高等數(shù)學(xué)：1-6 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限

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1、第六節(jié)第六節(jié). 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限一一 兩邊夾準(zhǔn)則兩邊夾準(zhǔn)則二二 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則0sinlim1xxx 1lim(1)nnen一一. 兩邊夾準(zhǔn)則兩邊夾準(zhǔn)則11 2.( ),(. .)nnnnnnxy zyxzn 數(shù)數(shù)列列滿滿足足2( ) lim,limnnnnyaza limnnxa 則則0.,lim, limnnnnyaza 證證11nNnNya當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 120,max,NNNnN 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)定理定理1:nxa即即nnnayxzalim.nnxa22nNnNza當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)22211221lim().nnnnnn 例例 求求定理定理20012( )( )(

2、 )()(:)( )lim ( )lim ( )g xf xh xxUxorxXg xAh xA若（）若（）lim( )f xA 則則01sin:lim.xxx 例例2 2 證證明明1 ( )OABOABOADSSS三三角角形形扇扇形形三三角角形形證證由由1002sincosxxxxx021( )limcosxx 證證ABCDOxyx102sincosxxxx02111222sintanxxxx 0022sin()sin ()xxxxxx事實(shí)上且 .事實(shí)上且 .002sin.xxxx所以 所以 00limsin.xx 由由此此可可得得 222001221222cossin()limcosxxx

3、xxx 由可得 .由可得 . 001sin( )lim( )( )lim.( )f xf xf xf x若 且 ，則 若 且 ，則 01sinlim.xxx 所以由兩邊夾準(zhǔn)則知 所以由兩邊夾準(zhǔn)則知 注：注： 一般地，有以下結(jié)論：一般地，有以下結(jié)論：05sinlimsinxxx 例例3 30555sinlimsinxxxxx0tanlimxxx 01sinlim()cosxxxx 201coslimxxx 22022sinlimxxx00sin55limlim55sinxxxxxx001sinlimlimcosxxxxx1 2021222sinlim()xxx 12 201222sinlimxx

4、x 二二. . 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則: : 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 1212,.,nnnnxxxxxxxx 若若則則稱(chēng)稱(chēng)單單調(diào)調(diào)遞遞減減統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng) 單單調(diào)調(diào)數(shù)數(shù)列列若若則則稱(chēng)稱(chēng)單單調(diào)調(diào)遞遞增增111:( )lim();nnen例例4 4 證證121( ) lim();xxex定義定義:131( ) lim().xxex1:( )證證設(shè)設(shè)11111,nnnnxynn 112112101()nnniaaaa aaan 由由幾幾何何平平均均值值不不超超過(guò)過(guò)算算術(shù)術(shù)平平均均值值知知111111111()nnnnnnxxnn nx21111111112()nnnnnnnnynny

5、,nylimnnx由由單單調(diào)調(diào)有有界界準(zhǔn)準(zhǔn)則則知知 存存在在, ,11111nnenn 且且2 718.e 注注11111,nnnnxynn 1124nnxxyy為為 e e. .121( ) lim()xxex證證1 ,xnnxn記記則則有有11111111nxnnxn 111limnxn 而而1111111limlimnnxnennn 11lim ()xxex 由由兩兩邊邊夾夾準(zhǔn)準(zhǔn)則則得得1111111limnnnn e 131( ) lim().xxex證證1(),xtxt 令令則則時(shí)時(shí)111111()limlimxtxtxt 1111limttett:綜綜上上有有112131( ) l

6、im();( ) lim().xxxxeexx111( )lim();nnen11()limtttt 11lim().xxex101:lim().xxxe例例5 5 證證明明10.,xxyy 證證 令令21(1)lim(1)3xxx 例例6 求6 求 2331.lim(1)3xxxxx解解 原原式式10111lim()lim().yxxyxey23e 注：注： 一般地，有以下結(jié)論：一般地，有以下結(jié)論： 1001( )lim( )( )lim( ).f xf xf xf xe若 且 ，則 若 且 ，則 210(3)lim(cos )xxx2cos1o01c s1lim 1(cos1)xxxxx 解解 原 原式式33(2)lim()1xxxx 223112lim(1)1xxxxx 解解 原 原式式6e 12e 00110sin:( )limxxx 總總結(jié)結(jié)型型 ：用用兩兩邊邊夾夾證證明明了了1211( )lim()nnen 型型 ： 用用單單調(diào)調(diào)有有界界證證明明了了 001sin( )lim( )( )lim.( )f xf xf xf x若 且 ，則 若 且 ，則 一般地一般地,10111lim()lim()yxxyxey從從而而可可得得，一般地一般地, 1001( )lim( )( )lim( ).f xf xf xf xe若 且 ，則 若 且 ，則