《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)》復(fù)習(xí)參考資料35

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1、《工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)》復(fù)習(xí)參考資料 ——《線性代數(shù)》的復(fù)習(xí)尤其要求詳細閱讀人手一冊的《綜合練習(xí)題》 授課教師：楊峰（省函授總站高級講師） 第一章 行列式 一、全排列及其逆序數(shù)（理解） 1、把n個不同元素排成一列，叫做這n個元素的全排列。（也稱排列） 2、對于n個不同元素，先規(guī)定元素之間有一個標準次序（例如，n個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標準次序），于是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就說有一個逆序，一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。 例題 求排列32514

2、的逆序數(shù) 解 3的逆序數(shù)為0； 2的逆序數(shù)為1； 5的逆序數(shù)為0； 1的逆序數(shù)為3； 4的逆序數(shù)為1； 于是這個排列的逆序數(shù)為 二、n階行列式的定義（理解） 定義 設(shè)有個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表， a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ……………… an1 an2 … ann 作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積，并冠以符號，得到形如 （1）

3、 的項，其中為自然數(shù)的一個排列，t為這個排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n！個，因而形如（1）式的項共有n！項，所有這n！項的代數(shù)和 稱為n階行列式，記作 ， 簡記為，數(shù)稱為行列式的元素。元素的第一個下標稱為行標，表明該元素位于第行，第二個下標稱為列標，表明該元素位于第列， 三、行列式的性質(zhì)（掌握） 記 ， 行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號。 推論 如果行列式的兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。 性質(zhì)3 行列式的某一行（

4、列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。 第行（或列）乘以k，記作（或） 推論 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。 第行（或列）提出公因子k，記作（或）。 性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。 性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素是兩數(shù)之和，例如 ， 則D等于下列兩個行列式之和： 性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。 以數(shù)k乘第列加到第列上，記作； 以數(shù)k乘第行加到第行上，記作； l 計算行列式常用的一種方法就是利用運算

5、把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。P16例7、8。 （可以證明，對于上三角行列式D有： 當然，把任意行列式化根據(jù)以上性質(zhì)為上三角形行列式需要一定的技巧。） 四、行列式按行（列）展開（掌握） 設(shè) 在n階行列式中，把所在的第行和第列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素的余子式，記作；記 ， 叫做元素的代數(shù)余子式。 引理 一個n階行列式，如果其中第行的元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即 定理 行列式等于它的任一行（列）的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 或

6、推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 ， 或 。 五、四階行列式的計算（重點掌握） 例1 計算行列式 解： 例2 計算行列式 解： 五、克拉默法則（注意，計算量比較大） 設(shè)有n個未知數(shù)、、…、的n個線性方程的方程組 （1） 克拉默法則 如果線性方程組（1）的系數(shù)筆列式不等于零，即 那么，方程組（1）有唯一解 ，，…，。 其中是把第數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即 第二章 矩陣及其運算 一、矩

7、陣的概念（理解） 1、由個數(shù)組成的m行n列的數(shù)表 稱為m行n列矩陣，簡稱矩陣，記作 也常記作。 這個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱元，數(shù)稱為元。 以數(shù)為元的矩陣可簡記作（）或。 2、行數(shù)和列數(shù)都等于n的矩陣A稱為n階矩陣或n階方陣，n階方陣A也記作。 3、只有一行的矩陣 稱為行矩陣，又稱行向量。為避免元素間的混淆，行矩陣也記作 只有一列的矩陣 稱為列矩陣，又稱列向量。 4、兩個矩陣的行數(shù)相等，就稱它們是同型矩陣，如果與是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元素相等，即

8、 那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作 5、元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O。注意不同型的零矩陣是不同的。 6、單位矩陣 簡記作E，即 7、對角矩陣 簡記作 即 二、矩陣的運算與性質(zhì)（掌握） 1、矩陣的加法 設(shè)有兩個矩陣、，那么矩陣A與B的和記作 A+B，規(guī)定為 注意： 只有當兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運算。 矩陣加法滿足下列運算規(guī)律： 設(shè)A、B、C都是m×n矩陣，則 （1）； （2） （3） 設(shè)設(shè)矩陣，記 —A稱為矩陣A的負矩陣。 2、數(shù)與矩陣相乘 數(shù)λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ，規(guī)定為 數(shù)乘矩陣

9、滿足下列運算規(guī)律： 設(shè)A、B、為m×n矩陣，λ、μ為數(shù)，則 （1）； （2）； （3）。 3、矩陣與矩陣相乘 設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣,其中 并把此乘積記作 C = AB 必須注意：只有當?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘。 矩陣的乘法不滿足交換律，即一般情況下，但仍滿足下列結(jié)合律和分配律（假設(shè)運算都是可行的）： （1） （2）（其中λ為數(shù)） （3） （重要）例1 已知矩陣 ， 求AB。 解： 4、方陣的行列式、伴

10、隨矩陣 定義 由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素位置不變），稱為方陣A的行列式。記作。 行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣 稱為方陣A的伴隨矩陣，記為。 5、逆矩陣 定義 對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使 則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。 定理 若，則矩陣A可逆，且 。 重要例題 P56-57例10 方陣的逆矩陣滿足下述運算規(guī)律： 1）若A可逆，則亦可逆，且。 2）若A可逆，數(shù)則λA可逆，且。 3）若A，B為同階矩陣，且均可逆，則AB亦可逆，且 。 例題：設(shè)n階方陣A滿足A2—A—2E = 0， 證明：A—

11、E是可逆矩陣，并求A—E的逆矩陣。 證明：由A2—A—2E = 0得 A2—A = 2E A（A—E）= 2E ∴A—E是可逆矩陣 且 。 復(fù)習(xí)說明——大家重點要掌握的是第一、二章的關(guān)于行列式、矩陣的各種計算，必須非常熟練、堅定不移地掌握！！ 第三章略為次要一些，試題比重不會太大，第四章一般只考一些基本的概念、定理、推論，這兩章建議大家按《綜合練習(xí)》的題型進行復(fù)習(xí)即可。 《綜合練習(xí)》還是看《通信工程專業(yè)——《線性代數(shù)》綜合練習(xí)題與答案》那本，題型較為全面，比較保險。 比較重要的題目有： 第一大題的1至8；第二大題的1至7；第三大

12、題的1至11；第四大題的1、2。 *t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+

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