新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第3章學(xué)案13

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案13導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)yC (C為常數(shù))，yx，yx2，y，y的導(dǎo)數(shù)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c，xm (m為有理數(shù))，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導(dǎo)數(shù))，能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的導(dǎo)數(shù)自主梳理1函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為_(kāi)2函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義設(shè)f(x)

2、在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無(wú)限趨近于0時(shí)，比值_無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在xx0處可導(dǎo)，并稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是過(guò)曲線yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)的_(3)導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)ss(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s(t0)，是物體的運(yùn)動(dòng)方程ss(t)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v，即v_；vv(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)v(t0)，是物體的運(yùn)動(dòng)方程vv(t)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a，即a_.3函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，就說(shuō)f(x)在開(kāi)區(qū)間(

3、a，b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作y或f(x)4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)C(C為常數(shù))f(x)_f(x)x (為常數(shù))f(x)_ (為常數(shù))f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)ax (a0，a1)f(x)_(a0，a1)f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，a1，且x0)f(x)_f(x)ln xf(x)_5.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_ g(x)06復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若yf(u)，uaxb，則yxyuux，即yxyua.自我檢測(cè)1(2011中山

4、期末統(tǒng)一考試)已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為st2(t是時(shí)間，s是位移)，則物體在時(shí)刻t2時(shí)的速度為_(kāi)2設(shè)yx2ex，則y_.3已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_.4(2010臨汾二模)若函數(shù)f(x)exaex的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線yf(x)的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是_5(2009湖北)已知函數(shù)f(x)f()cos xsin x，則f()_.探究點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)；(2)f(x).變式遷移1求函數(shù)y在x0到x0x之間的平均變化率，并求出其導(dǎo)函數(shù)探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例2求

5、下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(1)；(2)y；(3)yxex；(4)ytan x.變式遷移2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)y.探究點(diǎn)三求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)yln(2x5)變式遷移3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)ysin；(3)yx.探究點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4已知曲線yx3.(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程；(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程變式遷移4求曲線f(x)x33x22x過(guò)原點(diǎn)的切線方程1準(zhǔn)確理解曲線的切線，需注意的兩個(gè)方面：(1)直線與曲線

6、公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)(2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線yx3在其過(guò)(0,0)點(diǎn)的切線y0的兩側(cè)2曲線的切線的求法：若已知曲線過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解(1)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)的切線方程為yy0f(x0)(xx0)(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P(x1，f(x1)；第二步：寫出過(guò)P(x1，f(x1)的切線方程為yf(x1)f(x1)(xx1)；

7、第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)變形(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010南通模擬)已知函數(shù)f(x)x3x26x，當(dāng)x0時(shí)，常數(shù)A，則A_.2一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為st3t22t，那么速度為零的時(shí)刻是_3若曲線yx4的一條

8、切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為_(kāi)4(2010遼寧改編)已知點(diǎn)P在曲線y上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_5(2009福建)若曲線f(x)ax2ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_6(2009安徽改編)設(shè)函數(shù)f(x)x3x2tan，其中，則導(dǎo)數(shù)f(1)的取值范圍為_(kāi)7已知函數(shù)yf(x)，yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是_(填上正確的序號(hào))8(2011南京模擬)若點(diǎn)P是曲線f(x)x2ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線yx2的最小距離為_(kāi)二、解答題(共42分)9(12分)求下列函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)f(x)，x02

9、；(2)f(x)，x01.10(14分)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的曲線y的切線方程11(16分)設(shè)函數(shù)f(x)ax (a，bZ)，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：函數(shù)yf(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；(3)證明：曲線yf(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x1和直線yx所圍三角形的面積為定值，并求出此定值答案 自主梳理1.2.(1)(2)切線的斜率(3)s(t0)v(t0)4.0x1cos xsin xaxln aex5.(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)自我檢測(cè)1.2.(2xx2)ex3.34.ln

10、 25.1課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)必須把分式中的分母x這一因式約掉才可能求出極限，所以目標(biāo)就是分子中出現(xiàn)x，從而分子分母相約分(2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”“有理化”是處理根式問(wèn)題常用的方法，有時(shí)用“分母有理化”，有時(shí)用“分子有理化”(3)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)的步驟為：求函數(shù)的增量y；求平均變化率；化簡(jiǎn)取極限解(1)，從而，當(dāng)x0時(shí)，f(1).(2)，從而，當(dāng)x0時(shí)，f(x).變式遷移1解y，.x0時(shí)，.y.例2解題導(dǎo)引求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣

11、求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形解(1)y(1)，y(x)(x)xx.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.變式遷移2解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.例3解題導(dǎo)引(1)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的思路流程為：(2)由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外向內(nèi)，一層一層

12、地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程解(1)設(shè)u2x3，則y(2x3)5由yu5與u2x3復(fù)合而成yyuux5u4210u410(2x3)4.(2)設(shè)u3x，則y由yu與u3x復(fù)合而成yyuuxu(1)u.(3)設(shè)u2x5，則yln(2x5)由yln u與u2x5復(fù)合而成yyuux2.變式遷移3解(1)設(shè)u13x，yu4.則yyuux4u5(3).(2)設(shè)u2x，則ysin u，yyuuxcos u22cos(2x)(3)y(x)xx().例4解題導(dǎo)引(1)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異；過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已

13、知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)(2)求函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率，只要求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即可(3)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決解(1)yx2，在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k4.曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A，則切線的斜率kx.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點(diǎn)P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求切線方程為4xy40或xy20.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0

14、，y0)，則切線的斜率為kx1，解得x01，故切點(diǎn)為，(1,1)故所求切線方程為yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.變式遷移4解f(x)3x26x2.設(shè)切線的斜率為k.(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)kf(0)2，所以所求曲線的切線方程為y2x.(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)，則有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲線的切線方程為yx.綜上，曲線f(x)x33x22x過(guò)原點(diǎn)的切線方程為y2x或yx.課后練習(xí)區(qū)132.1秒或2秒末3.4xy304.5a0，且f(x)2ax.因?yàn)榍€存在垂直于y軸的切線，故此時(shí)斜率為0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x0范圍內(nèi)導(dǎo)

15、函數(shù)f(x)2ax存在零點(diǎn)令2ax0，即2ax210，即x2，顯然只有a0，方程2ax210才有正實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a0.6，2解析f(x)sin x2cos x，f(1)sin cos 2sin，又.，sin1，f(1)2.7解析由導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可知yf(x)在(0，)上單調(diào)遞減，說(shuō)明函數(shù)yf(x)的圖象上任意一點(diǎn)切線的斜率為單調(diào)遞減，故可排除、.又由圖象知yf(x)與yg(x)在點(diǎn)xx0處相交，說(shuō)明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線斜率相同，故可排除.8.解析過(guò)點(diǎn)P作yx2的平行直線，且與曲線f(x)x2ln x相切設(shè)P(x0，xln x0)，則有kf(x0)2

16、x0.2x01，x01或x0(舍去)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，d，即最小距離為.9解(1)f(x)，f(2)0.(6分)(2)f(x)(x)x(ln x)x1，f(1).(12分)10解設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)(x00)，則y0.切線過(guò)P(2,0)，切線斜率為.(4分)又y()，k.(6分)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知.解得x01.(10分)y01，M(1,1)切線斜率為k1，故切線方程為y1(x1)，即xy20.(14分)11(1)解f(x)a，(2分)于是解得或因?yàn)閍，bZ，故f(x)x.(6分)(2)證明已知函數(shù)y1x，y2都是奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)x也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形而f(x)x11.可知，函數(shù)g(x)的圖象按向量a(1,1)平移，即得到函數(shù)f(x)的圖象，故函數(shù)f(x)的圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱圖形(10分)(3)證明在曲線上任取一點(diǎn)，由f(x0)1知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為y(xx0)(12分)令x1，得y，切線與直線x1的交點(diǎn)為；令yx，得y2x01，切線與直線yx的交點(diǎn)為(2x01,2x01)；直線x1與直線yx的交點(diǎn)為(1,1)，從而所圍三角形的面積為|2x011|2x02|2.所以，所圍三角形的面積為定值2.(16分)