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1、1專題五 解析幾何2121212tan ()()2()().1ka ayykxxnxxamnkm直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系如右圖：斜率公式兩點式：；若直線的直線的斜率公為式方向向量，3 1112221212121212111122221212111122221212121/1.200/2 0.lyk xblyk xbllkkbbllk klA xB yClA xB yCAABBABCllABCllA AB B 若 ：， ：，則：，；若 ：， ：，且 ， ， ，都不為零，則：兩條直線的平；行和垂直4 00002212122200()0|.00|.1()3)42(0P xylAxByCdAxBy
2、CABAxByCAxByCCCdABbykxbxxmyx點，到直線 ：的距離兩條平行直線與的距離知直線縱截距 ，常設(shè)其方程點到直線的距離公式直為不適用于斜率不存在的直線 ；知直線橫截距 ，常設(shè)其方程為不適用于斜率為線方程常用設(shè)法技的直線巧；5 00000113()400500.xykyk xxyxxlAxByCAxByClAxByCBxAyC知直線過點，當斜率 存在時，常設(shè)其方程為，當斜率不存在時，則其方程為；與直線 ：平行的直線可表示為；與直線 ：垂直的直線可表示為6 12341251111axzzaxbyybbbyybaybazkzaakxaxcxcxybycbxbzkzxcxcycyck
3、xb 線性規(guī)劃解題方法，目標函數(shù)常用的，與直線的截距相關(guān)聯(lián)；可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)兩點轉(zhuǎn)化公式的斜率7 222222222222222223()()|4()01.20(40)6zxyaxbycxmxnxymnaxbyczaxbyczababxyaxbycabxaybrxyDxEyFDEF表示， 到，兩點距離的平方表示， 到直線的距圓的四種方程離的倍圓的標準方程圓的一般方程8 121211222000002220022002022cos3.sin40()()1()2r 1307(.)圓的參數(shù)方程圓的直徑式方程圓的直徑的端點是，過圓上的點，的切線方程為；斜率為 的圓的切線方程為；過圓已知外一點，的切線長為圓
4、xarybrxxxxyyyyA xyB xyP xyx xy yrkykxkxyDxEyFxylyrxyDxx0.EyF9 研究與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)該注意研究代數(shù)式的幾何意義，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解 2222410.1231xyxyxyxyxxy 已知實數(shù) ， 滿足方程求的最大值和最小值；【例】求的最大值和最小值；求的最大值和最小值1.最值問題10 222(2)3(2,0)32033.120326.2 133262.xyykykxxykxkkkkyxbyxbyxbbbyxb 故原方程化為，表示以點為圓心， 為半徑的圓設(shè)，即，當直線與圓相切時，斜率 取最大值和最小值此時，解得設(shè)，即，
5、當與圓相切時，縱截的最大值為，最小距 取得最大值和最值為故的最大值小值為此時，即，最小26.值為11 222222(23)74 3(23).724 3.3xyxy表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識可知，它在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為故的最大值為，最小值為12 形如 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題； 形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題； 形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的平方的最值問題等ybxa13 22(2)1()2 -41-122C xyP xyyxxy已知圓 ：， 為圓
6、上任一點【變式訓練】，求：的最大值與最小值；的最大值與最小值 2-2-20-1- 2,0 11.-2 -0-211ykkx y kCxrkkkk設(shè)，即，圓心，當直線與圓相切時， 有最值，所以，14 22 -4333- 3.33.4-122-22-2 -0.-2-114-2-25-2- 55.kxybxy bbbbyxxy解得設(shè)，即當直所以的最大值為，最小值為所以的最大值為，線與圓相切時， 有最值，所以為解最小值得1522602230()xyxymxyPQOPOQ O已知圓和直線交于 、 兩點，且為坐標原點 ，求該圓的圓心坐標【例 】和半徑2.圓與方程 此題破解的思路有兩個，一個是運用代數(shù)方法，
7、通過聯(lián)立方程進行求解，另一個是結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合進行突破 162112212121212125102740.()()427122.550 1 () 51( 4271203.53 25)2xxmP xyQ xymmx xxxy yOPOQx xymrymm直線與圓方程聯(lián)立得設(shè)，則有，若，則有，所以，方法 ： 代數(shù)法半徑為，圓所以因圓心為，此的17222222160(3)22132()240221,2|()52|125114.44CMPQMxyxymCCMPQkCMyxxyCMPQMrCPCQCMMQCMMO 方法 ： 幾如圖所示，設(shè)的中點為，圓的圓心為，則直線與垂直，因此，直線的方程為，
8、即，直線與直線聯(lián)立可得交點，此時半徑為何法18 用幾何法化解圓問題有兩個優(yōu)點，一是簡潔高效，二是形象直觀；運用時要注意兩個方面，一是圓中的垂徑弦性質(zhì)；二是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 19 22112430.12()|CxyxyCxyCP xyMOPMPOPMP已知圓 ：若圓 的切線在 軸和 軸上的截距的絕對值相等，求此切線的方程；從圓 外一點，向【變圓引一條切線，切式點為，為坐標原點，且有，求使最小訓練】的點 的坐標20 222(1 )( 2)21,22.00.( 1)2226.1(26)(26 ) . 1000.xyCrykxkxykkkyxyxyxayxbxyaxyb 將圓的方程
9、化為標準方程得，所以圓心坐標為，半徑由題意，若截距為 ，設(shè)切線方程為，即由，得所以切線方程為或若截距不為 ，設(shè)切線方程為或，即或21 2200.1 21 22225113.10501030.(26)(26)105201030.|-xyaxybabaabbxyxyxyxyyxyxxyxyxyxyPMCMPMPCCM 即或由或，得或，或所以切線方程為，綜上所述，滿足條件的切線方程為，因為切線與半徑垂直，所以，22222211111111222111111|(1)(2)22430|24303 51033 51010324305PMPOxyxyxyPMPOPPMPOPMPOPOOxydxxyyxy 又
10、因為，所以，化簡整理得，這是滿足的點 的軌跡方程因為，所以的最小值就是的最小值，而的最小值為點 到直線的距離，即，（）從而解方程組，得()5.3 310P所以滿足條件為，的點23 (1)斜率 ，即求 的范圍；(2)l將圓分為1 2，則直線l分圓所得的劣弧所對的圓心角為120，從而用圓的性質(zhì)解答21mkm21mm 222(1)484160.12312mlmxmymCxyxyllC已知，直線 ：和圓 ：求直線 的斜率的取值范圍；直線 能否將圓 分割成弧長的比值為 的兩段圓弧，例？【】為什么R3.直線與圓 24 22200101111020211020.21 1212 2(4)(2)4(42)2.m
11、lmmlkmmmmmkmmmkmlxyCr 當時，直線 的斜率為 ；當時，直線 的斜率；當時，所以；當時，所以所以直線 的斜率的取值范圍是， 圓方程化為，圓心，半徑2522222422424242(1)42(1).(1)311212012(1)312331250.lmmmmdmmmmlCrdmmmmmlC圓心到直線 的距離若直線 能將圓 分割成弧長的比值為 的兩段圓弧，則劣弧所對的圓心角直線 不能將圓為，所分割以，即，化簡得而此方程無成弧長的比值實數(shù)為 的兩解，所以段圓弧26 1含參數(shù)的直線方程要注意其是否過定點 2圓中的條件要注意等價轉(zhuǎn)化，如第(2)問解答中用 判斷圓心角等于 ，畫圖觀察即可
12、2rd 2327 221022(2011)2204409.nnnnnaCxya xayCxyxya紹興已知數(shù)列，圓：平分圓 ：的周【變式訓長，則數(shù)列的前 項和的市期值末試題】等于練2822102210101992,22204402249492218.nnnnnnnnCCCCCxya xayCxyxya xayxyaaaaS因為圓平分圓 的周長，則兩個圓的相交弦必過圓 的圓心，又圓：與圓 ：的相交弦為，所以，因此29 1由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存在的
13、情況 2處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡化 3直線與圓相交于A、B兩點，則有|AB|=2 ，其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離22rd30 4直線與圓中常見的最值問題(1)圓外一點與圓上任一點的距離的最值(2)直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值(3)過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得弦長的最值(4)直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題(5)兩圓相離，兩圓上點的距離的最值5兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程
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