新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 選修系列不等式選講

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.2.會(huì)用比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡單的不等式自主梳理1證明不等式的常用方法(1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩種，其基本思想是_與0比較大小或_與1比較大小(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或_，經(jīng)過推理論證，最終指導(dǎo)出所要證明的不等式成立(3)分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的_條件，到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)(4)反證法反證法的定義先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法反證法的特點(diǎn)先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾(5)放縮法定義：證明不等式時(shí)，通過把不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞或_以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立這種方法稱為放縮法思路：分析觀察證明式的特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵(6)數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明自我檢測1已知Ma2b2，Nabab1，則M，N的大小關(guān)系為_2設(shè)xa2b25，y2aba24a，若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為_3若a>0，b>0，給出下列四個(gè)不等式：ab2；(ab)()4；ab；a2.其中正確的序號(hào)為_4用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)(1)(1)(1)>(k>1)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)乘上_這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因子的個(gè)數(shù)是_5用數(shù)學(xué)歸納法證明()n(a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，nN)時(shí)，假設(shè)nk命題成立之后，證明nk1命題也成立的關(guān)鍵是_探究點(diǎn)一比較法證明不等式例1已知a>0，b>0，求證：.變式遷移1(2011·福建)設(shè)不等式|2x1|<1的解集為M.求集合M；若a，bM，試比較ab1與ab的大小探究點(diǎn)二用綜合法證明不等式例2設(shè)a、b、c均為正數(shù)，求證：.變式遷移2設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：(x1)(x21)(x31)8x3.探究點(diǎn)三用分析法證明不等式例3已知a>b>0，求證：<<.變式遷移3已知a>0，求證： a2.探究點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：>(n2)變式遷移4用數(shù)學(xué)歸納法證明<n1(nN*)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(10分)已知f(x)x2pxq.求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.多角度審題已知f(x)，要證f(1)f(3)2f(2)2，只需化簡左邊式子，看是怎樣的形式，然后才能視情況而定如何證明求證|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于包括：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一個(gè)大于等于，其余兩個(gè)小于；三個(gè)中有2個(gè)大于等于，另一個(gè)小于；三個(gè)都大于等于.如果從正面證明，將有7種情況需要證明，非常繁雜，可考慮用反證法證明【答題模板】證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2，f(1)f(3)2f(2)2.2分(2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|<2，4分而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|2，與假設(shè)矛盾9分|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.10分【突破思維障礙】根據(jù)正難則反的證明原則，|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一個(gè)不小于的反面為|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，所以用反證法證明只有一種情況，如果這一種情況不成立，則原命題成立【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在證明(2)中如果不知道用反證法證，而是從正面分七種情況證明，往往會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的失誤1證明不等式的常用方法有六種，即比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法，重點(diǎn)是前四種方法2比較法是證明不等式的一個(gè)最基本，最常用的方法當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)，一般使用作差比較法；當(dāng)被證的不等式(或變形后)的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，一般使用作商比較法3分析法執(zhí)果索因，利于思考；綜合法由因?qū)Ч擞诒磉_(dá)，適合人們的思維習(xí)慣，凡是能用分析法證明的不等式，一般可以用綜合法證明因此，我們做題時(shí)，通常先用分析法探求證題途徑，在解答問題時(shí)用綜合法書寫4放縮法就是利用不等式的傳遞性的方法，即要證a>b，可以證a>c且c>b.其中c的確定是最困難的，要憑借對題意的分析和一定的解題經(jīng)驗(yàn)放縮法的常用措施：(1)舍去或加上一些項(xiàng)，如2>2；(2)將分子或分母放大(縮小)，如<，>，<，> (kN*且k>1)等(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共42分)1已知a、b、mR且a>b，則與的大小關(guān)系為_2設(shè)aR且a0，以下四個(gè)式子中恒大于1的個(gè)數(shù)是_a31；a22a2；a；a2.3在下列不等式中，一定成立的是_(填序號(hào))48a<84b；aabb>abba；a3>a2a1；()m2<.4如圖所示，矩形OPAQ中，a1<a2，b1<b2，則陰影部分的矩形的面積之和_空白部分的矩形的面積之和(填“>”“<”或“”)5已知P，Q，則P、Q的大小關(guān)系為_6有一臺(tái)天平，兩臂長略有差異，其他均精確現(xiàn)將一物體A分別放在左、右托盤內(nèi)各稱一次，稱得的結(jié)果分別為a克和b克，關(guān)于物體A的質(zhì)量，有下列一些說法：(1)物體A的質(zhì)量是克；(2)物體A的質(zhì)量介于a克與b克之間；(3)物體A的質(zhì)量大于克；(4)物體A的質(zhì)量大于克其中正確的說法是_(將滿足題意的所有序號(hào)填在題中橫線上)7設(shè)兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b滿足a3b3a2b2，則ab的取值范圍是_二、解答題(共48分)8(12分)若ab1，求證： 2.9(12分)(2009·江蘇)設(shè)ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2.10(12分)已知x，y，z均為正數(shù)，求證：.11(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明>.學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明答案自主梳理1(1)差商(2)定理(3)充分(5)放大縮小自我檢測1MN解析MNa2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)“”成立MN.2ab1或a2解析由x>y，得a2b252aba24a(ab1)2(a2)2>0，所以有ab1或a2.3解析a>0，b>0，ab22·2；(ab)()44；，a2b2(ab)·(ab).ab；a>0，a>0，恒成立4(1)(1)(1)2k1解析因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是(1)，最后一個(gè)是(1)，共有2k2k12k1項(xiàng)5兩邊同乘以解析要想辦法出現(xiàn)ak1bk1，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要求證的()k1.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引不等式左、右兩邊是多項(xiàng)式形式，可用作差或作商比較法，也可用分析法、綜合法證明()，又>0，>0，()20，()0.故.變式遷移1解由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1，所以Mx|0<x<1由和a，bM可知0<a<1,0<b<1.所以(ab1)(ab)(a1)(b1)>0，故ab1>ab.例2解題導(dǎo)引本例不等式中的a、b、c具有同等的地位，證明此類型不等式往往需要通過系數(shù)的變化，利用基本不等式進(jìn)行放縮，得到要證明的結(jié)論證明a、b、c均為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立；同理：，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立三個(gè)不等式相加即得，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立變式遷移2證明x是正實(shí)數(shù)，由基本不等式知，x12，1x22x，x312，故(x1)(x21)(x31)2·2x·28x3 (當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立)例3解題導(dǎo)引當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜，已知條件信息量太少，已知與待證間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可采用分析法分析法是步步尋求不等式成立的充分條件，而實(shí)際操作時(shí)往往是先從要證的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的必要條件，再考慮這個(gè)必要條件是否充分，這種“逆求”過程能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，也是分析問題、解決問題時(shí)常用的思考方法證明欲證<<，只需證<<.a>b>0，只需證<<，即<1<.欲證<1，只需證<2，即<.該式顯然成立欲證1<，只需證2<，即<.該式顯然成立<1<成立，且以上各步均可逆<<成立變式遷移3證明要證 a2，只需證 2a，a>0，只需證22，從而只要證2 ，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立例4解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)nk1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用在證明過程中，常常利用不等式的傳遞性對式子放縮，建立關(guān)系證明(1)當(dāng)n2時(shí)，>0，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2)時(shí)，原不等式成立即>，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊>>.當(dāng)nk1時(shí)，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式對n2的所有的自然數(shù)都成立，即>(n2)變式遷移4證明(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然命題成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)，原不等式成立即<k1，k2k<(k1)2.則當(dāng)nk1時(shí)，左邊<<k2(k1)1.<(k1)1.當(dāng)nk1時(shí)，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式對nN*成立即<n1.課后練習(xí)區(qū)1.>解析>0，>.21解析只有a22>1.3解析取ab1，顯然有4·4416>1，48>84，不成立；a·bab，當(dāng)a<b<0時(shí)，ab<1，不一定成立；a3a2a1(a1)(a21)，當(dāng)a<1時(shí)，不成立；()272，2(2)272，<，又m2<m21，()m2<，故正確4>5P<Q解析將P、Q平方，比較大小6(2)(4)解析設(shè)物體A的質(zhì)量為x克，天平左臂長m，右臂長n，則由題設(shè)，得mxna，mbnx.從而，由兩式相除，得，即x.若ab，則由兩式相乘，得m2bxn2ax，即mn，這與題設(shè)中“兩臂長略有差異”相矛盾于是，必有ab，從而>，所以(1)(3)錯(cuò)誤由放縮法易知必介于a，b之間，所以說法(2)正確又<，所以說法(4)正確7(1，)解析a3b3a2b2(ab)，a2abb2ab，(ab)2abab，ab(ab)2(ab)，又0<ab<()2，0<(ab)2(ab)<()2，解之得1<ab<.8證明要證 2成立，即證( )24，(2分)即證ab12( ·)4，(4分)ab1，故就是證 · 1，(6分)即證ab(ab)1，即證ab，(8分)只需證ab()2，也就是證2aba2b2，這是顯然成立的，故原不等式成立(12分)9證明3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)(8分)因?yàn)閍b>0，所以ab0,3a22b2>0，(10分)從而(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2.(12分)10證明因?yàn)閤，y，z均為正數(shù)，所以，(3分)同理可得，(6分)當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，以上三式等號(hào)都成立，將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得.(12分)11證明(1)當(dāng)n1時(shí)，>1，命題成立(2分)(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即>.則當(dāng)nk1時(shí)，>>(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立(10分)綜合(1)(2)，得對一切正整數(shù)n，不等式都成立(12分)