高等數(shù)學：第二節(jié) 洛必達法則

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1、1第二節(jié)第二節(jié) 洛必達法則洛必達法則0:0 一一、 型型及及型型未未定定式式解解法法 洛洛必必達達法法則則二二、其其他他不不定定式式極極限限三、小結(jié)三、小結(jié)四、作業(yè)四、作業(yè)2洛洛必必達達法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或稱為稱為那末極限那末極限大大都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與兩個函數(shù)兩個函數(shù)時時或或如果當如果當 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx0lnsinlim,lnsinxaxbx )00()( 3(1)( )0,( )0();(2),( )( )( )0;(

2、)(3)lim()( )xaf xF xxaU fxFxFxfxFx 。定定理理. . 設(shè)設(shè)在在某某及及都都存存在在且且存存在在 或或為為無無窮窮大大 ， 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為未定式的值的方法稱為洛必達（洛必達（LHospital）法則）法則.,.2.( ),( ).xxa xf xF x 1.1.當當時時 以以及及等等時時 該該法法則則仍仍然然成成立立當當條條件件(1)(1)改改為為時時法法則則也也成成立立( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxF xFx 那那么么注：注：4證

3、證定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點在在 ,為端點的區(qū)間上為端點的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xFxf則有則有111111( )( )( )( )( )( )fxf afF xF aF ( )( )fF )(之間之間與與在在ax ,aax 時時當當,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax ( )( )f xF x 5例例1 1解解0sinlim( ,0).sinxaxa bb

4、x 求求0(sin)lim(sin)xaxbx 原原式式0coslimcosxaaxbbx .ab )00(例例2 2解解30sinlim.xxxx 求求201coslim3xxx 原原式式0sinlim6xxx 1.6 )00(6例例4 4解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 )00(例例3 3解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00(7例例6 6解解lim(,0).xnxxne 求求N N1limnxxnxe 原原式式)( 例例5 5lnlim.nx

5、xx求求)( 上面兩例說明：上面兩例說明：ln ,nxx xe 雖雖然然都都是是無無窮窮大大，但但增增大大的的“速速度度”不不一一樣樣冪冪函函數(shù)數(shù)增增大大的的“速速度度”比比對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)快快得得多多，而而指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)增增大大的的“速速度度”比比冪冪函函數(shù)數(shù)快快得得多多. .解解11limnxxnx 原原式式1limnxnx 0. 22(1)limnxxn nxe !lim0.nxxne 8例例7 70lncotlim.lnxxx 求求解解20csccotlim1xxxx 原原式式0limsincosxxxx 1. 2201limcossinxxx )( 0()01. 9例例8 8223

6、01lim.3cos24cos1xxexxx 求求練習練習23200sincos(1)cos(1)lim; (2)lim.(1cos )ln(1)sin 1xxxxxxexxxxxx 求求小結(jié)：檢查；提出非零極限因式；結(jié)合等價無窮小代換小結(jié)：檢查；提出非零極限因式；結(jié)合等價無窮小代換解解22022lim6sin212cossinxxxexxxx 原原式式202 (1)lim12sincos (1cos )xxx exxx 0()00()022021lim.31122xxxxx 2202(1)22lim12coscos (1cos )xxxexxexxx 10關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛

7、必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決 的類型的類型 .),00()( 二、其他不定式極限二、其他不定式極限其他不定式其他不定式000,0 ,1 , 11例例9 90limln .nxxx 求求)0( 型型 0. 1步驟步驟:0,fg 1/10/0fgfggf 110,000 簡簡記記或或解：解：00lnlnlimlim1nxxnxxxx 原原式式101limnxxnx 0limnxxn 0. 方法方法2 2：0lim1lnnxxx 原原式式102lim11lnnxnxx x 20()limlnnxnxx 12例例10100lim ln(1)ln .xxx 求求)0( 0ln(1)

8、lim1lnxxx 解解：原原式式20021ln1limlim111lnxxxxxxx x 20limlnxxx 20lnlim1xxx 0212lnlim1xxxx 02 limln0.xxx )0( 13例例11112140lim.xxx e求求2410limxxxe 解解：原原式式231034lim2xxxex 2160lim2xxx e ！2140limxxex 解解：原原式式21350( 2)lim4xxexx 21021lim2xxx e 222111323000( 2)limlimlim.2xxxxxxeexexx 2102limlim.1xtxtteex 或或 回頭是岸！回頭是

9、岸！14例例12120limtancot3 .xxx求求0tanlimtan3xxx 解解：原原式式01lim.33xxx15例例1313解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:16步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例1414解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 1ln10lnlnln0yvuv

10、yeeyyuyvuy 是是是是簡記簡記17例例1515解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 11ln(cot)lnln(cot),xxxxe )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式18例例1616解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e( 1)111-lim1 (-1)xxx 原原式式+ +解法二：解法二：1.e 1901.0 只只有有和和型型的的不不定定式式才才有有洛洛必必達達法法則則，其其他他形形式式的

11、的不不定定式式要要轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化成成上上述述兩兩種種形形式式. .使用洛必達法則求極限的幾點說明：使用洛必達法則求極限的幾點說明：2.洛洛必必達達法法則則只只是是求求極極限限的的方方法法之之一一，應應善善于于結(jié)結(jié)合合其其他他方方法法（如如等等價價無無窮窮小小代代換換等等）求求極極限限. .20例例1717解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在)cos11(limxxx 原式原式. 1 3.limlimlim.limlimfFfffFFFfF 洛洛必必達達法法則則的的條條件件僅僅為為充充分分條條件件，只只有有存存在在（或或為為 ）時

12、時，才才有有若若不不存存在在，也也不不能能說說不不存存在在. .214.某某些些數(shù)數(shù)列列極極限限也也可可使使用用洛洛必必達達法法則則. .例例1818lim (arctan )1.2nnn 求求5.有有些些不不定定式式的的極極限限使使用用洛洛必必達達法法會會出出現(xiàn)現(xiàn)循循環(huán)環(huán)而而無無法法求求出出. .例例191921(1) lim; (2) lim.xxxxxxxeexee 221(1)limlim11xxxxxx 解解：22三、小結(jié)三、小結(jié)洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 23設(shè)設(shè))()(limxgxf

13、是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明.思考題思考題24思考題解答思考題解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在25一、一、 填空題：填空題：1 1、 洛必達法則除了可用于求洛必達法則除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”兩種”兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決類型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_

14、，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求極限的問題的求極限的問題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.練習題練習題26二、二、 用洛必達法則求下列極限：用洛必達法則求下列極限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .27三三、 討討論論函函數(shù)數(shù) 0,0,)1()(2111xexexxfxx當當當當, , 在在處處點點0 x的的連連續(xù)續(xù)性性. .28一、一、1 1、00,0 ,1 ,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1.1.二、二、1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2 e. .三、連續(xù)三、連續(xù). .練習題答案練習題答案29四、作業(yè)四、作業(yè)A :作業(yè)作業(yè)15習題習題3-2（P.136-137)B: 1(除除5, 9, 14)；2 (除除4） ；3（1，3）C: 1（17); 4；5