后一名同學(xué)的抽獎結(jié)果沒有影響 即事件的發(fā)生不會影響事件 發(fā)生的概率于是1 1、事件的相互獨(dú)立性、事件的相互獨(dú)立性相互獨(dú)立事件及其同時發(fā)生的概率相互獨(dú)立事件及其同時發(fā)生的概率設(shè)A，B為兩個事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B 相互獨(dú)立。即事件A（或B）是否發(fā)生,對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事

5、件叫做相互獨(dú)立事件。如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，A與B是不是相互獨(dú)立的？注：注：區(qū)別：區(qū)別：互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個不同概念：兩個事件互斥是指這兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨(dú)立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。相互獨(dú)立2、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式：“第一個同學(xué)沒抽到獎劵、第三個同學(xué)抽到獎劵第一個同學(xué)沒抽到獎劵、第三個同學(xué)抽到獎劵”是一個事件，它的發(fā)生就是事件A,B同時發(fā)生，將它記作AB 這就是說，兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，這就是說，兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件的概率的積。等于每個事件的概率的積。 一般地，如果事件A1，

6、A2，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P P（A A1 1A A2 2A An n）=P=P（A A1 1）P P（A A2 2）P P（A An n）兩個相互獨(dú)立事件A,B同時發(fā)生,即事件AB發(fā)生的概率為：)()()(BPAPBAP 判斷事件A, B 是否為互斥, 互獨(dú)事件? 1.籃球比賽 “罰球二次罰球二次” . 事件A表示“ 第1球罰中”, 事件B表示“第2球罰中”.2.籃球比賽 “1+11+1罰球罰球” ” . 事件A表示 “ 第1球罰中”, 事件B表示 “第2球罰中”.3.袋中有4個白球, 3個黑球, 從袋中依次取2球.事件A:“取出的是白球”

7、.事件B:“取出的是黑球”. ( 不放回抽取)4.袋中有4個白球, 3個黑球, 從袋中依此取2球.事件A為“取出的是白球”.事件B為“取出的是白球”. ( 放回抽取)A與B為互獨(dú)事件A與B不是互獨(dú)事件也非互斥事件A與B為互獨(dú)事件A與B為非互獨(dú)是互斥事件例1 某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券。獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動。如果兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05 ,求兩次抽獎中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定號碼；（2）恰有一次抽到某一指定號碼；（3）至少有一次抽到某一指定號碼。 11,2,.,.,ABABAB記第 次 抽 獎 抽 到

8、 某 一 指 定 號 碼為 事 件第次 抽 獎 抽 到 某 一 指 定 號 碼為 事 件則兩 次 抽獎 都 抽 到 某 指 定 號 碼就 是 事 件由 于 兩 次 抽 獎 結(jié)果 互 不 影 響 因 此與相 互 獨(dú) 立 于 是 由 獨(dú) 立 性 可 得兩 次 抽 獎 都 抽 到 某 一 指 定解號 碼 的 概 率 BPAPABP.0025.005.005.0 所求的概率為獨(dú)立事件定義根據(jù)概率加法公式和互斥與由于事件表示可以用某一指定號碼兩次抽獎恰有一次抽到,BABA.BABA2 BPAPBPAPBAPBAP .095.005.005.0105.0105.0 所求的概率為立事件定義根據(jù)概率加法公式和

9、獨(dú)斥兩兩互和由于事件表示可以用到某一指定號碼兩次抽獎至少有一次抽,BABA,AB.BABAAB2.0975.0095.00025.0BAPBAPABP?為什么為什么獎概率的兩倍嗎獎概率的兩倍嗎概率是一次開獎中概率是一次開獎中二次開獎至少中一次的二次開獎至少中一次的思考思考例2 甲、乙二人各進(jìn)行1次射擊比賽，如果2人 擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計算：（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；（2）其中恰由1人擊中目標(biāo)的概率（3）至少有一人擊中目標(biāo)的概率解：(1) 記“甲射擊1次,擊中目標(biāo)”為事件A.“乙射 擊1次,擊中目標(biāo)”為事件B.答：兩人都擊中目標(biāo)的概率是0.36.且A與B相互獨(dú)立，又A與B各射擊1次,都

10、擊中目標(biāo),就是事件A,B同時發(fā)生，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率的乘法公式,得到P(AB)=P(A) P(B)=0.60.60.36 例2 甲、乙二人各進(jìn)行1次射擊比賽，如果2人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計算：(2) 其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率？解：“二人各射擊1次，恰有1人擊中目標(biāo)”包括兩種情況:一種是甲擊中, 乙未擊中（事件 ）另一種是甲未擊中，乙擊中（事件B發(fā)生）。BA48. 024. 024. 06 . 0)6 . 01 ()6 . 01 (6 . 0)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率是BA根據(jù)題意，這兩種情況

11、在各射擊1次時不可能同時發(fā)生，即事件B與 互斥，例2 甲、乙二人各進(jìn)行1次射擊比賽，如果2人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計算：（3）至少有一人擊中目標(biāo)的概率.解法1:兩人各射擊一次至少有一人擊中目標(biāo)的概率是84. 048. 036. 0)()()(BAPBAPBAPP解法2：兩人都未擊中的概率是84. 016. 01)(1,16. 0)6 . 01 ()6 . 01 ()()()(BAPPBPAPBAP目標(biāo)的概率因此，至少有一人擊中答：至少有一人擊中的概率是0.84.例3 在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)，只要其中有1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)閉合的概率都

12、是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率. 由題意，這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響。027. 0)7 . 01)(7 . 01)(7 . 01 ()(1)(1)(1 )()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP所以這段事件內(nèi)線路正常工作的概率是973. 0027. 01)(1CBAP答：在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是0.973.CBAJJJ、解：分別記這段時間內(nèi)開關(guān) 能夠閉合為事件A,B,C. 根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法式這段時間內(nèi)3個開關(guān)都不能閉合的概率是 1、分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)A是事件“第1枚為正面”，B是事件“第2枚為正面”，C是事件“2枚結(jié)果相同”

13、。問：A，B，C中哪兩個相互獨(dú)立？ 2、在一段時間內(nèi)，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在這段時間內(nèi)兩地是否下雨相互之間沒有影響，計算在這段時間內(nèi)：（1）甲、乙兩地都下雨的概率；（2）甲、乙兩地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率.P=0.20.30.06P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.443.某戰(zhàn)士射擊中靶的概率為0.99.若連續(xù)射擊兩次. 求: (1) 兩次都中靶的概率; (2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率; (4)目標(biāo)被擊中的概率.分析: 設(shè)事件A為“第1次射擊中靶”. B為“第2次射擊中靶”. 又A與B是

14、相互獨(dú)立的. （1）“兩次都中靶” 是指 “事件A發(fā)生且事件B發(fā)生” 即AB P( AB）= P（A）P（B）（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 AB + AB+ AB. 求 P(AB + AB+ AB) （3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (不中,不中) 即 AB + AB+ AB. 求 P(AB + AB+ AB) （4）“目標(biāo)被擊中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 AB + AB+ AB. 求 P(AB + AB+ AB) 解題步驟：1.用恰當(dāng)?shù)淖帜笜?biāo)記事件,如“XX”記為A, “YY”記為B.2.理清題意, 判斷各事件之間的關(guān)系(等可能;互斥;互獨(dú); 對立). 關(guān)鍵詞 如“至多” “至少” “同時” “恰有”.求“至多” “至少”事件概率時,通?？紤]它們的對立事件的概率.3.尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系. “所求事件” 分幾類 (考慮加法公式, 轉(zhuǎn)化為互斥事件) 還是分幾步組成(考慮乘法公式, 轉(zhuǎn)化為互獨(dú)事件) 4.根據(jù)公式解答求較復(fù)雜事件概率正向反向?qū)α⑹录母怕史诸惙植絇(A+B)= P(A) + P (B)P(AB)= P(A) P (B)( 互斥事件)( 互獨(dú)事件)獨(dú)立事件一定不互斥獨(dú)立事件一定不互斥. .互斥事件一定不獨(dú)立互斥事件一定不獨(dú)立. .