高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第五節(jié)無窮小與無窮大

第五節(jié) 無窮小與無窮大 沒有任何問題可以像無窮那樣深深地觸動人的感情，很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒有任何其它的概念能像無窮那樣需要加于闡明. -大衛(wèi). 希爾伯特對無窮小的認(rèn)識問題，可以遠(yuǎn)溯到古希臘，那時，阿基米德就曾用無限小量方法得到許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)果，但他認(rèn)為無限小量方法存在著不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的分析教程中才對無限?。催@里所說的無窮?。┻@一概念給出了明確的回答. 而有關(guān)無窮小的理論就是在柯西的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的. 分布圖示 無窮小 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 例1 無窮小的運算性質(zhì) 例2 無窮大 例3 例4 無窮小與無窮大的關(guān)系 例5 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1- 5內(nèi)容要點 一、無窮小的概念 二、無窮小的運算性質(zhì)有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 三、無窮大的概念 四、無窮小與無窮大的關(guān)系例題選講無窮小的概念與無窮小的運算性質(zhì)例1 根據(jù)定義證明：當(dāng)時為無窮小.證 要使 只須取則當(dāng)時，恒有 證畢.例2 (E01) 求解 因為 而當(dāng)時, 是無窮小量, 是有界量所以 例3 (E02) 證明 證 要使只要取當(dāng)時，就有所以例4 證明證 取當(dāng)時，有 從而即當(dāng)時，是正無窮大.例5(E03) 求 解 因為 根據(jù)無窮小與無窮大的關(guān)系有 課堂練習(xí)1. 求 2（1）設(shè)時，是有界量，是無窮大量，證明：是無窮大量. （2）設(shè)時，是一個正的常數(shù)），是無窮大量，證明：是無窮大量.