六年級數學教案《分數的除法》

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1、 六年級數學教案——《分數的除法》 根據量、度量單位（基準量）與量數的基本關系： 量＝度量單位（基準量）量數。 我們已經知道：當 a、b 是自然數，且 b0 時，除法算式 ab 表示兩種意義： ⑴由量基準量（度量單位）＝量數，可知： ab 可以表示 a 是 b 的幾倍或幾分之幾。這時 a 與 b 表示兩個量。 ⑵由量量數＝基準量（度量單位） ，可知： ab 可以表示什么 數的 b 倍等于 a，或者把 a 平均分成 b 份，每份是多少。這 時 a 表示一個量， b 表示量數（用所求的量去度

2、量 a 所得的 結果）。 從實際問題抽象出來的除法算式 ab，究竟表示上述兩種意義 中的哪一種，必須結合具體情景才能來確定。 當 a、b 為分數時，除法算式 ab 仍然具有上述兩種意義，但必須探索它的算法。分數除法的算法分兩種情形來探索：一是除數是整數的情形；二是除數是分數的情形。 一、除數是整數的分數除法 下圖（圖 1）是一個長方形，把它的涂色部分平均分成 2 份，每份是這個長方形的幾分之幾？ 圖 1 我們可以從前面的分數墻上直接看出這個結果。 但是，我們還需要探索，從算式 2 怎么算出結果呢？

3、 第 1 頁 算法 1： 2＝＝。 一個分數的分子縮小到原來的一半，分母不變，所得的分數 就是原來的一半。 算法 2：因為的一半等于的，所以， 2＝＝。 比較上面兩種算法，算法 1 有局限性，它轉化為兩個整數的 除法運算，可是在整數范圍除法并非總能實施，暢通無阻。 如果圖 1 中的涂色部分平均分成 3 份，每份是這個長方形的 幾分之幾？ 算式： 3＝？ 上面的算法 1 就行不通了，算法 2 行得通。 因為 3＝的，所以， 3＝＝。圖 2

4、 圖 2 中的斜線部分是長方形的，也驗證了上面的算法是正確的。 從以上的探索結果，可以產生一個猜想：除以一個整數（零除外）等于乘這個整數的倒數。 這個猜想是否成立？有待檢驗。 理解分數除法的意義，還有另一條重要途徑。 在探索分數乘法意義的時候，我們得到一個重要的數量關系： 量＝度量單位量數 第 2 頁 從這個基本關系可以引伸出兩個變式： 量量數＝度量單位， 或量度量單位＝量數。 因此，對于除法算式 3＝？的意義，可以作這樣解釋：用什 么數為度量單位去度量時，量數

5、是 3？于是便有下面的代數解法： 設 3＝ x， 可得， 3x＝， x＝， x＝。 即 3＝。 在圖 2 中，用斜線部分（即）為度量單位去度量涂色部分 （即）時，量數的確是 3。這里，我們又看到了，代數的方法與圖形的直觀相互印證，和諧統一。 代數在解法的過程中，注意到 3＝ x 和 x＝， 得 3＝。 這也驗證了一個數學事實：除以一個自然數（零除外）等于乘這個數的倒數。 二、除數是分數的除法 這個探索其實不必再從具體情景或實際操作入手。 因為前面在探索除數是整數的分數除法的時

6、候，已經獲得了重要的數學事實：除以一個自然數（零除外）等于乘這個數 第 3 頁 的倒數。因此，可以類比，得到猜想：除以一個分數是否等 于乘這個分數的倒數呢？ 驗證這個猜想，除了教材提供的方法外，還有其他途徑。 途徑 1：用代數方法檢驗。 計算： 8＝？ 設 8＝ x， 可得， x＝ 8， x＝ 8， x＝ 12。 注意到 8＝ x 和 x＝ 8，即 8＝ 8。 途徑 2：從已知到未知的推理。 8＝ 8（ 1） ＝ 8 根據倒數關系：＝ 1 ＝ 12。 因此，無論除數是整數還是分數，分數除法只有如下法則： 除以一個數（零除外）等于乘這個數的倒數。 這個法則也告訴我們，倒數概念的重要性：有了倒數，乘法和除法兩種不同的運算可以統一為乘法運算。 第 4 頁