新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 選修系列不等式選講

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.2.會(huì)用比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡(jiǎn)單的不等式自主梳理1證明不等式的常用方法(1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩種，其基本思想是_與0比較大小或_與1比較大小(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或_，經(jīng)過(guò)推理論證，最終指導(dǎo)出所要證明的不等式成立(3)分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的_條件，到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)(4)反證法反證法的定義

2、先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法反證法的特點(diǎn)先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾(5)放縮法定義：證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞或_以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立這種方法稱為放縮法思路：分析觀察證明式的特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵(6)數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)有關(guān)的不等式

3、可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明自我檢測(cè)1已知Ma2b2，Nabab1，則M，N的大小關(guān)系為_(kāi)2設(shè)xa2b25，y2aba24a，若xy，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為_(kāi)3若a0，b0，給出下列四個(gè)不等式：ab2；(ab)()4；ab；a2.其中正確的序號(hào)為_(kāi)4用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)(1)(1)(1)(k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)乘上_這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因子的個(gè)數(shù)是_5用數(shù)學(xué)歸納法證明()n(a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，nN)時(shí)，假設(shè)nk命題成立之后，證明nk1命題也成立的關(guān)鍵是_探究點(diǎn)一比較法證明不等式例1已知a0，b0，求證：.變式遷移1(2011福建)設(shè)不等式|2x1|b0，求證：0，求證： a2.探究點(diǎn)四

4、數(shù)學(xué)歸納法例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n2)變式遷移4用數(shù)學(xué)歸納法證明n1(nN*)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(10分)已知f(x)x2pxq.求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.多角度審題已知f(x)，要證f(1)f(3)2f(2)2，只需化簡(jiǎn)左邊式子，看是怎樣的形式，然后才能視情況而定如何證明求證|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于包括：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一個(gè)大于等于，其余兩個(gè)小于；三個(gè)中有2個(gè)大于等于，另一個(gè)小于；三個(gè)都大于等于.如果從正面證明，將有7種情況需要證明，非常繁雜，

5、可考慮用反證法證明【答題模板】證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2，f(1)f(3)2f(2)2.2分(2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|b，可以證ac且cb.其中c的確定是最困難的，要憑借對(duì)題意的分析和一定的解題經(jīng)驗(yàn)放縮法的常用措施：(1)舍去或加上一些項(xiàng)，如22；(2)將分子或分母放大(縮小)，如， (kN*且k1)等(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共42分)1已知a、b、mR且ab，則與的大小關(guān)系為_(kāi)2設(shè)aR且a0，以下四個(gè)式子中恒大于1的個(gè)數(shù)是_a31；a22a2；a；a2.3在下

6、列不等式中，一定成立的是_(填序號(hào))48aabba；a3a2a1；()m2.4如圖所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1”“0，求證：3a32b33a2b2ab2.10(12分)已知x，y，z均為正數(shù)，求證：.11(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明.學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明答案自主梳理1(1)差商(2)定理(3)充分(5)放大縮小自我檢測(cè)1MN解析MNa2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)“”成立MN.2ab1或a2解析由xy，得a2b252aba24a(ab1)2(a2)20，所以有

7、ab1或a2.3解析a0，b0，ab222；(ab)()44；，a2b2(ab)(ab).ab；a0，a0，恒成立4(1)(1)(1)2k1解析因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是(1)，最后一個(gè)是(1)，共有2k2k12k1項(xiàng)5兩邊同乘以解析要想辦法出現(xiàn)ak1bk1，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要求證的()k1.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引不等式左、右兩邊是多項(xiàng)式形式，可用作差或作商比較法，也可用分析法、綜合法證明()，又0，0，()20，()0.故.變式遷移1解由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1由和a，bM可知0a1,0b0，故ab1ab.例2解題導(dǎo)引本例不等式中的a、

8、b、c具有同等的地位，證明此類型不等式往往需要通過(guò)系數(shù)的變化，利用基本不等式進(jìn)行放縮，得到要證明的結(jié)論證明a、b、c均為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立；同理：，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立三個(gè)不等式相加即得，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立變式遷移2證明x是正實(shí)數(shù)，由基本不等式知，x12，1x22x，x312，故(x1)(x21)(x31)22x28x3 (當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立)例3解題導(dǎo)引當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜，已知條件信息量太少，已知與待證間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可采用分析法分析法是步步尋求不等式成立的充分條件，而實(shí)際操作時(shí)往往是先從要證的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的必要條件，再

9、考慮這個(gè)必要條件是否充分，這種“逆求”過(guò)程能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，也是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)常用的思考方法證明欲證，只需證b0，只需證，即1.欲證1，只需證2，即.該式顯然成立欲證1，只需證2，即.該式顯然成立1成立，且以上各步均可逆0，只需證22，從而只要證2 ，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立例4解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)nk1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用在證明過(guò)程中，常常利用不等式的傳遞性對(duì)式子放縮，建立關(guān)系證明(1)當(dāng)n2時(shí)，0，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2)時(shí)，原不等式成立即，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊.當(dāng)nk1時(shí)

10、，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式對(duì)n2的所有的自然數(shù)都成立，即(n2)變式遷移4證明(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然命題成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)，原不等式成立即k1，k2k(k1)2.則當(dāng)nk1時(shí)，左邊k2(k1)1.(k1)1.當(dāng)nk1時(shí)，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式對(duì)nN*成立即解析0，.21解析只有a221.3解析取ab1，顯然有444161，4884，不成立；abab，當(dāng)ab0時(shí)，ab1，不一定成立；a3a2a1(a1)(a21)，當(dāng)a1時(shí)，不成立；()272，2(2)272，又m2m21，()m25P，所以(1)(3)錯(cuò)誤由放縮法易知必介于a，b之間，所以說(shuō)法(2)正確又

11、，所以說(shuō)法(4)正確7(1，)解析a3b3a2b2(ab)，a2abb2ab，(ab)2abab，ab(ab)2(ab)，又0ab()2，0(ab)2(ab)()2，解之得1ab0，所以ab0,3a22b20，(10分)從而(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2.(12分)10證明因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)，所以，(3分)同理可得，(6分)當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，以上三式等號(hào)都成立，將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得.(12分)11證明(1)當(dāng)n1時(shí)，1，命題成立(2分)(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立(10分)綜合(1)(2)，得對(duì)一切正整數(shù)n，不等式都成立(12分)