2019-2020學年高中數(shù)學 課時作業(yè)3 極坐標系的概念 北師大版選修4-4

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1、課時作業(yè)(三) 1．下列條件與有序數(shù)對不能構成一一對應的是(　　) A．直角坐標平面上的點 B．復平面上的點 C．極坐標平面上的點 D．直角坐標平面上，以原點為起點的向量 答案　C 解析　由極坐標的定義知極坐標平面上的點與有序數(shù)對之間不能構成一一對應的關系． 2．和(3，)表示同一點的是(　　) A．(3，－)　　　　　　　 B．(3，π) C．(3，－π) D．(3，π) 答案　C 解析　和(3，)表示同一點的形式為(3，2kπ＋)k∈Z，當k＝－1時即為(3，－π)． 3．在極坐標平面內，點M(，200π)，N(，201π)，G(，－200π)，H(2π＋，200

2、π)中互相重合的兩個點是(　　) A．M和N B．M和G C．M和H D．N和G 答案　B 解析　M、G表示同一點． 4．在極坐標系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是兩點M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 5．下列極坐標對應的點在極軸上的是(　　) A．(1，1) B．(2，0) C．(3，) D．(3，) 答案　B 6．已知點P(2 013，2 013π)，Q(2 014，2 014π)，下列點在直線PQ上的是(　　) A．(1，1) B．

3、(，) C．(π，π) D．(π，2π) 答案　D 7．極坐標系中，M(1，)與N(1，π)兩點間的距離為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　M(1，)，N(1，π)，O(0，0)三點共線，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝2. 8．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關系是(　　) A．關于極軸所在直線對稱 B．關于極點對稱 C．關于M(3，)對稱 D．關于N(1，)對稱 答案　A 解析　因為點(ρ，θ)關于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)．由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，

4、θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關于極軸所在直線對稱． 9．已知極坐標系中，點A(2，)，B(，)，若O為極點，則△OAB為(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰銳角三角形 D．等腰直角三角形 答案　D 解析　由題意，得∠AOB＝，|AB|＝＝，所以|OB|2＋|AB|2＝|OA|2且|AB|＝|OB|＝，故△OAB為等腰直角三角形． 10．已知極坐標系中，極點為O，若等邊三角形ABC(頂點A，B，C按順時針方向排列)的頂點A，B的極坐標分別是(2，)，(2，)，則頂點C的極坐標為(　　) A．(2，) B．(2，) C．(2，) D．(

5、2，) 答案　C 解析　如圖所示，由于點A(2，)，B(2，)，故極點O為AB中點，故等邊△ABC的邊長|AB|＝4，則CO⊥AB，|CO|＝2，則C點的極坐標為(2，＋)，即(2，)． 11．關于極坐標系的下列敘述： ①極軸是一條射線； ②極點的極坐標一定是(0，0)； ③點(0，0)表示極點； ④點M(4，)與點N(4，)表示同一個點． 其中，正確的序號為________． 答案?、佗? 12．點(2，)關于極點的對稱點為________． 答案　(2，π) 13．在極坐標系中，已知P(2，)，Q(2，)，則線段PQ的中點M的極坐標為________． 答案　(，)

6、解析　如圖，|OP|＝|OQ|＝2，∠POQ＝－＝，則|PQ|＝2，|OM|＝|PQ|＝，∠xOM＝＋＝，點M的極坐標為(，)． 14．在極坐標系中，若A(3，)，B(－4，)，則△AOB的面積等于________． 答案　3 解析　點B的極坐標也可表示為(4，)，在△AOB中，S△AOB＝|OA||OB|·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3，即△AOB的面積等于3. 15．在極坐標系中，已知點P的極坐標為(4，)． (1)將極點移至O′(2，)處，極軸方向不變，求點P在新坐標系中的坐標； (2)極點不變，將極軸順時針旋轉，求點P在新坐標系中的坐標． 解析　(1)設點P在新坐標

7、系中的坐標為(ρ，θ)，由已知點P的極坐標為(4，)，得|OP|＝4，∠xOP＝， 由已知點O′的極坐標為(2，)，得 |OO′|＝2，∠xOO′＝，在△OPO′中，∠OPO′中，∠POO′＝， |O′P|2＝|OP|2＋|OO′|2－2|OP|·|OO′|cos＝42＋(2)2－2×4×2×＝4，即ρ＝2， 又∵＝， ∴sin∠OPO′＝＝，∠OPO′＝， 延長PO′交極軸Ox于點P′，則∠OP′P＝π－∠OPO′－∠xOP＝，∴∠x′O′P＝π－＝，即θ＝， ∴點P在新坐標系中的坐標為(2，)． (2)設點P在新坐標系中的坐標為(ρ，θ)，如圖，有 ρ＝4，θ＝＋＝，

8、 ∴點P在新坐標系中的坐標為(4，)． 16．已知極坐標系中，極點為O，0≤θ<2π，M(3，)，求在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標． 解析　如圖，|OM|＝3，∠xOM＝，在直線OM上取點P、Q使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝π，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4，故(7，)和(1，π)為所求． 1．極坐標系中，下列與點P(2，)相同的點為(　　) A．(2，) B．(2，) C．(2，－) D．(2，－) 答案　D 2．在極坐標系中，已知A(2，)，B(6，－)，則OA，OB的夾角

9、為(　　) A. B．0 C. D. 答案　C 3．在極坐標系中，點P(2，1)到極點的距離是(　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　B 4．極坐標系中，A(5，)，B(8，π)，C(3，π)，則△ABC是(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　在△AOB中，|OA|＝5，|OB|＝8，∠AOB＝π－＝，由余弦定理，得|AB|2＝25＋64－2×5×8×cos＝49. 在△AOC中，|OA|＝5，|OC|＝3，∠AOC＝π－＝π. 由余弦定理，得|AC|2＝25＋9－2×5×3×co

10、sπ＝49. 在△BOC中，|OB|＝8，|OC|＝3，∠BOC＝π－π＝. 由余弦定理，得|BC|2＝64＋9－2×8×3×cos＝49. ∴|AB|＝|AC|＝|BC|＝7，即△ABC為等邊三角形． 5．點M(4，π)到極軸所在直線的距離為________． 答案　2 6．點P(3，)與Q(3，－π)關于________對稱． 答案　極點 解析　極徑相等，且－(－π)＝π，故關于極點對稱． 7．如圖，在極坐標系中，寫出點P的極坐標________． 答案　(，) 解析　如圖所示，連接OP. 由OA是圓的直徑，則∠OPA＝90°， 所以ρ＝|OP|＝2sin60

11、°＝， 所以點P的極坐標為(，)． 8．如果對點的極坐標定義如下： 當已知M(ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)時，點M關于極點O的對稱點M′(－ρ，θ)． 例如，M(3，)關于極點O的對稱點M′(－3，)，就是說(3，＋π)與(－3，)表示同一點． 已知A點是極坐標是(6，)，分別在下列給定條件下，寫出A點的極坐標： (1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0. 解析　如圖所示，|OA|＝|OA′|＝6， ∠xOA′＝，∠xOA＝， 即點A與A′關于極點O對稱． 由極坐標的定義知 (1)當ρ>0，－π<θ≤π時，A(6，－)． (2)當ρ<0，0≤θ<2π時，A(－6，)． (2)當ρ<0，－2π<θ≤0時，A(－6，－)． 9．求極坐標系中A(2，)與B(3，)兩點之間的距離． 解析　如圖所示． ∠xOB＝，∠xOA＝， |OA|＝2，|OB|＝3， 由題意，A，O，B三點共線， ∴|AB|＝|OA|＋|OB|＝2＋3＝5. 7