高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)與間斷

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1、第九節(jié) 函數(shù)的連續(xù)與間斷 客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長(zhǎng)、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性. 本節(jié)將要引入的連續(xù)函數(shù)就是刻畫(huà)變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型.16、17世紀(jì)微積分的醞釀和產(chǎn)生，直接肇始于對(duì)物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)的研究. 例如伽利略所研究的自由落體運(yùn)動(dòng)等都是連續(xù)變化的量. 但直到19世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)家們對(duì)連續(xù)變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫(huà)成的曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù). 19世紀(jì)中葉，在柯西等數(shù)學(xué)家建立起嚴(yán)格的極限理論之后，才對(duì)連續(xù)函數(shù)作出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述.連續(xù)

2、函數(shù)不僅是微積分的研究對(duì)象，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性.本節(jié)和下一節(jié)將以極限為基礎(chǔ)，介紹連續(xù)函數(shù)的概念、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).分布圖示 函數(shù)的連續(xù)性 例1 例2 左右連續(xù) 例3 例4 例5 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 例6 函數(shù)的間斷點(diǎn) 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 9 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)的增量 連續(xù)性的三種定義形式 二、左右連續(xù)的概念定理1 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù). 三、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 四、 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類：第一類間斷點(diǎn) 跳躍

3、間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn) 無(wú)窮間斷點(diǎn) 振蕩間斷點(diǎn)；例題選講函數(shù)的連續(xù)性例1 (E01) 試證函數(shù)在處連續(xù).證 又 由定義2知，函數(shù)在處連續(xù).例2(E02) 設(shè)是定義于a, b上的單調(diào)增加函數(shù), 如果存在, 試證明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).證 設(shè)由于單調(diào)增加，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由此可見(jiàn)，即因此在連續(xù).例3 討論函數(shù) 在和處的連續(xù)性. 解 如圖所示（圖示見(jiàn)系統(tǒng)）， 因?yàn)椋缘枪试谔幉贿B續(xù). 在處： 因?yàn)?，所以不存在，在處不連續(xù).左右連續(xù)例4 (E03) 已知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，求的值.解 因?yàn)辄c(diǎn)處連續(xù)，則即例 5設(shè) 為使在處連續(xù)，與應(yīng)如何取值？解 因?yàn)闉槭乖谔庍B續(xù)，只要 而要使存在，須即得代入即當(dāng)時(shí)，在

4、連續(xù).連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間例6(E04) 證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù).證 當(dāng)時(shí)，即函數(shù)對(duì)任意都是連續(xù)的.函數(shù)間斷點(diǎn)例7 (E05) 討論 在處的連續(xù)性.（圖示見(jiàn)系統(tǒng)）解 因?yàn)橛疫B續(xù)但不左連續(xù)，故函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù).例8 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.（幾何演示見(jiàn)系統(tǒng)）解 為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).例9(E06) 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性.（幾何演示見(jiàn)系統(tǒng)）解 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).例10(1) (E07) 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解 為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)).例10(2) (E08) 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解 在處沒(méi)有定義，且不存在.為第二類間斷點(diǎn).例11 取何值時(shí)， 在處連續(xù).解 要使 必須 故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)

5、在處連續(xù).注：一個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)也可能有無(wú)窮多個(gè). 例如，狄利克雷函數(shù)在定義域內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷，且都是第二類間斷點(diǎn).例12(E09) 設(shè)求的間斷點(diǎn)，并判別出它們的類型.解 的定義域?yàn)榍以谥卸际浅醯群瘮?shù)，因而的間斷點(diǎn)只可能在處.由于因此是的第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn))；由于且在處無(wú)定義，因此是的可去間斷點(diǎn)；又因此是的連續(xù)點(diǎn).例 13求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型. 若為可去間斷點(diǎn)，試補(bǔ)充或修改定義后使其為連續(xù)點(diǎn).解 因?yàn)樵谔師o(wú)定義，所以是的間斷點(diǎn). 又因 所以為的第一類不可去間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn)). 在處有定義，但是，所以為的無(wú)窮間斷點(diǎn).在處有定義，而且但是故為的可去間斷點(diǎn)，若令 則在處連續(xù).例14(E10) 研究在處的連續(xù)性.解 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在處連續(xù). 因?yàn)槎?所以，當(dāng)且即時(shí)，在處連續(xù)，當(dāng)或時(shí)，在處間斷.例15 討論的連續(xù)性.解 右端的極限與的取值范圍有關(guān)，時(shí)，時(shí)， 故時(shí)，時(shí)，時(shí)，因此，不難看出，在整個(gè)定義域上連續(xù).課堂練習(xí)1. 若在處連續(xù)，在處是否連續(xù)？又若在處連續(xù)，在處是否連續(xù)？2. 試確定的值，使 (1) 有無(wú)窮間斷點(diǎn) (2) 有可去間斷點(diǎn)