新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第10章學(xué)案
新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案49橢圓導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義,幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)自主梳理1橢圓的概念平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做_這兩定點(diǎn)叫做橢圓的_,兩焦點(diǎn)間的距離叫_集合PM|MF1MF22a,F(xiàn)1F22c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù):(1)若_,則集合P為橢圓;(2)若_,則集合P為線段;(3)若_,則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸:坐標(biāo)軸對(duì)稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b焦距F1F22c離心率e(0,1)a,b,c的關(guān)系c2a2b2自我檢測1已知兩定點(diǎn)A(1,0),B(1,0),點(diǎn)M滿足MAMB2,則點(diǎn)M的軌跡是_2“m>n>0”是方程“mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的_條件3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若ABF2是正三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是_4橢圓1的焦點(diǎn)為F1和F2,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么PF1_,PF2_.5橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么k_.探究點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用例1一動(dòng)圓與已知圓O1:(x3)2y21外切,與圓O2:(x3)2y281內(nèi)切,試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程變式遷移1求過點(diǎn)A(2,0)且與圓x24xy2320內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程探究點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0);(2)經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2)和B.變式遷移2(1)已知橢圓過(3,0),離心率e,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(,1)、P2(,),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)例3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),F(xiàn)1PF260°.(1)求橢圓離心率的范圍;(2)求證:F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)變式遷移3已知橢圓1(a>b>0)的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B,從此橢圓上一點(diǎn)M(在x軸上方)向x軸作垂線,恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1,ABOM.(1)求橢圓的離心率e;(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn),求F1QF2的取值范圍方程思想例4(14分)(2010·北京朝陽一模)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)M(1,),過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在直線l,滿足·2?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由【答題模板】解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0),由題意得解得a24,b23.故橢圓C的方程為1.4分(2)若存在直線l滿足條件,由題意可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1,由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.6分因?yàn)橹本€l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),所以8k(2k1)24·(34k2)·(16k216k8)>0.整理得32(6k3)>0,解得k>.9分又x1x2,x1x2,且·2,即(x12)(x22)(y11)(y21),所以(x12)(x22)(1k2),即x1x22(x1x2)4(1k2).11分所以2×4(1k2),解得k±.所以k.于是存在直線l滿足條件,其方程為yx.14分【突破思維障礙】直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點(diǎn)問題、相交弦問題及其他綜合問題反映在代數(shù)上,就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)的問題,它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用,當(dāng)直線與橢圓相交時(shí),要注意判別式大于零這一隱含條件,它可以用來檢驗(yàn)所求參數(shù)的值是否有意義,也可通過該不等式來求參數(shù)的范圍對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解,與向量相結(jié)合的題目,大都與共線、垂直和夾角有關(guān),若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更容易實(shí)現(xiàn)解題功能,所以在復(fù)習(xí)過程中要格外重視1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,除了直接根據(jù)定義外,常用待定系數(shù)法(先定性,后定型,再定參)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),可設(shè)方程為1 (m>0,n>0且mn),可以避免討論和繁雜的計(jì)算,也可以設(shè)為Ax2By21 (A>0,B>0且AB),這種形式在解題中更簡便2橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類:一是與坐標(biāo)軸無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì),如:長軸長、短軸長、焦距、離心率等;另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì),如:頂點(diǎn)坐標(biāo),焦點(diǎn)坐標(biāo)等第一類性質(zhì)是常數(shù),不因坐標(biāo)系的變化而變化,第二類性質(zhì)是隨坐標(biāo)系變化而相應(yīng)改變3直線與橢圓的位置關(guān)系問題它是高考的熱點(diǎn),通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法和直線的基礎(chǔ)知識(shí)、線段的中點(diǎn)、弦長、垂直問題等,分析此類問題時(shí),要充分利用數(shù)形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(4,0),ABC的周長為18,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_2已知橢圓1,長軸在y軸上,若焦距為4,則m_.3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若ABF2是等腰直角三角形,則這個(gè)橢圓的離心率為_4已知圓(x2)2y236的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_5(2011·無錫模擬)橢圓1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2,N是MF1的中點(diǎn),則ON_.6已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率為,且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為_7橢圓1的焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在橢圓上若PF14,則PF2_;F1PF2的大小為_8(2011·徐州模擬)如圖,已知點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓1 (a>b>0)上一點(diǎn),若PF1PF2,tanPF1F2,則此橢圓的離心率是_二、解答題(共42分)9(14分)(2011·常州模擬)已知方向向量為v(1,)的直線l過點(diǎn)(0,2)和橢圓C:1(a>b>0)的右焦點(diǎn),且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)若已知點(diǎn)D(3,0),點(diǎn)M,N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍10(14分)橢圓ax2by21與直線xy10相交于A,B兩點(diǎn),C是AB的中點(diǎn),若AB2,OC的斜率為,求橢圓的方程11(14分)(2010·福建)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于4?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由學(xué)案49橢圓答案自主梳理1橢圓焦點(diǎn)焦距(1)a>c(2)ac(3)a<c自我檢測1線段AB2.充要3.4.5.1課堂活動(dòng)區(qū)例1解如圖所示,設(shè)動(dòng)圓的圓心為C,半徑為r.則由圓相切的性質(zhì)知,CO11r,CO29r,CO1CO210,而O1O26,點(diǎn)C的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓,其中2a10,2c6,b4.動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1.變式遷移1解將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為:(x2)2y262,圓心B(2,0),r6.設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),動(dòng)圓與已知圓的切點(diǎn)為C.則BCMCBM,而BC6,BMCM6.又CMAM,BMAM6>AB4.點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)、A(2,0)為焦點(diǎn)、線段AB中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓a3,c2,b.所求軌跡方程為1.例2解題導(dǎo)引確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,必須要有一個(gè)定位條件(即確定焦點(diǎn)的位置)和兩個(gè)定形條件(即確定a,b的大小)當(dāng)焦點(diǎn)的位置不確定時(shí),應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>0)或1 (a>b>0),或者不必考慮焦點(diǎn)位置,直接設(shè)橢圓的方程為mx2ny21 (m>0,n>0,且mn)解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)方程為1 (a>b>0)橢圓過點(diǎn)A(3,0),1,a3,又2a3·2b,b1,方程為y21.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)方程為1 (a>b>0)橢圓過點(diǎn)A(3,0),1,b3,又2a3·2b,a9,方程為1.綜上可知橢圓的方程為y21或1.(2)設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2),B的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2ny21,將A,B坐標(biāo)代入方程得,所求橢圓方程為x21.變式遷移2解(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),a3,c,從而b2a2c2963,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),b3,a227.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21 (m>0,n>0且mn)橢圓經(jīng)過P1、P2點(diǎn),P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程,則兩式聯(lián)立,解得所求橢圓方程為1.例3解題導(dǎo)引(1)橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形,與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、PF1PF22a,得到a、c的關(guān)系(2)對(duì)F1PF2的處理方法(1)解設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0),PF1m,PF2n.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2m2n22mncos 60°.mn2a,m2n2(mn)22mn4a22mn.4c24a23mn,即3mn4a24c2.又mn2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào)),4a24c23a2.,即e.e的取值范圍是.(2)證明由(1)知mnb2,SPF1F2mnsin 60°b2,即PF1F2的面積只與短軸長有關(guān)變式遷移3解(1)F1(c,0),則xMc,yM,kOM.kAB,OMAB,bc,故e.(2)設(shè)F1Qr1,F(xiàn)2Qr2,F(xiàn)1QF2,r1r22a,F(xiàn)1F22c,cos 110,當(dāng)且僅當(dāng)r1r2時(shí),cos 0,0,課后練習(xí)區(qū)1.1 (y0)2.83.14.橢圓54解析連結(jié)MF2,已知MF12,又MF1MF210,故MF210MF18,如圖,ONMF24.6.1解析由已知得,2a12,a6,c3,b2a2c29.故橢圓方程為1.72120°解析由PF1PF26,且PF14,知PF22,在PF1F2中,cosF1PF2.F1PF2120°.8.解析由題得PF1F2為直角三角形,設(shè)PF1m,tanPF1F2,PF2,F(xiàn)1F2m,e.9解(1)直線l的方向向量為v(1,),直線l的斜率為k.又直線l過點(diǎn)(0,2),直線l的方程為y2x.a>b,橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)c2.又e,a.b2a2c22.橢圓方程為1.(6分)(2)若直線MNy軸,則M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn),或,即52或52.若MN與y軸不垂直,設(shè)直線MN的方程為xmy3(m0)由得(m23)y26my30.設(shè)M、N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1y2,y1y2,36m212(m23)24m236>0,m2>.(x13,y1),(x23,y2),顯然>0,且1,(x13,y1)(x23,y2)y1y2.代入,得210.m2>,得2<<10,即解得52<<52且1.綜上所述,的取值范圍是5252,且1.(14分)10解方法一設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),代入橢圓方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1,kOC,代入上式可得ba.(4分)由方程組,得(ab)x22bxb10,x1x2,x1x2,再由AB |x2x1|x2x1|2,得24·4,(10分)將ba代入得a,b.所求橢圓的方程是1.(14分)方法二由得(ab)x22bxb10.(2分)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則AB·.AB2,1.(6分)設(shè)C(x,y),則x,y1x,OC的斜率為,.(10分)代入,得a,b.橢圓方程為1.(14分)11解方法一(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0),且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2,所以b212,故橢圓C的方程為1.(5分)(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.(7分)因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn),所以(3t)24×3×(t212)0,解得4t4.(9分)另一方面,由直線OA與l的距離d4,得4,解得t±2.(12分)由于±24,4,所以符合題意的直線l不存在(14分)方法二(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0),且有解得b212或b23(舍去)從而a216.(3分)所以橢圓C的方程為1.(5分)(2)同方法一