新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第10章學(xué)案

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案49橢圓導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義，幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)自主梳理1橢圓的概念平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做_這兩定點叫做橢圓的_，兩焦點間的距離叫_集合PM|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若_，則集合P為橢圓；(2)若_，則集合P為線段；(3)若_，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點

2、A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距F1F22c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2自我檢測1已知兩定點A(1,0)，B(1,0)，點M滿足MAMB2，則點M的軌跡是_2“mn0”是方程“mx2ny21表示焦點在y軸上的橢圓”的_條件3已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是_4橢圓1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么PF1_，PF2_

3、.5橢圓5x2ky25的一個焦點是(0,2)，那么k_.探究點一橢圓的定義及應(yīng)用例1一動圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程變式遷移1求過點A(2,0)且與圓x24xy2320內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程探究點二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)；(2)經(jīng)過兩點A(0,2)和B.變式遷移2(1)已知橢圓過(3,0)，離心率e，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)、P2(，)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究點三橢圓的幾何性質(zhì)例3已知F1、F2

4、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，F(xiàn)1PF260.(1)求橢圓離心率的范圍；(2)求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)變式遷移3已知橢圓1(ab0)的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M(在x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，ABOM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點，求F1QF2的取值范圍方程思想例4(14分)(2010北京朝陽一模)已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點M(1，)，過點P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在直線l，滿足2？若存在，求出直

5、線l的方程；若不存在，請說明理由【答題模板】解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，由題意得解得a24，b23.故橢圓C的方程為1.4分(2)若存在直線l滿足條件，由題意可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1，由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.6分因為直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理得32(6k3)0，解得k.9分又x1x2，x1x2，且2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k2)，即x1x22(x1x2)4(1k2).

6、11分所以24(1k2)，解得k.所以k.于是存在直線l滿足條件，其方程為yx.14分【突破思維障礙】直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點問題、相交弦問題及其他綜合問題反映在代數(shù)上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無實數(shù)解及實數(shù)解的個數(shù)的問題，它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，當(dāng)直線與橢圓相交時，要注意判別式大于零這一隱含條件，它可以用來檢驗所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過該不等式來求參數(shù)的范圍對直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進行求解，與向量相結(jié)合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關(guān)，若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算往往更容易實現(xiàn)解題功能，所以在復(fù)習(xí)過程中要格外重視1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了直接根據(jù)定義外

7、，常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定參)當(dāng)橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，可設(shè)方程為1 (m0，n0且mn)，可以避免討論和繁雜的計算，也可以設(shè)為Ax2By21 (A0，B0且AB)，這種形式在解題中更簡便2橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標(biāo)軸無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等；另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)等第一類性質(zhì)是常數(shù)，不因坐標(biāo)系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標(biāo)系變化而相應(yīng)改變3直線與橢圓的位置關(guān)系問題它是高考的熱點，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法和直線的基礎(chǔ)知識、線段的中點、弦長、垂直問題等，分析此類問題時，要充分利用數(shù)形結(jié)

8、合法、設(shè)而不求法、弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1若ABC的兩個頂點坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(4,0)，ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為_2已知橢圓1，長軸在y軸上，若焦距為4，則m_.3已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若ABF2是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率為_4已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_5(2011無錫模擬)橢圓1上一點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則ON_.6已知橢圓G的

9、中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為_7橢圓1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上若PF14，則PF2_；F1PF2的大小為_8(2011徐州模擬)如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓1 (ab0)上一點，若PF1PF2，tanPF1F2，則此橢圓的離心率是_二、解答題(共42分)9(14分)(2011常州模擬)已知方向向量為v(1，)的直線l過點(0，2)和橢圓C：1(ab0)的右焦點，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若已知點D(3,0)，點M，N是橢圓C上不重合的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍10(14分)橢圓ax2b

10、y21與直線xy10相交于A，B兩點，C是AB的中點，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程11(14分)(2010福建)已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點(1)求橢圓C的方程(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由學(xué)案49橢圓答案自主梳理1橢圓焦點焦距(1)ac(2)ac(3)aAB4.點M的軌跡是以點B(2,0)、A(2,0)為焦點、線段AB中點(0,0)為中心的橢圓a3，c2，b.所求軌跡方程為1.例2解題導(dǎo)引確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須要有一個定位條件(即

11、確定焦點的位置)和兩個定形條件(即確定a，b的大小)當(dāng)焦點的位置不確定時，應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (ab0)或1 (ab0)，或者不必考慮焦點位置，直接設(shè)橢圓的方程為mx2ny21 (m0，n0，且mn)解(1)若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為1 (ab0)橢圓過點A(3,0)，1，a3，又2a32b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點在y軸上，設(shè)方程為1 (ab0)橢圓過點A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程為1.綜上可知橢圓的方程為y21或1.(2)設(shè)經(jīng)過兩點A(0,2)，B的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2ny21，將A，B坐標(biāo)代入方程得，所求橢圓方程為x21.變式遷移2解(1)當(dāng)橢圓的焦點

12、在x軸上時，a3，c，從而b2a2c2963，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，b3，a227.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21 (m0，n0且mn)橢圓經(jīng)過P1、P2點，P1、P2點坐標(biāo)適合橢圓方程，則兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.例3解題導(dǎo)引(1)橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、PF1PF22a，得到a、c的關(guān)系(2)對F1PF2的處理方法(1)解設(shè)橢圓方程為1 (ab0)，PF1m，PF2n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 6

13、0.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn.4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號)，4a24c23a2.，即e.e的取值范圍是.(2)證明由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面積只與短軸長有關(guān)變式遷移3解(1)F1(c,0)，則xMc，yM，kOM.kAB，OMAB，bc，故e.(2)設(shè)F1Qr1，F(xiàn)2Qr2，F(xiàn)1QF2，r1r22a，F(xiàn)1F22c，cos 110，當(dāng)且僅當(dāng)r1r2時，cos 0，0，課后練習(xí)區(qū)1.1 (y0)2.83.14.橢圓54解析連結(jié)MF2，已知MF12，又MF1MF210，故MF210MF

14、18，如圖，ONMF24.6.1解析由已知得，2a12，a6，c3，b2a2c29.故橢圓方程為1.72120解析由PF1PF26，且PF14，知PF22，在PF1F2中，cosF1PF2.F1PF2120.8.解析由題得PF1F2為直角三角形，設(shè)PF1m，tanPF1F2，PF2，F(xiàn)1F2m，e.9解(1)直線l的方向向量為v(1，)，直線l的斜率為k.又直線l過點(0，2)，直線l的方程為y2x.ab，橢圓的焦點為直線l與x軸的交點c2.又e，a.b2a2c22.橢圓方程為1.(6分)(2)若直線MNy軸，則M、N是橢圓的左、右頂點，或，即52或52.若MN與y軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為

15、xmy3(m0)由得(m23)y26my30.設(shè)M、N坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1y2，y1y2，36m212(m23)24m2360，m2.(x13，y1)，(x23，y2)，顯然0，且1，(x13，y1)(x23，y2)y1y2.代入，得210.m2，得210，即解得52b0)，且可知其左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(5分)(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.(7分)因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.(9分)另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t2.(12分)由于24，4，所以符合題意的直線l不存在(14分)方法二(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且有解得b212或b23(舍去)從而a216.(3分)所以橢圓C的方程為1.(5分)(2)同方法一