高等數(shù)學(xué)：02第三章 第2節(jié) 洛必達(dá)法則

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1、2洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或稱為稱為那末極限那末極限大大都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù)時(shí)時(shí)或或如果當(dāng)如果當(dāng) xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 3.)()(lim)()(lim);()()(lim)(;)()()(),()(;)()(,)(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxax那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除

2、外點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)3021定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .,該該法法則則仍仍然然成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x4例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(5例例3 3解解.1arctan2li

3、mxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 6例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 7注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有

4、效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx求30tanlimxxxx原式xxxx6tansec2lim2022031seclimxxxxxxtanlim310.318型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或9例例8 8解解).1sin

5、1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:10步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 11例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xx

6、x 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式12例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件13)122(lim1323xxxxx例例20111221limtttttx) 111221(lim2xxxxtttt211211lim

7、02)1 (21)21 (lim23230ttt411414例例)11ln(lim2nnnn)11ln(lim2xxxx201)1ln(limtttttxttt2111lim0211515例例3sin0211limxaaxxx)()(limsinsin121130 xaaxxxx30ln)sin(limxaxxxaxxxln3cos1lim20aln61xxx )(11016)cot1(lim16220 xxx例例xxxxxx222220sincossinlim42220cossinlimxxxxxxxxxxcossinlim030cossinlimxxxxx203sinlim2xxxx321

8、7三、小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 18練習(xí)題練習(xí)題1、求. )0(lnlimnxxnx解:型原式11limnxxxnnxxn1lim02、求解: (1) n 為正整數(shù)的情形.原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型19192、求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不為正整數(shù)的情形.nx從而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夾逼準(zhǔn)則kx1kx存在正整數(shù) k

9、, 使當(dāng) x 1 時(shí),20. )0(0lnlimnxxnx1、. 2、. )0, 0(0limnexxnx說明說明:1) 練習(xí)1和練習(xí)2 表明x時(shí),lnx后者比前者趨于更快 .)0(xe, )0( nxn21213、求nnnlim解： 根據(jù)數(shù)列極限和函數(shù)極限的關(guān)系，取 xxxf1xxx1lim1xxxelnlimxxe1lim10 e當(dāng)x取正整數(shù)時(shí)，即有且nn,nnnlimnnn1lim22令則ttet50lim原式 =ttet50lim0ttet4950lim21100011)limxxex解:tte!50lim(用洛必達(dá)法則)(繼續(xù)用洛必達(dá)法則)求極限 :4、,12xt 23232 2）ttttttt6526ln65ln52ln23lim06ln5ln2lntyttttx3ln)652ln(lim3lnlim0 xxxxxI3111)3652lim（yxxxx3111)3652（3ln)652ln(13lntttty解：令60I)1(xt1