高等數學備課教案：第一章 函數、極限與連續(xù) 第九節(jié)函數的連續(xù)與間斷

第九節(jié) 函數的連續(xù)與間斷 客觀世界的許多現象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數的連續(xù)性. 本節(jié)將要引入的連續(xù)函數就是刻畫變量連續(xù)變化的數學模型.16、17世紀微積分的醞釀和產生，直接肇始于對物體的連續(xù)運動的研究. 例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續(xù)變化的量. 但直到19世紀以前，數學家們對連續(xù)變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫成的曲線所對應的函數稱為連續(xù)函數. 19世紀中葉，在柯西等數學家建立起嚴格的極限理論之后，才對連續(xù)函數作出了嚴格的數學表述.連續(xù)函數不僅是微積分的研究對象，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函數具有連續(xù)性.本節(jié)和下一節(jié)將以極限為基礎，介紹連續(xù)函數的概念、連續(xù)函數的運算及連續(xù)函數的一些性質.分布圖示 函數的連續(xù)性 例1 例2 左右連續(xù) 例3 例4 例5 連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間 例6 函數的間斷點 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 內容小結 課堂練習 習題 1- 9 返回內容要點 一、函數的連續(xù)性：函數的增量 連續(xù)性的三種定義形式 二、左右連續(xù)的概念定理1 函數在處連續(xù)的充要條件是函數在處既左連續(xù)又右連續(xù). 三、連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間 四、 函數的間斷點及其分類：第一類間斷點 跳躍間斷點 可去間斷點；第二類間斷點 無窮間斷點 振蕩間斷點；例題選講函數的連續(xù)性例1 (E01) 試證函數在處連續(xù).證 又 由定義2知，函數在處連續(xù).例2(E02) 設是定義于a, b上的單調增加函數, 如果存在, 試證明函數在點處連續(xù).證 設由于單調增加，則當時，當時，由此可見，即因此在連續(xù).例3 討論函數 在和處的連續(xù)性. 解 如圖所示（圖示見系統(tǒng)）， 因為，所以但是故在處不連續(xù). 在處： 因為，所以不存在，在處不連續(xù).左右連續(xù)例4 (E03) 已知函數在點處連續(xù)，求的值.解 因為點處連續(xù)，則即例 5設 為使在處連續(xù)，與應如何取值？解 因為為使在處連續(xù)，只要 而要使存在，須即得代入即當時，在連續(xù).連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間例6(E04) 證明函數在區(qū)間內連續(xù).證 當時，即函數對任意都是連續(xù)的.函數間斷點例7 (E05) 討論 在處的連續(xù)性.（圖示見系統(tǒng)）解 因為右連續(xù)但不左連續(xù)，故函數在點處不連續(xù).例8 討論函數在處的連續(xù)性.（幾何演示見系統(tǒng)）解 為函數的跳躍間斷點.例9(E06) 討論函數 在處的連續(xù)性.（幾何演示見系統(tǒng)）解 為函數的可去間斷點.例10(1) (E07) 討論函數在處的連續(xù)性.解 為函數的第二類間斷點(無窮間斷點).例10(2) (E08) 討論函數在處的連續(xù)性.解 在處沒有定義，且不存在.為第二類間斷點.例11 取何值時， 在處連續(xù).解 要使 必須 故當且僅當時，函數在處連續(xù).注：一個函數的間斷點也可能有無窮多個. 例如，狄利克雷函數在定義域內每一點處都間斷，且都是第二類間斷點.例12(E09) 設求的間斷點，并判別出它們的類型.解 的定義域為且在中都是初等函數，因而的間斷點只可能在處.由于因此是的第二類間斷點(無窮間斷點)；由于且在處無定義，因此是的可去間斷點；又因此是的連續(xù)點.例 13求下列函數的間斷點，并判斷其類型. 若為可去間斷點，試補充或修改定義后使其為連續(xù)點.解 因為在處無定義，所以是的間斷點. 又因 所以為的第一類不可去間斷點(跳躍間斷點). 在處有定義，但是，所以為的無窮間斷點.在處有定義，而且但是故為的可去間斷點，若令 則在處連續(xù).例14(E10) 研究在處的連續(xù)性.解 當且僅當時，在處連續(xù). 因為而 所以，當且即時，在處連續(xù)，當或時，在處間斷.例15 討論的連續(xù)性.解 右端的極限與的取值范圍有關，時，時， 故時，時，時，因此，不難看出，在整個定義域上連續(xù).課堂練習1. 若在處連續(xù)，在處是否連續(xù)？又若在處連續(xù)，在處是否連續(xù)？2. 試確定的值，使 (1) 有無窮間斷點 (2) 有可去間斷點