高中數(shù)學(xué) 第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探討 3_1 平行射影練習(xí) 新人教A版選修4-1

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3.1 平行射影 A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．下列說法正確的是(　　) A．正射影和平行射影是兩種截然不同的射影 B．投影線與投影平面有且只有一個(gè)交點(diǎn) C．投影方向可以平行于投影平面 D．一個(gè)圖形在某個(gè)平面的平行射影是唯一的 答案：A 2．若一條直線與平面的一條斜線在此平面上的正射影垂直，則這條直線與這條斜線的位置關(guān)系是(　　) A．垂直　　　　　　　 B．異面 C．相交 D．不能確定 解析：當(dāng)這條直線在平面內(nèi)，則A成立，若這條直線是平面的垂線，則B或C成立． 答案：D 3．直線a，b在平面α內(nèi)的正射影互相平行，則直線a，b的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面 答案：D 4．Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi)，則△ABC的兩條直角邊在平面α內(nèi)的射影與斜邊組成的圖形只能是(　　) A．一條線段 B．一個(gè)銳角三角形 C．一個(gè)鈍角三角形 D．一條線段或一個(gè)鈍角三角形 答案：D 5．球在點(diǎn)光源P的照射下，在一個(gè)平面π上的射影的形狀為(　　) A．圓 B．橢圓 C．圓或橢圓 D．圓或橢圓或拋物線或雙曲線的一支 解析：設(shè)平面π與PO的夾角為β(O為球心)，若β＝，則射影為圓；再設(shè)PO與過P點(diǎn)的球的切線的夾角為α，則α<β<時(shí)，射影為橢圓；α＝β時(shí)，射影為拋物線；α>β時(shí)，射影為雙曲線的一支． 答案：D 二、填空題 6．一條直線在平面上的正射影是________． 解析：當(dāng)直線和平面垂直的時(shí)候，直線在平面內(nèi)的正射影是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)直線和平面不垂直的時(shí)候，直線在平面內(nèi)的正射影是一條直線． 答案：一個(gè)點(diǎn)或一條直線 7．下列語句不正確的是________(填序號(hào))． (1)正射影是平行射影的特例； (2)平行于投影面的線段，它的平行射影與這條線段平行且相等； (3)在同一直線或平行直線上，兩條線段平行射影的比等于這兩條線段的比； (4)兩條相交直線的平行射影還是兩條相交直線． 解析：正射影是平行射影的特例，從而(1)正確；根據(jù)平行射影的性質(zhì)，(2)是正確的；同樣(3)也是平行射影的性質(zhì)，因此也正確．而(4)中，兩條相交直線的平行射影是兩條相交直線或一條直線，故(4)不正確． 答案：(4) 8.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝，則PA與底面ABC所成角為________． 解析：如圖所示，PA在面ABC的正射影必在BC中點(diǎn)E及點(diǎn)A的連線上，則所求角平面為∠PAE. 又∠BAC＝，則A在以BC為直徑的圓周上，即AE＝BC. 易得△PAE為直角三角形，且∠PAE＝.故所求為. 答案： 三、解答題 9.如圖所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，A′是A在平面BCD上的正射影，求證A′不可能是△BCD的垂心． 證明：假設(shè)A′為△BCD的垂心，連接BA′，并延長BA′交CD于點(diǎn)E， 則A′B⊥CD. 由題意知AA′⊥平面BCD于點(diǎn)A′， 所以AA′⊥CD. 又因?yàn)锳A′∩A′B＝A′， 所以CD⊥平面AA′B. 所以AB⊥CD. 又因?yàn)镈A⊥平面ABC， 所以DA⊥AB， 所以AB⊥平面ACD. 所以AB⊥AC，這與△ABC是斜三角形相矛盾， 故A′不可能是△BCD的垂心． 10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿對(duì)角線AC把矩形折起，使D點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在AB上，則三棱錐DABC的體積為多少？ 解：因?yàn)镈點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在AB上，AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，所以BD＝，VDABC＝VCABD＝BCS△ABD＝，如下圖． B級(jí)　能力提升 1．如果一個(gè)三角形的平行射影仍是一個(gè)三角形，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．內(nèi)心的平行射影還是內(nèi)心 B．重心的平行射影還是重心 C．垂心的平行射影還是垂心 D．外心的平行射影還是外心 解析：三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形狀通常將發(fā)生變化，此時(shí)三角形的各頂點(diǎn)、各邊的位置也會(huì)發(fā)生變化，而重心、垂心、外心這些由頂點(diǎn)和邊確定的點(diǎn)通常也發(fā)生變化，而內(nèi)心則始終是原先角平分線的交點(diǎn)，所以仍是新三角形的內(nèi)心． 答案：A 2．在四棱錐P-ABCD中，四條側(cè)棱都相等，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB>CD.為保證頂點(diǎn)在底面ABCD所在平面上的正射影O落在梯形ABCD外部，則底面ABCD需滿足條件______________(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)充分條件即可)． 解析：由已知四條側(cè)棱都相等，得P在底面ABCD上的正射影O應(yīng)為四邊形ABCD的外接圓圓心，要使圓心O在四邊形ABCD外，則應(yīng)使∠ACB>90(或∠ADB>90)． 答案：∠ACB>90(或∠ADB>90) 3.求證：在同一直線上的兩條線段的平行射影的比等于這兩條線段的比． 已知：如圖所示，C是線段AB上任一點(diǎn)，C′，A′，B′分別是C，A，B在平面α上沿直線l方向的平行射影． 求證：＝. 證明：由平行射影的定義知，AA′∥l， BB′∥l，CC′∥l，所以AA′∥BB′∥CC′. 由平行線分線段成比例定理，得＝.