高考數(shù)學總復習 （教材扣夯實雙基+考點突破+典型透析）第三章第8課時 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例課件

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1、第第8課時正弦定理和余弦課時正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例定理的應(yīng)用舉例教材回扣夯實雙基教材回扣夯實雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1仰角和俯角仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平在視線和水平線所成的角中，視線在水平線線_的角叫仰角，在水平線的角叫仰角，在水平線_的的角叫俯角角叫俯角(如圖如圖)上方上方下方下方2方位角：從正方位角：從正_方向順時針轉(zhuǎn)到目標方方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的角向線的角(如圖如圖，B點的方位角為點的方位角為)北北思考探究思考探究仰角、俯角、方位角有何區(qū)別？仰角、俯角、方位角有何區(qū)別？提示：提示：三者的參照位置不同仰角與俯角是三者的參照位置不同仰角與俯角是相對于水平線而言的，

2、而方位角是相對于正相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的北方向而言的3方向角：相對于某一正方向的角方向角：相對于某一正方向的角(如圖如圖) (1)北偏東北偏東：指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)：指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向到達目標方向 (2)東北方向：指北偏東東北方向：指北偏東45或東偏北或東偏北45. (3)其他方向角類似其他方向角類似 課前熱身課前熱身 1若點若點A在點在點B的北偏西的北偏西30，則點，則點B在在點點A的的() A北偏西北偏西30B北偏西北偏西60 C南偏東南偏東30 D東偏南東偏南30 答案：答案：C 2在某次測量中，在在某次測量中，在A處測得同一半平處測得同一半

3、平面方向的面方向的B點的仰角是點的仰角是60，C點的俯角點的俯角為為70，則，則BAC等于等于() A10 B50 C120 D130 答案：答案：D 3(2011高考上海卷高考上海卷)在相距在相距2千米的千米的A、B兩點處測量目標點兩點處測量目標點C，若，若CAB75，CBA60，則，則A、C兩點之間的距離兩點之間的距離為為_千米千米解析：解析： 4.如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點定兩點A、B望對岸的標記物望對岸的標記物C，測得，測得CAB30，CBA75，AB120 m，則這條河的寬度為，則這條河的寬度為_解析：如圖，在解析：如圖，在ABC中，過

4、中，過C作作CDAB于于D點，則點，則CD為所求河的寬度在為所求河的寬度在ABC中中， CAB30，CBA75， ACB75， ACAB120 m. 在在RtACD中，中，CDACsinCAD120sin3060(m)， 因此這條河的寬度為因此這條河的寬度為60 m. 答案：答案：60 m考點探究講練互動考點探究講練互動考點考點1測量距離測量距離例例1 港口港口A北偏東北偏東30方向的方向的C處有一處有一檢查站，港口正東方向的檢查站，港口正東方向的B處有一輪船，處有一輪船，距離檢查站為距離檢查站為31海里，該輪船從海里，該輪船從B處沿正處沿正西方向航行西方向航行20海里后到達海里后到達D處觀測

5、站，已處觀測站，已知觀測站與檢查站距離知觀測站與檢查站距離21海里，問此時輪海里，問此時輪船離港口船離港口A還有多遠？還有多遠？【題后感悟】【題后感悟】求距離問題要注意：求距離問題要注意：(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理可用，就選擇更便于計算的定理 備選例題備選例題（教師用書

6、獨具）（教師用書獨具）例例 已知已知A船在燈塔船在燈塔C北偏東北偏東80處，且處，且A船到燈塔船到燈塔C的距離為的距離為2 km，B船在燈塔船在燈塔C北偏北偏西西40處，處，A、B兩船間的距離為兩船間的距離為3 km，則，則B船到燈塔船到燈塔C的距離為的距離為_km. 變式訓練變式訓練 1.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC，小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A及點及點C處，處，小區(qū)里有兩條筆直的小路小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為彎處的轉(zhuǎn)角為120.已知某人從已知某人從C沿沿CD走走到到D用了用了10分鐘，從分鐘，從D沿沿

7、DA走到走到A用了用了6分分鐘，若此人步行的速度為每分鐘鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求米，求該扇形的半徑該扇形的半徑OA的長的長(精確到精確到1米米)解：解：例例2 測量河對岸的塔高測量河對岸的塔高AB時，可選取與時，可選取與塔底塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與與D，現(xiàn)測得現(xiàn)測得BCD75，BDC60，CDs，并在點，并在點C處測得塔頂處測得塔頂A的仰角為的仰角為30，求塔高求塔高AB.考點考點2測量高度測量高度【題后感悟題后感悟】求解高度問題首先應(yīng)分清：求解高度問題首先應(yīng)分清：(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念

8、，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；夾角；(2)準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；意圖；(3)運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用 備選例題備選例題（教師用書獨具）（教師用書獨具）例例 海島海島O上有一座海拔上有一座海拔1 km的小山，的小山，山頂設(shè)有一觀察站山頂設(shè)有一觀察站A，上午，上午11時測得一輪時測得一輪船在島的北偏東船在島的北偏東60的的C處，俯角為處，俯角

9、為30，11時時10分，又測得該船在島的北偏西分，又測得該船在島的北偏西60的的B處，俯角為處，俯角為60.(1)求該船的速度；求該船的速度；(2)若此船以不變的船速繼續(xù)前進，則它何時若此船以不變的船速繼續(xù)前進，則它何時到達島的正西方向？此時輪船所在點到達島的正西方向？此時輪船所在點E離海離海島島O的距離是多少千米？的距離是多少千米？例例3 如圖位于如圖位于A處的信息中心獲悉：在處的信息中心獲悉：在其正東方向相距其正東方向相距40海里的海里的B處有一艘漁船處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西消息告知在其南偏西30、相距、相距20海里

10、的海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直的方向沿直線線CB前往前往B處救援，求處救援，求cos的值的值考點考點3測量角度測量角度【題后感悟題后感悟】(1)測量角度，首先應(yīng)明確測量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義方位角，方向角的含義(2)在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理綜問題，解題中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的特點合使用的特點備選例題

11、備選例題（教師用書獨具）（教師用書獨具）例例 在海岸在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，方向，距距A處處(1) n mile 的的B處有一艘走私船，在處有一艘走私船，在A處北偏西處北偏西75的方向，距離的方向，距離A處處2 n mile的的C處的緝私船奉命以處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截的速度追截走私船此時，走私船正以走私船此時，走私船正以10 n mile/h的速的速度從度從B處向北偏東處向北偏東30方向逃竄，問緝私船方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？沿什么方向能最快追上走私船？ BCD30. 即緝私船沿東偏北即緝私船沿東偏北30方向能最快追上走方向能

12、最快追上走私船私船方法技巧方法技巧解三角形的一般步驟解三角形的一般步驟(1)分析題意，準確理解題意分析題意，準確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡角、仰角、俯角、有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡角、仰角、俯角、方位角等方位角等(2)根據(jù)題意畫出示意圖根據(jù)題意畫出示意圖(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形將需求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解演算過程中，要求算法簡關(guān)知識正確求解演算過程中，要求算法簡練，計算正確，并作答練，計算正確，并作答(4)檢驗解

13、出的答案是否具有實際意義，對解檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍進行取舍失誤防范失誤防范在解實際問題時，需注意的兩個問題在解實際問題時，需注意的兩個問題(1)要注意仰角、俯角、方位角等名詞，要注意仰角、俯角、方位角等名詞，并能準確地找出這些角；并能準確地找出這些角；(2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決隱含條件，才能順利解決考向瞭望把脈高考考向瞭望把脈高考命題預(yù)測命題預(yù)測從近幾年的高考試題來看，利用正弦定理、從近幾年的高考試題來看，利用正弦定理、余弦定理解決與測量

14、、幾何計算有關(guān)的實際余弦定理解決與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題是高考的熱點，一般以解答題的形式考問題是高考的熱點，一般以解答題的形式考查，主要考查計算能力和分析問題、解決實查，主要考查計算能力和分析問題、解決實際問題的能力，常與解三角形的知識及三角際問題的能力，常與解三角形的知識及三角恒等變換綜合考查恒等變換綜合考查預(yù)測預(yù)測2013年高考仍將以利用正弦、余弦定年高考仍將以利用正弦、余弦定理，解決與測量、幾何計算有關(guān)的實際問理，解決與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題為主要考點，重點考查應(yīng)用所學知識解題為主要考點，重點考查應(yīng)用所學知識解決實際問題的能力決實際問題的能力 規(guī)范解答規(guī)范解答例例 (本題滿分

15、本題滿分12分分)(2010高考福建卷高考福建卷)某港口某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口于港口O北偏西北偏西30且與該港口相距且與該港口相距20海里海里的的A處，并正以處，并正以30海里海里/小時的航行速度沿正小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小小時與輪船相遇時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度

16、的大小應(yīng)為多少？艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海海里里/小時，試設(shè)計航行方案小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向即確定航行方向和航行速度的大小和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由與輪船相遇，并說明理由【得分技巧得分技巧】解答本題關(guān)鍵：一是利用余解答本題關(guān)鍵：一是利用余弦定理列出關(guān)于弦定理列出關(guān)于S和和t的關(guān)系式，盡量轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，盡量轉(zhuǎn)化為S關(guān)關(guān)于于t的函數(shù)，二是利用的函數(shù)，二是利用v30這一條件，構(gòu)造關(guān)這一條件，構(gòu)造關(guān)于于t的不等關(guān)系，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化與化的不等關(guān)系，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化與化歸思想歸思想【失分溯源失分溯源】解答本題時有兩點易造成解答本題時有兩點易造成失分：失分：一是第一是第(1)問轉(zhuǎn)化為余弦定理后計算錯誤問轉(zhuǎn)化為余弦定理后計算錯誤二是不會構(gòu)建二是不會構(gòu)建v與與t的函數(shù)關(guān)系式，不會利用的函數(shù)關(guān)系式，不會利用條件解不等式條件解不等式