人教版高二數(shù)學選修4《極坐標系的概念》公開課獲獎課件

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1、Page 1極坐標系的概念Page 2平面直角坐標系中的點平面直角坐標系中的點P與坐標與坐標(a ,b)是是 _對應的對應的.P(a,b).xyOab 平面直角坐標系是最簡單平面直角坐標系是最簡單最常用的一種坐標系，但不是最常用的一種坐標系，但不是唯一的一種坐標系唯一的一種坐標系. 有時用別有時用別的坐標系比較方便的坐標系比較方便.我們先看下面的問我們先看下面的問題題. .還有什么坐標系呢？還有什么坐標系呢？與角與角終邊相同的角：終邊相同的角：= =+2+2k, ,kZZ一一一一Page 35 海里海里（1）距離：）距離：5 海里海里（2）方向：東偏北）方向：東偏北20.Ox拯救船拯救船20發(fā)

2、現(xiàn)走私發(fā)現(xiàn)走私!如何確定以下兩船如何確定以下兩船的位置關系呢？的位置關系呢？Page 4距離距離40 km xO方向：方向：4Page 5從這向南從這向南走走2000米米.請問：去屠宰場怎么走？請問：去屠宰場怎么走？思考思考: :“從這向南走從這向南走20002000米米”這句話包含哪些要素這句話包含哪些要素? ? 它為何能使問路人明確屠宰場的位置它為何能使問路人明確屠宰場的位置? ?Page 6以天河路為以天河路為X軸軸以廣州大道為以廣州大道為Y軸軸.請問：請問：去廣州塔怎么走？去廣州塔怎么走？Page 7以天河路為以天河路為X軸軸以廣州大道為以廣州大道為Y軸軸.Page 8從這向東從這向東

3、2000米。米。請問：請問：去廣州塔怎么走？去廣州塔怎么走？Page 9請分析這句話，他告訴了問路人什么？請分析這句話，他告訴了問路人什么？從從 這這 向 東向 東 走走 2 0 0 0 米米 ！出發(fā)點出發(fā)點方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用這種用方向方向和和距離距離表示平面上一點的位置的思想，就是表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。極坐標的基本思想。Page 101 1、極坐標系的建立：、極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點O，叫做，叫做極點；極點；自極點自極點O引一條射線引一條射

4、線OX，叫做，叫做極軸；極軸；再選定一個再選定一個長度單位、一個角度長度單位、一個角度單位（通常取弧度）單位（通常取弧度）及其及其正方向正方向（通常取逆時針方向）（通常取逆時針方向）.這樣就建立了一個這樣就建立了一個極坐標系極坐標系.XO建構(gòu)數(shù)學建構(gòu)數(shù)學Page 112 2、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定 對于平面上任意一點對于平面上任意一點M,M,用用 表示線段表示線段OMOM的長度的長度, ,用用 表示以射線表示以射線OXOX為始邊為始邊, ,射線射線OMOM為終邊所成的為終邊所成的角角, , 叫做點叫做點M M的的極徑極徑, , 叫做點叫做點M M的的極角極角

5、, ,有序數(shù)對有序數(shù)對( ( , , ) )就叫做就叫做M M的的極坐標極坐標。XOM 極點極點的極坐標為的極坐標為_(0, ), 可為任意值可為任意值.思考思考: 對比直角坐標系，比較異同。對比直角坐標系，比較異同。(1)要素：要素：_ _；(2) 平面內(nèi)點的極坐標用平面內(nèi)點的極坐標用_表示表示.極點、極軸、長度單位、極點、極軸、長度單位、計算角度的正方向計算角度的正方向( , )Page 12例例1、 如圖，寫出各點的極坐標：如圖，寫出各點的極坐標：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 31數(shù)學

6、運用數(shù)學運用56 43 53 2 4 Page 134(3,0)(6, 2)(3,)(5,)2355(3,)(4,)(6,)63、ABCDEFG 變式訓練變式訓練 在圖在圖1-11上描下列點：上描下列點：小結(jié)小結(jié)由極坐標描點的步驟：由極坐標描點的步驟： (1) 先按先按極角極角找到點所在射線；找到點所在射線； (2) 在此射線上按在此射線上按極徑極徑描點描點.思考思考: 平面上一點的極坐標是否唯一？平面上一點的極坐標是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？Page 143 3、點的極坐標的表

7、達式的研究、點的極坐標的表達式的研究XOM 如圖：如圖：OM的長度為的長度為4，4請說出點請說出點M的極坐標的表達式？的極坐標的表達式？思考：思考：這些極坐標之間有何異同？這些極坐標之間有何異同？思考：思考：這些極角有何關系？這些極角有何關系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。是終邊相同的角。4+2k4， 極徑相同，不同的是極角極徑相同，不同的是極角.Page 154 4、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況11給定（給定（ , , ）, ,就可以在就可以在極坐標極坐標平平面內(nèi)確定唯一的一點

8、面內(nèi)確定唯一的一點M M22給定平面上一點給定平面上一點M M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應。，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數(shù)個。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(,)如果如果限定限定0,00,022那么那么除極點除極點外外, ,平面內(nèi)的點和極坐標就可以平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應一一對應了了. .Page 1621P5Q 1PQ4452P5Q 1PQ4,43,0M3例 、在極坐標系中，（ ）已知兩點 （ 、 ）， （ ， ），求線段的長度。（ ）已知兩點 （ 、）， （ ， ），求線段的長度。（ ）說明滿足條件的點（ ， ）所組成的圖形表示什么樣的圖形？，則）中的若（MR

9、3數(shù)學運用數(shù)學運用Page 17 在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的 情況下，也允許取負值情況下，也允許取負值( 0):當當 0時如何規(guī)定時如何規(guī)定( , )對應的點的位置？對應的點的位置？Ox當當 0時，點時，點M( , )的位置規(guī)定：的位置規(guī)定： )| | M( , )OxM(-2, )5 6)5 6點點M：在角：在角 終邊的反向延長線上，且終邊的反向延長線上，且|OM|=| |M(-2, )5 65、關于負極徑、關于負極徑小結(jié)：小結(jié)： 從比較來看從比較來看, 負極徑比正極徑多了一個操作負極徑比正極徑多了一個操作, 將射線將射線OP“反

10、向延長反向延長”.Page 18。Ox 4 25 65 45 3 11 62 33 2A(-4,0)C(-2, ) 2B(3, )5 6D(-1, )5 3E(3,- ) 6(-4,- ) 3FABCDEF小結(jié)小結(jié)( , )( , 2k + )(- , + )(- , +(2k+1) )都是同一點的都是同一點的 極坐標極坐標.1Page 1933一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？11建立一個極坐標系需要哪些要素建立一個極坐標系需要哪些要素? ?極點；極軸；長度單位；計算角度的正方向極點；極軸；長度單位；計算角度的正方向. .22極坐標系內(nèi)一點的極坐標有多少種表達式？極

11、坐標系內(nèi)一點的極坐標有多少種表達式？無數(shù)，極角有無數(shù)個無數(shù)，極角有無數(shù)個. .有。（有。（，2 2k+）課堂小結(jié)課堂小結(jié)Page 20思考思考: 極坐標系中極坐標系中, 點點M的坐標為的坐標為(-10, ), 則下列各則下列各 坐標中坐標中, 不是不是M點的坐標的是點的坐標的是( ) (A) (10, ) (B) (-10, - ) (C) (10, - ) (D)(10, )4 3 35 32 32 3課后作業(yè)課后作業(yè)Page 21 1956年，斯德哥爾摩的街頭，年，斯德哥爾摩的街頭，52歲的笛卡爾邂逅歲的笛卡爾邂逅了了18歲的瑞典公主克里斯汀。歲的瑞典公主克里斯汀。 那時，落魄、一文不名的

12、笛卡爾過著乞討的生活，那時，落魄、一文不名的笛卡爾過著乞討的生活，全部的財產(chǎn)只有身上穿的破破爛爛的衣服和隨身所帶的全部的財產(chǎn)只有身上穿的破破爛爛的衣服和隨身所帶的幾本數(shù)學書籍。生性清高的笛卡爾從來不開口請求路人幾本數(shù)學書籍。生性清高的笛卡爾從來不開口請求路人施舍，他只是默默地低頭在紙上寫寫畫畫，潛心于他的施舍，他只是默默地低頭在紙上寫寫畫畫，潛心于他的數(shù)學世界。一個寧靜的午后，笛卡爾照例坐在街頭，沐數(shù)學世界。一個寧靜的午后，笛卡爾照例坐在街頭，沐浴在陽光中研究數(shù)學問題。他如此沉溺于數(shù)學世界，身浴在陽光中研究數(shù)學問題。他如此沉溺于數(shù)學世界，身邊過往的人群，喧鬧的車馬隊伍。都無法對他造成干擾。邊過

13、往的人群，喧鬧的車馬隊伍。都無法對他造成干擾。突然，有人來到他旁邊，拍了拍他的肩膀，突然，有人來到他旁邊，拍了拍他的肩膀，“你在干什你在干什么呢？么呢？”扭過頭，笛卡爾看到一張年輕秀麗的臉龐，一扭過頭，笛卡爾看到一張年輕秀麗的臉龐，一雙清澈的眼睛如湛藍的湖水，楚楚動人，長長的睫毛一雙清澈的眼睛如湛藍的湖水，楚楚動人，長長的睫毛一眨一眨的，期待著他的回應。她就是瑞典的小公主，國眨一眨的，期待著他的回應。她就是瑞典的小公主，國王最寵愛的女兒克里斯汀。王最寵愛的女兒克里斯汀。Page 22她蹲下身，拿過笛卡爾的數(shù)學書和草稿紙，和他交談起來。言談中，他發(fā)現(xiàn)，這個小女孩思維敏捷，對數(shù)學有著濃厚的興趣。和

14、女孩道別后，笛卡爾漸漸忘卻了這件事，依舊每天坐在街頭寫寫畫畫。幾天后，他意外地接到通知，國王聘請他做小公主的數(shù)學老師。滿心疑惑的笛卡爾跟隨前來通知的侍衛(wèi)一起來到皇宮，在會客廳等候的時候，他聽到了從遠處傳來的銀鈴般的笑聲。轉(zhuǎn)過身，他看到了前兒天在街頭偶遇的女孩子?；琶χ校s緊低頭行禮。從此，他當上了公主的數(shù)學老師。Page 23公主的數(shù)學在笛卡爾的悉心指導下突飛猛進，他們之間也開始變得親密起來。笛卡爾向她介紹了他研究的新領域直角坐標系。通過它，代數(shù)與幾何可以結(jié)合起來，也就是日后笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何學的雛形。在笛卡爾的帶領下，克里斯汀走進了奇妙的坐標世界，她對曲線著了迷。每天的形影不離也使他們彼

15、此產(chǎn)生了愛慕之心。在瑞典這個浪漫的國度里，一段純粹、美好的愛情悄然萌發(fā)。然而，沒過多久，他們的戀情傳到了國王的耳朵里。國王大怒，下令馬上將笛卡爾處死。在克里斯汀的苦苦哀求下，國王將他放逐回國，公主被軟禁在宮中。當時，歐洲大陸正在流行黑死病。身體孱弱的笛卡爾回到法國后不久，便染上重病。Page 24 在生命進入倒計時的那段日子，他日夜思念的還是街頭偶遇的那張溫暖的笑臉。他每天堅持給她寫信，盼望著她的回音。然而，這些信都被國王攔截下來，公主一直沒有收到他的任何消息。在笛卡爾給克里斯汀寄出第十三封信后，他永遠地離開了這個世界。此時，被軟禁在宮中的小公主依然徘徊在皇宮的走廊里，思念著遠方的情人。這最后

16、一封信上沒有寫一句話，只有一個方程：r=a(1-sin)。國王看不懂，以為這個方程里隱藏著兩個人不可告人的秘密，便把全城的數(shù)學家召集到皇宮，但是沒有人能解開這個函數(shù)式。他不忍看著心愛的女兒每天悶悶不樂，便把這封信給了她。Page 25 拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了戀人的意圖，找來紙和筆，著手把方程圖形畫了出來，一顆心形圖案出現(xiàn)在眼前，克里斯汀不禁流下感動的淚水，這條曲線就是著名的“心形線”。國王去世后，克里斯汀繼承王位，登基后，她便立刻派人去法國尋找心上人的下落，收到的卻是笛卡爾去世的消息，留下了一個永遠的遺憾這封享譽世界的另類情書，至今，還保存在歐洲笛卡爾的紀念館里。Page 26)sin1 ( arPage 27事實上，笛卡爾和克里斯蒂娜的確有過交情。不過，笛卡爾是 1649 年 10 月 4 日應克里斯蒂娜邀請才來到的瑞典，并且當時克里斯蒂娜已經(jīng)成為了瑞典女王。并且，笛卡爾與克里斯蒂娜談論的主要是哲學問題。有資料記載，由于克里斯蒂娜女王時間安排很緊，笛卡爾只能在早晨五點與她探討哲學。天氣寒冷加上過度操勞讓笛卡爾不幸患上肺炎，這才是笛卡爾真正的死因。心形線的故事究竟幾分是真幾分是假，還是留給大家自己判斷吧。