高考數(shù)學 專題訓練 圓錐曲線2 新人教A版

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1、圓錐曲線2 1、(本小題滿分13分) 設橢圓E中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為4,點M（2，）在橢圓上，。 （1）求橢圓E的方程； （2）設動直線L交橢圓E于A、B兩點，且，求△OAB的面積的取值范圍。 解:（1）因為橢圓E: （a>b>0）過M（2，） ，2b=4 故可求得b=2,a=2 橢圓E的方程為 ………2分 （2）設P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2），當直線L斜率存在時設方程為， 解方程組得,即, 則△=, 即（*） 要使,需使,即,所以, 即 ①………7分 將它代入（*）式可得，P到L的距離為，又 將及韋達定理代入可得…

2、……10分 當時 由 故……………12分 當時, 當AB的斜率不存在時, , 綜上S……………13分 2．（本小題滿分12分）已知定圓圓心為A，動圓M過點，且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）（理）若點為曲線C上一點，探究直線與曲線C是否存在交點? 若存在則求出交點坐標, 若不存在請說明理由． 解：（Ⅰ） 圓A的圓心為， ……………… 1 分 設動圓M的圓心為 ………… 2分 由|AB|=，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，故|MA|=r1-r2，即|MA|+|MB|=4，……… 4分 所以

3、，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設橢圓方程為， 由故曲線C的方程為……………… 6分 （Ⅱ）當， ………………8分 消去 ① …………… 10分 由點為曲線C上一點， 于是方程①可以化簡為 解得， …………… 12分 ……13分 綜上，直線l與曲線C存在唯一的一個交點，交點為． …………… 14分 3、設F1、F2分別為橢圓C:＝1(a＞0,b＞0)的左、右兩個焦點. 　(1) 若橢圓C上的點A(1,)到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程； 　(2)設K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方

4、程； (3)已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM·KPN是與點P位置無關的定值. 試對雙曲線＝1寫出具有類似特性的性質，并加以證明. 解：(1)由題意得:2a＝4,a＝2　　則橢圓的方程為＝1 　∵ 點A(1,)在橢圓C上,∴ ＝1　　∴ b2＝3　所求橢圓方程為＝1 　(2)由(1)知橢圓C的左焦點為F1(－1,0)　　設F1K的重點為M(x,y)，則K點的坐標為K(2x＋1,2y) 　∵ K點在橢圓C上，∴ ＝1　即線段F1K的中點軌跡方程為(x＋＝1 　(3)若M、N是

5、雙曲線＝1上關于原點對稱的兩個點，P是雙曲線上任意一點，則當直線PM、PN的斜率KPM、KPN都存在時，KPM·KPN是與點P位置無關的定值，其證明如下： 設M(x1,y1),則N(－x1,－y1),設P(x,y)　則KPM·KPN＝ …………(*) 　由M、P都在雙曲線＝1上得　　y2＝ x2－b2,y12＝ x12－b2, 　　將它們代入(*),可得KPM·KPN＝ 為定值　　故原結論成立 4、已知橢圓的左、右兩個頂點分別為、．曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線．設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點． （1）求曲線的方程； （2）設、兩點的橫坐標分別為、，證

6、明:； （3）設與（其中為坐標原點）的面積分別為與，且， 求的取值范圍． （1）解：依題意可得，．設雙曲線的方程為， 因為雙曲線的離心率為，所以，即． 所以雙曲線的方程為．………… 3分 （2）證法1：設點、（，，），直線的斜率為（）， 則直線的方程為，聯(lián)立方程組………………5分 整理，得，解得或．所以．…… 6分 同理可得，．所以．……… 8分 證法2：設點、（，，），則，．… 4分 因為，所以，即．……… 5分 因為點和點分別在雙曲線和橢圓上，所以，． 即，．所以，即．……… 7分 所以．………… 8分 證法3：設點，直線的方程為，聯(lián)立方程組……5分 整理，

7、得，解得或．…… 6分 將代入，得，即．所以．… 8分 （3）解：設點、（，，），則，． 因為，所以，即．…………… 9分 因為點在雙曲線上，則，所以，即． 因為點是雙曲線在第一象限內的一點，所以．……… 10分 因為，， 所以．……… 11分 由（2）知，，即．設，則，． 設，則， 當時，，當時，， 所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．因為，， 所以當，即時，．……………… 12分 當，即時，．……… 13分 所以的取值范圍為．………… 14分 5、設拋物線C的方程為x2 =4y，M為直線l：y=－m(m>0)上任意一點，過點M作拋物線C的兩 條切線MA，

8、MB，切點分別為A,B． （Ⅰ）當M的坐標為（0，－l）時，求過M，A，B三點的圓的標準方程，并判斷直線l與此圓的位置關系； (Ⅱ)當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA ⊥MB?若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由， 解：（Ⅰ）當M的坐標為時， 設過M點的切線方程為，代入，整理得，① 令，解得，代入方程①得，故得，. 因為M到AB的中點(0，1)的距離為2，從而過三點的圓的標準方程為． 易知此圓與直線l：y=-1相切. …………（6分） （Ⅱ）設切點分別為、，直線l上的點為M， 過拋物線上點的切線方程為，因為， ， 從而過拋物線上點的切線方程為，又切線過

9、點， 所以得，即. 同理可得過點的切線方程為，………（8分） 因為，且是方程的兩實根，從而， 所以，當，即時，直線上任意一點M均有MA⊥MB，…………（10分） 當，即m≠1時，MA與MB不垂直. 綜上所述，當m?=1時，直線上存在無窮多個點M，使MA⊥MB， 當m≠1時，直線l上不存在滿足條件的點M.……（12分） 6、已知橢圓的左焦點是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為 （1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線軸時，求的值； （2）求的值。 （Ⅰ）解：由題意橢圓的離心率，，所以

10、， 所以┄┄┄┄┄┄8分 故 ① 由，及，┄┄10分 得， 將①代入上式得，┄┄13分 注意到，得，┄┄14分 所以為所求． ┄┄┄┄┄┄15分 7、 已知離心率為的橢圓過點，為坐標原點，平行于的直線交橢圓于不同的兩點。 （1）求橢圓的方程。 （2）證明：若直線的斜率分別為、，求證：+=0。 解：（Ⅰ）設橢圓的方程為:． 由題意得: ∴ 橢圓方程為． （Ⅱ）由直線,可設，將式子代入橢圓得: 設,則 設直線、的斜率分別為、，則 下面只需證明：，事實上， 。 8、 設雙曲線C：的左、右頂點分別為A1、A2，垂直于x

11、軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點。（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標； （2）求直線A1P與直線A2Q的交點M的軌跡E的方程； （3）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設， 若（T為（1）中的點）的取值范圍。 解：（1）由題，得，設 則由…① 又在雙曲線上，則 ……② 聯(lián)立①、②，解得 由題意， ∴點T的坐標為（2，0） （2）設直線A1P與直線A2Q的交點M的坐標為（x，y）由A1、P、M三點共線，得 ……③ 由A2、Q、M三點共線，得……④ 聯(lián)立③、④，解得 ∵在雙曲線上，∴∴軌

12、跡E的方程為 （3）容易驗證直線l的斜率不為0。 故可設直線l的方程為中，得 設 則由根與系數(shù)的關系，得 ……⑤ ……⑥ ∵ ∴有 將⑤式平方除以⑥式，得 由 ∵ 又 故 令 ∴，即 ∴ 而 ， ∴∴ 8、已知橢圓的左、右焦點為，是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點，且的周長為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設直線是圓：上動點處的切線，與橢圓交與不同的兩點，證明：的大小為定值． 解（Ⅰ）因為以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，所以，可得，又因為的周長為

13、，可得，所以，可得，所求橢圓的方程為． 　　　　　 ………5分 （Ⅱ）直線的方程為 ，且，記，，聯(lián)立方程，消去得， ， ……… 8分 ， 從而 是定值 ………13分 9、已知拋物線，過點的直線與拋物線交于、兩點，且直線與軸交于點． （1）求證:，，成等比數(shù)列； （2）設，，試問是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由． 解：（1）設直線的方程為：，聯(lián)立方程可得得: ① 設，，，則， ② ， 而，∴， 即，、成等比數(shù)列…………7分 （2）由，得， ， 即得：，，則 由（1）中②代入得，故為定值且定值為……

14、……13分 10.已知橢圓上的任意一點到它的兩個焦點，的距離之和為，且其焦距為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知直線與橢圓交于不同的兩點Ａ，Ｂ．問是否存在以Ａ，Ｂ為直徑的圓過橢圓 的右焦點．若存在，求出的值；不存在，說明理由． 解：（Ⅰ）依題意可知 又∵，解得 ————（2分） 則橢圓方程為．—————（4分） （Ⅱ）聯(lián)立方程 消去整理得：（6分） 則，解得 ①—————（7分） 設，，則，，又 ，，若存在，則，即： ② 又 代入②有 ，解得或——————（11分） 檢驗都滿足①，——————————————————（12分） 10、已知

15、橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為．（１）求橢圓的方程；（２）已知動直線與橢圓相交于、兩點． ①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；②已知點，求證：為定值． 解：（1）因為滿足， ……2分 ，解得，則橢圓方程為……4分 （2）①將代入中得……6分 ， ……7分 因為中點的橫坐標為，所以，解得 …………9分 ②由（1）知， 所以 …………11分 …12分 …14分 11、已知點的坐標分別是，，直線相交于點M，且它們的斜率之積為． （1）求點M軌跡的方程； （2）若過點的直線與（1）中的軌跡交于不同的兩點、（在、之間），試

16、求與面積之比的取值范圍（為坐標原點）． 解：（1）設點的坐標為，∵ ， ∴． 整理，得（），這就是動點M的軌跡方程．… ………………… 4分 （2）方法一 由題意知直線的斜率存在，設的方程為（） ① 將①代入，得，由，解得． 設，，則 ② 令，則，即，即，且 由②得， 即． 且且． 解得且，且． ∴△ODE與△ODF面積之比的取值范圍是．………………12分 方法二 由題意知直線的斜率存在，設的方程為 ① 將①代入，整理，得

17、， 由，解得． 設，，則 ② 令，且 ． 將代入②，得∴．即． ∵且，∴且． 即且．解得且． ，且． 故△ODE與△ODF面積之比的取值范圍是．……………12分 11、已知橢圓的離心率，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，當直線的斜率為1時，坐標原點到直線的距離為. （1）求橢圓的方程 （2）橢圓上是否存在點，使得當直線繞點轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標及對應直線方程；若不存在，請說明理由。 (1)由題意得解得.所以橢圓C的方程為. (2)由得. 設點M,N的坐標分別為，，則，，，. 所以|MN|===. 由因為點A(2,0)到直線的距離， 所以△AMN的面積為. 由，解得.