柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用-

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1、柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用 柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因?yàn)?，正是后兩位?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解。 柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問(wèn)題的方面得到應(yīng)用。 一、柯西不等式的各種形式及其證明 二維形式 在一般形式中， 等號(hào)成立條件： 擴(kuò)展： 等號(hào)成立條件： 二維形式的證明： 三

2、角形式 三角形式的證明： 向量形式 向量形式的證明： 一般形式 一般形式的證明： 證明： 推廣形式(卡爾松不等式)： 卡爾松不等式表述為：在m*n矩陣中，各行元素之和的幾何平均數(shù)不小于各列元素 之積的幾何平均之和。 或者： 或者 推廣形式的證明： 推廣形式證法一： 或者 推廣形式證法二： 事實(shí)上涉及平均值不等式都可以用均值不等式來(lái)證， 這個(gè)不等式并不難，可以簡(jiǎn)單證明如下： 付：柯西（Cauchy）不等式相關(guān)證明方法： 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立（k為常數(shù)，）現(xiàn)將它的證明介紹如下：

3、 證明1：構(gòu)造二次函數(shù) = 恒成立 即 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)等號(hào)成立 證明（2）數(shù)學(xué)歸納法 （1）當(dāng)時(shí) 左式= 右式= 顯然 左式=右式 當(dāng) 時(shí)， 右式 右式 僅當(dāng)即 即時(shí)等號(hào)成立 故時(shí) 不等式成立 （2）假設(shè)時(shí)，不等式成立 即 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立 設(shè) 則 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立 即 時(shí)不等式成立 綜合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的應(yīng)用 1、巧拆常數(shù)證不等式 例1：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。求證

4、： . 均為正數(shù)　 　　為證結(jié)論正確，只需證： 　 又 又互不相等，所以不能取等 原不等式成立，證畢。 2、求某些特殊函數(shù)最值 例2： 函數(shù)的定義域?yàn)閇5，9], 3、用柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。 已知點(diǎn)及直線 設(shè)點(diǎn)p是直線上的任意一點(diǎn)， 則 （1） （2） 點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離就是點(diǎn)到直線的距離，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得： 即 （3） 當(dāng)且僅當(dāng) （3）式取等號(hào) 即點(diǎn)到直線的距離公式 即 4、 證

5、明不等式 例 3已知正數(shù)滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因?yàn)? 在此不等式兩邊同乘以2，再加上得： 故 5、 解三角形的相關(guān)問(wèn)題 例 4設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明 證明：由柯西不等式得， 記為的面積，則 故不等式成立。 6、 求最值 例5已知實(shí)數(shù)滿足， 試求的最值 解：由柯西不等式得，有 即 由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立， 代入時(shí)， 時(shí) 7、利用柯西不等式解方程 例6在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程 解：由柯西不等式，得 ①

6、 又 即不等式①中只有等號(hào)成立 從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得 它與聯(lián)立，可得 8、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù) 在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。 現(xiàn)記，，則， ，由柯西不等式有， 當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，，為常數(shù)。點(diǎn) 均在直線 上， 當(dāng)時(shí)， 即 而 為常數(shù)。 此時(shí)，此時(shí)，，為常數(shù) 點(diǎn)均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大 當(dāng)時(shí)，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù)，使得點(diǎn)都在直線附近。所以，越接近于0，則相

7、關(guān)程度越小。 9、關(guān)于不等式的幾何背景 幾何背景：如圖，在三角形中，， 則 Q（c，d） O P（a，b） 將以上三式代入余弦定理，并化簡(jiǎn)，可得 或 因?yàn)?，所以，? 于是 . 柯西不等式的相關(guān)內(nèi)容簡(jiǎn)介 （1） 赫爾德(Holder)不等式 當(dāng)時(shí)，即為柯西不等式。因此，赫爾德不等式是柯西不等式更為一般的形式，在分析學(xué)中有著較為廣泛的應(yīng)用。 （2） 平面三角不等式（柯西不等式的等價(jià)形式） 可以借助其二維形式來(lái)理解，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，很容易驗(yàn)證這一不等式的正確性。 該不等式的一般形式 稱為閔可夫斯基（Minkowski）不等式。它是由閔可夫斯基在對(duì)n維空間中的對(duì)稱凸幾何體定義了一種“距離”的基礎(chǔ)上得到的，即對(duì)于點(diǎn)，定義其距離為 . 閔可夫斯基立足于這一不等式確立了相應(yīng)的幾何，建立了一種類似于現(xiàn)代度量空間的理論，即實(shí)變函數(shù)中的賦范空間基礎(chǔ)。這從另一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)了柯西不等式的豐富數(shù)學(xué)背景。