高等數(shù)學：1-6 極限存在準則 兩個重要極限

第六節(jié)第六節(jié). 極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限一一 兩邊夾準則兩邊夾準則二二 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則0sinlim1xxx 1lim(1)nnen一一. 兩邊夾準則兩邊夾準則11 2.( ),(. .)nnnnnnxy zyxzn 數(shù)數(shù)列列滿滿足足2( ) lim,limnnnnyaza limnnxa 則則0.,lim, limnnnnyaza 證證11nNnNya當當時時 120,max,NNNnN 當當時時定理定理1:nxa即即nnnayxzalim.nnxa22nNnNza當當時時22211221lim().nnnnnn 例例 求求定理定理20012( )( )( )()(:)( )lim ( )lim ( )g xf xh xxUxorxXg xAh xA若（）若（）lim( )f xA 則則01sin:lim.xxx 例例2 2 證證明明1 ( )OABOABOADSSS三三角角形形扇扇形形三三角角形形證證由由1002sincosxxxxx021( )limcosxx 證證ABCDOxyx102sincosxxxx02111222sintanxxxx 0022sin()sin ()xxxxxx事實上且 .事實上且 .002sin.xxxx所以 所以 00limsin.xx 由由此此可可得得 222001221222cossin()limcosxxxxxx 由可得 .由可得 . 001sin( )lim( )( )lim.( )f xf xf xf x若 且 ，則 若 且 ，則 01sinlim.xxx 所以由兩邊夾準則知 所以由兩邊夾準則知 注：注： 一般地，有以下結(jié)論：一般地，有以下結(jié)論：05sinlimsinxxx 例例3 30555sinlimsinxxxxx0tanlimxxx 01sinlim()cosxxxx 201coslimxxx 22022sinlimxxx00sin55limlim55sinxxxxxx001sinlimlimcosxxxxx1 2021222sinlim()xxx 12 201222sinlimxxx 二二. . 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則: : 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 1212,.,nnnnxxxxxxxx 若若則則稱稱單單調(diào)調(diào)遞遞減減統(tǒng)統(tǒng)稱稱 單單調(diào)調(diào)數(shù)數(shù)列列若若則則稱稱單單調(diào)調(diào)遞遞增增111:( )lim();nnen例例4 4 證證121( ) lim();xxex定義定義:131( ) lim().xxex1:( )證證設設11111,nnnnxynn 112112101()nnniaaaa aaan 由由幾幾何何平平均均值值不不超超過過算算術術平平均均值值知知111111111()nnnnnnxxnn nx21111111112()nnnnnnnnynny ,nylimnnx由由單單調(diào)調(diào)有有界界準準則則知知 存存在在, ,11111nnenn 且且2 718.e 注注11111,nnnnxynn 1124nnxxyy為為 e e. .121( ) lim()xxex證證1 ,xnnxn記記則則有有11111111nxnnxn 111limnxn 而而1111111limlimnnxnennn 11lim ()xxex 由由兩兩邊邊夾夾準準則則得得1111111limnnnn e 131( ) lim().xxex證證1(),xtxt 令令則則時時111111()limlimxtxtxt 1111limttett:綜綜上上有有112131( ) lim();( ) lim().xxxxeexx111( )lim();nnen11()limtttt 11lim().xxex101:lim().xxxe例例5 5 證證明明10.,xxyy 證證 令令21(1)lim(1)3xxx 例例6 求6 求 2331.lim(1)3xxxxx解解 原原式式10111lim()lim().yxxyxey23e 注：注： 一般地，有以下結(jié)論：一般地，有以下結(jié)論： 1001( )lim( )( )lim( ).f xf xf xf xe若 且 ，則 若 且 ，則 210(3)lim(cos )xxx2cos1o01c s1lim 1(cos1)xxxxx 解解 原 原式式33(2)lim()1xxxx 223112lim(1)1xxxxx 解解 原 原式式6e 12e 00110sin:( )limxxx 總總結(jié)結(jié)型型 ：用用兩兩邊邊夾夾證證明明了了1211( )lim()nnen 型型 ： 用用單單調(diào)調(diào)有有界界證證明明了了 001sin( )lim( )( )lim.( )f xf xf xf x若 且 ，則 若 且 ，則 一般地一般地,10111lim()lim()yxxyxey從從而而可可得得，一般地一般地, 1001( )lim( )( )lim( ).f xf xf xf xe若 且 ，則 若 且 ，則