拋物線線及拋物線地性質

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1、全國中小學＜1外堵訴行業(yè)繭5強 拋物線的定義及性質 一、拋物線的定義及標準方程 拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。 定點F叫做拋物 線的焦點，定直線I叫做拋物線的準線。 標準方程 2 y = 2px ( p > 0) 2 y = -2px ( p >0) 2 x =2py ( p>0) 2 x = -2 py ( p > 0) 圖形 y 二 1 ■ A O x /I 丫 焦占 八 '、八\、 〔列 Lb,0〕 I 2丿 牡] I 2丿 [4] I 2丿 準線 x聖

2、 2 y - 2 y = B 2 對稱軸 x軸 y軸 頂點 (0,0) 離心率 e = 1 例1、指出拋物線的焦點坐標、準線方程. (1) x = ay2(a =0) 2 (2) y =2x-1 【練習1】 1、求以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過 P (-2 , -4 )的拋物線方程。 2、若動圓與圓(X-2)2 ? y2 =1外切，又與直線 x ^0相切，求動圓圓心的軌跡方程。 3、設拋物線過定點 A 2,0，且以直線x = 2為準線。求拋物線頂點的軌跡 C的方程; 二、拋物線的性質 例2、若拋物線y2二x上一點P到準線的距離等于 它

3、到頂點的距離，則點 P的坐標為( 1 A.(一 4 C. 1 B. A (4 D. & 【練習2】 1、拋物線y2 = 10x的焦點到準線的距離是( 5 A .- 2 2、若拋物線y 15 C.― 2 2 =8x上一點P到其焦點的距離為 D. 10 9，則點P的坐標為( A . (7,—總) B. (14^ .14) (-7, —2帀 3、拋物線的頂點在原點，對稱軸為 x軸，焦點在直線 3x-4y-12=0上，此拋物線的方程是 A、 y2 =16x B、 y2 =12x C、y2 = -16x D、y2=-1

4、2x 4、設拋物線y2 =8x的焦點為F，準線為丨，P為拋物線上一點，PA丄l ,A為垂足.如果直線AF的斜率為 八3 , 那么 |PF|=( ) (A) 4 ■ 3 (B)8 (C)8'3 (D) 16 三、拋物線中的最值問題 例3、若點A的坐標為(3,2) , F是拋物線y2 =2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使 MF|+|MA取 得最小M的坐標為( ) 廣1 \ A. (0,0) B. - ,1 i C.(1, ￡) D. (2,2) <2丿 【練習3】 1、 設AB為過拋物線y2 =2px(p >0)的焦點的弦，貝U AB的最小值為( ) A

5、. — B. p C. 2p D .無法確定 2 2、 若點A的坐標為(2,3) , F是拋物線y2 =2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使 MF| +|MA取 得最小距離為 2 3、 在拋物線y =4x上求一點p,使這點到直線 y =4x-5的距離最短，則點 P坐標為 。 4、 已知A(0, -4), B(3,2)，拋物線y2 =8x上的點到直線 AB的最段距離 5、 已知拋物線y2 =2Px(P 0)，點A(2,3) , F為焦點，若拋物線上的動點 M到A、F的距離之和的最小 值為，求拋物線方程? 四、拋物線的應用 2 1 例4、拋物線y =2x2上兩點A(x1

6、,y1)、B(x2, y2)關于直線= x m對稱，且x1 則m等于( ) 3 c 5 門 A. - B. 2 C. — D. 3 2 2 【練習4】 1、 設拋物線y2 =8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2 9 2、 設拋物線y = 2x的焦點為F，以P(2,0)為圓心，PF長為半徑作一圓，與拋物線在 x軸上方交于 M ,N，則 |MF | ? |NF | 的值為( ) (A)8 (B)18 (C) 2 2 (D)4 3、 已知頂點在原點，焦點在 x軸上的拋物線被直線 y =2x?1截得的弦長

7、為、15，求拋物線的方程。 四、直線與圓錐曲線的位置關系 一、知識整理： 1?考點分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多。 多數(shù)涉及求圓錐曲線的方程、求參數(shù)的取值范圍等等。 2.解答直線與圓錐曲線相交問題的一般步驟： 設線、設點， 聯(lián)立、消元， 韋達、代入、化簡。 第一步：討論直線斜率的存在性，斜率存在時設直線的方程為 y=kx+b （或斜率不為零時，設 x=my+a）; 第二步：設直線與圓錐曲線的兩個交點為 A（X!,y!）B（X2,y2）； "v = kx + b 第三步：聯(lián)立方程組丿y ，消去y得關于X的一元二次方程； ‘Xi

8、 +x2 = Xi x2 = f（x,y） =0 第四步：由判別式和韋達定理列出直線與曲線相交滿足的條件 丿 、 A >0 第五步：把所要解決的問題轉化為 X什X2、X1X2，然后代入、化簡。 3.弦中點問題的特殊解法 ——點差法：即若已知弦AB的中點為M（xo,y。），先設兩個交點為 A（x i,yi）,B（X2,y2）; 分別代入圓錐曲線的方程，得 f（Xi，yJ 0,f（x2，y2） 0，兩式相減、分解因式，再將 Xi X2 =2Xo,yi y2 =2y°代入其中，即可求出直線的斜率。 4.弦長公式：| AB |=兇? k2 | Xi -X2 |= J(i - k2)[(

9、Xi X2)2 _4XiX2】(k為弦AB所在直線的斜率) 例題分析 2 2 x v 1. （2008海南、寧夏文）雙曲線 i的焦距為（ ） i0 2 A. 3、2 B. 4、、2 C. 33 D. 4 3 2 X 2 2. （ 2004全國卷I文、理） 橢圓 y =i的兩個焦點為 Fi、F2,過Fi作垂直于x軸的 4 直線與橢圓相交，一個交點為 P,則| PF2 |=（ ） A. B. .3 C. D. 4 2 2 2 3. （2006遼寧文）方程2x -5x 2=0的兩個根可分別作為（ ） A. —橢圓和一雙曲線的離心率 E.兩拋物線的離心率 C. 一

10、橢圓和一拋物線的離心率 D.兩橢圓的離心率 _ 2 4. （2006四川文、理）直線y = x— 3與拋物線y = 4x交于A、B兩點，過A、B兩點向 拋物線的準線作垂線，垂足分別為 P、Q ，則梯形APQB的面積為（ ） （A） 48. （ B） 56 （C） 64 （D） 72. 2 2 5. （2007福建理）以雙曲線- y i的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是 （ 9 i6 A + -10x+9 = 0 B. + - 10x+16=0 e =丄，且它的一個焦點與拋物線 2 C . x2+y: + 10x+16=0 D. x: + y2 + 10x+9=C

11、 6. （2004全國卷W理） 已知橢圓的中心在原點，離心率 2 y二-4x的焦點重合，則此橢圓方程為（ ） 2 x + 2 彳 C. y = i 2 2 X + 2 “ D. y =i 4  7. （2005湖北文、理） 合, 則mn的值為 3 3 B .— 16 8 8. (2008 重慶文）若雙曲線 x2 雙曲線 m ） 16 3 16y2 D. 二1（mn = 0）離心率為2,有一個焦點與拋物線 y2二4x的焦點重 2 x ~3 (A)2 (B)3 (C)4 9. （2002北京文）已知橢圓 ==1的左焦點在拋物線

12、P （D）42 2 y 2 ^1和雙曲線 5n y2=2px的準線上，則p的值為（） 10. 雙曲線的漸近線方程是（ JT5 A. x y B. 2 2 x c 2 3m ) x2 2m2 2 y2 =1有公共的焦點，那么 3n C. （2003春招北京文、理） 在同一坐標系中, x y D. y x 4 4 2 --y2 =1與ax by2 b2 2 、“ x 萬程 — a = 0（a b ■ 0）的曲線大致是 11. （2005上海文）若橢圓長軸長與短軸長之比為 2，它的一個焦點是 2 15,0，則橢圓的 12. （

13、2008江西文）已知雙曲線 若頂點到漸近線的距離為 13. （2007上海文）以雙曲線 2 2 x y 、3 — 2 =1（a 0,b 0）的兩條漸近線方程為 y x, a b 3 1,則雙曲線方程為— _. 2 2 —=1的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的 4 5 標準方程是 - 拋物線方程是 . 2 14.（2008天津理）已知圓C的圓心與拋物線 y =4x的焦點關于直線 y=x對稱直線4x-3y-2 = 0與圓 C相交于A, B兩點，且 AB =6 ,則圓C的方程為 . 15 （2010，惠州第二次調研） 已知圓C方程為：x2 y2 =4 .

14、 （1） 直線l過點P 1,2，且與圓C交于A、B兩點，若|AB| = 2?.3，求直線l的方程； T T （2） 過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m，設m與y軸的交點為N，若向量OQ =OM ON， 求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線 . 16 (2010，惠州第三次調研) 已知點P是O O : x2 y^9上的任意一點，過 P作PD垂直x軸于D，動 2 點Q滿足DQ DP 。 3 (1) 求動點Q的軌跡方程； (2) 已知點E(1,1)，在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點 M、N ,使OE =丄(0總 ON ) (O 2 是坐標原點)，若存在，求出

15、直線 MN的方程，若不存在，請說明理由。 2 2 x y 17(2006北京文)橢圓C：r 2=1(a b 0)的兩個焦點為F1,F2，點P在橢圓C上，且 a b 4 14 PF^F1F2,|PF1^-,|PF2^1-. 3 3 (I)求橢圓C的方程； . . 2 2 (n )若直線I過圓x +y +4x-2y=0的圓心M交橢圓C于A, B兩點，且A B關于點M對稱，求直線I的方程.. 18 (2010,珠海市一模)如圖，拋物線的頂點 O在坐標原點，焦點在 y軸負半軸上。過點 M (0, - 2)作直 線丨與拋物線相交于 A、B兩點，且滿足 T T OA OB =(

16、-4, -12). (I )求直線丨和拋物線的方程； (n )當拋物線上一動點 P從點A向點B運動時，求 ABP面積的最大值. 19(2010,廣東六校第四次聯(lián)考) 已知動點P的軌跡為曲線 C，且動點P到兩個定點 離pf1 , pf2的等差中項為2. 斤(-1,0), F2(1,0)的距 (1) 求曲線C的方程； (2) 直線l過圓X2 y2 4^0的圓心Q與曲線C交于M,N兩點，且 ON OM = 0(0為坐標原點), 求直線丨的方程. 5 45 20 (2010，珠海二模文) 已知兩圓 01: (x 1)2 y2 和 02 : (x -1)2 ? y2 ： 4 4 且與O 02內切. (1) 求動圓圓心P的軌跡方程； (2) 過點M(5, 0)作直線l與點P的軌跡交于不同兩點 A、B,試推斷是否存在直線 垂直平分線經(jīng)過圓心 02?若存在，求出直線 丨的方程；若不存在，說明理由. 動圓P與O 01外切, 丨，使得線段AB的