高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第五節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大

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1、第五節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大 沒(méi)有任何問(wèn)題可以像無(wú)窮那樣深深地觸動(dòng)人的感情，很少有別的觀念能像無(wú)窮那樣激勵(lì)理智產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒(méi)有任何其它的概念能像無(wú)窮那樣需要加于闡明. -大衛(wèi). 希爾伯特對(duì)無(wú)窮小的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，可以遠(yuǎn)溯到古希臘，那時(shí)，阿基米德就曾用無(wú)限小量方法得到許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)果，但他認(rèn)為無(wú)限小量方法存在著不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的分析教程中才對(duì)無(wú)限?。催@里所說(shuō)的無(wú)窮小）這一概念給出了明確的回答. 而有關(guān)無(wú)窮小的理論就是在柯西的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的. 分布圖示 無(wú)窮小 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 例1 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì) 例2 無(wú)窮大 例3 例4 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 例5

2、內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 5內(nèi)容要點(diǎn) 一、無(wú)窮小的概念 二、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 三、無(wú)窮大的概念 四、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系例題選講無(wú)窮小的概念與無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)例1 根據(jù)定義證明：當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小.證 要使 只須取則當(dāng)時(shí)，恒有 證畢.例2 (E01) 求解 因?yàn)?而當(dāng)時(shí), 是無(wú)窮小量, 是有界量所以 例3 (E02) 證明 證 要使只要取當(dāng)時(shí)，就有所以例4 證明證 取當(dāng)時(shí)，有 從而即當(dāng)時(shí)，是正無(wú)窮大.例5(E03) 求 解 因?yàn)?根據(jù)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系有 課堂練習(xí)1. 求 2（1）設(shè)時(shí)，是有界量，是無(wú)窮大量，證明：是無(wú)窮大量. （2）設(shè)時(shí)，是一個(gè)正的常數(shù)），是無(wú)窮大量，證明：是無(wú)窮大量.