概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題三答案

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題三1 .將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:X012310N1113C3g2228C2g1-3/8222031800111122282 .盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表:工0123000C2C_3_C435c；C工C43510C3CC_6C435c3CC12C435c；C工C4352R0黑,2紅,2白尸C2gC2/C4

2、35C_6C435C2gC2QC43503 .設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(xy)=sinxsiny,0x20y20,其他.求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域0x-,-y-內(nèi)的概率.4 63-F工ErtTtTtTt.【解】如圖P0X-,-Y公式(3.2)463(0,F(0,。_TtTt_TtTt_因,3)F(76)F冗冗冗冗冗冗sin-gsin-singsinsin0gsinsinOgsin-434636題3圖說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度f(wàn) (x, y)Ae(3x4y),x0,y0,0,其他.求：（1）常數(shù)A;（2）隨機(jī)變量（X,Y）的分

3、布函數(shù);（3）P0WX1,0WY2.A【斛】(1)由f(x,y)dxdyooAedxdy1得A=12(2)由定義，有yxy y12e(3u 4v)dudv0 00,F(x,y)f(u,v)dudv(1e3x)(1e4y)y0,x0,0,其他P0X1,0Y2P0X1,0Y212oo12e(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)k(6xy),0x2,2y4,0,其他.(1)確定常數(shù)k;(2)求RXv1,Y3;(3)求PX;(4)求RX+YW4.【解】(1)由性質(zhì)有24f(x,y)dxdy02k(6xy)dydx8k1,一_1故R-8

4、(2)PX1,Y133f(x,y)dydx1 31302石k(6xy)dydx788(3) PX1.5f(x,y)dxdy如圖af(x,y)dxdyx1.5D11.54127dx(6xy)dy.02832(4)PXY4f(x,y)dxdy如圖bf(x,y)dxdyXY4D224x12dx(6xy)dy-.02836.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,題5圖X在（0,）上服從均勻分布,Y的密度函數(shù)為fY (y)5e5y0,y 0,其他.求：（1）X與Y的聯(lián)合分布密度；（2）PY y0,其他.f (x, y)dxdy如圖25e 5ydxdyy x0.20-1=e7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）xdx

5、。2% 5ydy0.3679.的聯(lián)合分布函數(shù)為0.2(5e 5x5)dxx 0, y0,其他.4x2yxF (x-(1e)(1e),V)=0,求（X,Y）的聯(lián)合分布密度【解】f (x, y)2F(x, y)x y8e0,(4x 2y)x 0,y 0, 其他.8.設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y）的概率密度為求邊緣概率密度f(wàn) (x, y)4.8y(2 x), 0 x 1,0 y x,0,其他.【解】fX(x) f(x, y)dyx0 4.8y(2x)dy0,2.4x2(2 x), 0 x 1,0,其他.fy(y)f (x, y)dxiy4.8y(2 x)dx0,一 ，一2、 一2.4y(3 4y y ),

6、 0 y 1,0,其他.9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為求邊緣概率密度f(wàn) (x, y)ye , 0 x y,0,其他.【解】fX(x) f (x, y)dye ydyx0,_ xe , x 0,0, 其他.fy(y)f (x,y)dx，e ydx00,ye x, y 0,0, 其他.題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y）的概率密度為2y 1, 其他.（1）試確定常數(shù)c；(2)求邊緣概率密度【解】(1)f(x,y)dxdy如圖f(x,y)dxdy214(2)fx(x)fY(y)11.設(shè)隨機(jī)變量(X,求條件概率密度【解】fX(x)所以1dx-11cx2ydy21c1.f(x,y)dy12

7、12人x2xydyx40,f(x,y)dxy212,_xydxy40,Y)的概率密度為f(xy)fYix(yIx)f(x,y)dyx1dyx0,fY(y)fYix(y|x)2x,212x80,其他.(1),1x1,其他.0,1,0,1,其他.x,0x1,其他.(xIy).題111,f(x,y)dx11dxy11dxy0,y,1y0,y,0y1,其他.f(x,y)fX(x)12x0,|y|1,其他.fxY(x|y)f(x,y)fY(y)11y11y0,yx1,yx1,其他.12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1,2,3,4,5,從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X,最大的號(hào)碼為Y.(1)求X與Y的聯(lián)合概率

8、分布；(2)X與Y是否相互獨(dú)立【解】(1)X與Y的聯(lián)合分布律如下表X345PX為1113c510223c510333C3106102011c51022C31031030011_2_C510110PYyi110310610E_6161一.(2)因PX1gPY3PX1,Y3,101010010故X與Y不獨(dú)立(2) X與Y是否相互獨(dú)立(2)因 PX 2gPY 0.4 0.20.8 0.160.15 P(X 2,Y 0.4),故X與Y不獨(dú)立.14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為fY (y)=1 -e 2 0,y/20,其他.(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度；(2)設(shè)含

9、有a的二次方程為a2+2Xs+Y=0,試求a有實(shí)根的概率.1, 0 x 1,皿因fX(x)0,其他；fY(y)1 ye 2 20,y 1,其他.故 f(x,y)X,Y獨(dú)立 fX (x)gfY(y)1-e20,y/2x 1,y 0,其他.題14圖(2)方程a- (1)(0)0.1445.2XaY0有實(shí)根的條件是_ 2(2X)4Y 0故從而方程有實(shí)根的概率為:X2Y,PX2 Yf (x, y)d xdyx2 y1dx0x2-e y/2dy215.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命同一分布，其概率密度為(以小時(shí)計(jì))，并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從(x)=10002x0,x1000,其他.求Z=X/Y

10、的概率密度.【解】如圖，Z的分布函數(shù)FZ (z)PZzX P-zY當(dāng)zwo時(shí)，F(xiàn)Z(z)0(2)當(dāng)0zl時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y二103時(shí)，x=103z）（如圖b）l,、106.zy106.Fz(z)dxdydy一/dxxxy1010xyyz103103-2y1063zydy12zfz(z)12zz1,0z1,其他.12z212,0,z1,0z1,其他.16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N160,202）分布.隨機(jī)地選取4只,求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為X（i=1,2,3,4），則XN（160,202）,從而Pmin(X1,X2,X3,X4)180Xi之間獨(dú)

11、立PX1180gPX2180PX3180gPX41801PX1180g1PX2180g1PX3180g1PX418041PX11801180160202,2,PZ=i=p(k)q(ik 0k)，i=0, 1, 2, 1(1)4(0.158)40.00063.17.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為PX=k=p(k),k=0,PY=r=q(r),r=0證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù),所以Zi XY iX0,Y iUX1,Yi 1 UL UXi,Y 0PZ i PXk 0k,YkX,Y相互獨(dú)立PX kgPYk 0i kp(k)q(ik 0k)18.

12、設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,數(shù)為2n, p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為它們都服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參PX方法二：設(shè) (11, (1 2,(1n；X31+ W 2+ WXY= (1 1+ (1 2+1, 2,，2n.kki 0PXP(X2n,W 2,Y= (11+(12i,Y ki)gPYpiqk 2nqik i2n均服從兩點(diǎn)分布(參數(shù)為 p),則+ ,+口,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n, p）的二項(xiàng)分布.(2)(3)(4)求V=max （X, Y的分布律;求U=min （X, Y）的分布律;求W=X+Y的分布律.【解】（1） PX2|Y 2PX 2

13、,Y 2PY 20.050.2512,PX2,Y2-5PXi,Y2i0PY3|X0PY3,X0PX0PX0,Y33PXj00,Yj0.010.031-；3(2)PViPmax(X,Y)iPXi,YiPXi,Yii1PXi,Yk0kPXk,Yk0i),i0,123,4,5PUi Pmin( X,Y)iPX i,Y i) 3PX i,Y k iPX5 k)k ii,Y i)PX k,Y i)1i 0,123,所以V的分布律為V=max(XY)012345P0于是U=min(XY)WX+Y012345678P0在屏幕上服從均勻分布20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)(XY)(1)求PY0|YX)

14、;(2)設(shè)gmaxX,Y),求PM0.P(4)類似上述過(guò)程，有題20圖【解】因(X,Y)的聯(lián)合概率密度為1f (x, y)其他.下,0,(1) PY 0|Y XPY0,YXPY Xf(x,y)d0xf(x,y)dyx兀d冗/4-5一兀4 dTt/42 rdrtR2rdr3/81/2(2) PM 0 Pmax(X,Y)01 Pmax(X,Y)01 PX 0,Y0)1 f (x, y)dx 0y 021.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0, x=1,x=e 2所圍成,二維隨機(jī)變量(X, Y在區(qū)域D上服從均勻分布，求(X, Y)關(guān)于X的邊緣概率密度在 x=2處的值為多少題21乩一 ee2 1【

15、解】區(qū)域D的面積為 S01dx1 xIne212. (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)120,其他.21e ,0 y - x(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為fx(X)1/x 10 2dy2x0,其他.所以fx(2)y1y2Y3PX=Xi=piX1X21/81/8RY=v=r1/6122.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（XY聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處2【解】因PYyjPjPXxi,Yyj,i1故 PYy1PxX1,Y y。PX X2,Y y.從而 PX x1,Y24而X與Y獨(dú)立，故P X xigPYyjPX xi,Y yj,

16、11從而PXXiPXXi,Yy1624r111即：PXx1/.2464又 PX x1 PX x1,Y% PXXi,Yy2 PX X1,Yy3,rr 111PX x1,Yy3,4 24 81 從而 PX x1,Yy3.121-同理 PY y2, PX x2,Y2y23又 PY yj 1,故 PYj 1y3同理PX從而X2,、,、,、111PXx2,Yy3PYy3PXJy3311214y1y2y3PXXPiX11241811214X218381434PYyjpj161213123.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為入(入0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0p1),且中途下車與否相互獨(dú)立

17、，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：(1)在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；(2)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.【解】(1)PYm|XnC：pm(1p)nm,0mn,n0,1,2,L.(2)PXn,YmPXngPYm|XnCmpm(1p)nmge-n,nmn,n0,1,2,L.n!1224.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X，而Y的概率密度為f(y),0.30.7求隨機(jī)變量U=*Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=*Y的分布函數(shù)為G(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|X20.3PYu1|X10.7PYu2|X2由于X

18、和Y獨(dú)立，可見(jiàn)G(u)0.3PYu10.7PYu20.3F(u1)0.7F(u2).由此，得U的概率密度為g(u) G (u)0.3F (u 1)0.7F (u 2)0.3f(u1)0.7f(u2).25.25.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y)W1.解:因?yàn)殡S即變量服從03上的均勻分布，于是有因?yàn)閄,推得其中(1)(2)(3)解1f(x)30,Y相互獨(dú)立，所以f(x,y)0,x190,3,3；f(y)3,00,y0,x3,y，、1PmaxX,Y)1)913,0,3,3.0y3,y0,y3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為26.a,b,c的值；Z的概率分布；P(X=Z).由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+=1a+b+c=.由E(X)0.2,可得0.1.再由PY0X0)PX0,Y0)ab0.1a解以上關(guān)于a,b,c的三個(gè)方程得(2)Z的可能取值為2,1,0,1PX0)b0.3.0.2,b0.1,c2,0.1.0.50.5,PZ2)PX1,Y1)0.2PZ1)PX1,Y0)PX0,Y1)0.1,PZ0)PX1,Y1)PX0,Y0)PX1,Y1)0.3,PZ1)PX1,Y0)PX0,Y1)0.3PZ2PX1,Y10.1,即Z的概率分布為Z21012PPXZPY00.1b0.20.10.10.20.4.