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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 選修系列不等式選講

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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 選修系列不等式選講

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.2.會(huì)用比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡單的不等式自主梳理1證明不等式的常用方法(1)比較法:比較法是證明不等式最基本的方法,具體有作差比較和作商比較兩種,其基本思想是_與0比較大小或_與1比較大小(2)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或_,經(jīng)過推理論證,最終指導(dǎo)出所要證明的不等式成立(3)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的_條件,到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)(4)反證法反證法的定義先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,我們把它稱為反證法反證法的特點(diǎn)先假設(shè)原命題不成立,再在正確的推理下得出矛盾,這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾(5)放縮法定義:證明不等式時(shí),通過把不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞或_以利于化簡,并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立這種方法稱為放縮法思路:分析觀察證明式的特點(diǎn),適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵(6)數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明自我檢測1已知Ma2b2,Nabab1,則M,N的大小關(guān)系為_2設(shè)xa2b25,y2aba24a,若x>y,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件為_3若a>0,b>0,給出下列四個(gè)不等式:ab2;(ab)()4;ab;a2.其中正確的序號(hào)為_4用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)(1)(1)(1)>(k>1),則當(dāng)nk1時(shí),左端應(yīng)乘上_這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因子的個(gè)數(shù)是_5用數(shù)學(xué)歸納法證明()n(a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),nN)時(shí),假設(shè)nk命題成立之后,證明nk1命題也成立的關(guān)鍵是_探究點(diǎn)一比較法證明不等式例1已知a>0,b>0,求證:.變式遷移1(2011·福建)設(shè)不等式|2x1|<1的解集為M.求集合M;若a,bM,試比較ab1與ab的大小探究點(diǎn)二用綜合法證明不等式例2設(shè)a、b、c均為正數(shù),求證:.變式遷移2設(shè)x是正實(shí)數(shù),求證:(x1)(x21)(x31)8x3.探究點(diǎn)三用分析法證明不等式例3已知a>b>0,求證:<<.變式遷移3已知a>0,求證: a2.探究點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法例4用數(shù)學(xué)歸納法證明:>(n2)變式遷移4用數(shù)學(xué)歸納法證明<n1(nN*)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(10分)已知f(x)x2pxq.求證:(1)f(1)f(3)2f(2)2;(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.多角度審題已知f(x),要證f(1)f(3)2f(2)2,只需化簡左邊式子,看是怎樣的形式,然后才能視情況而定如何證明求證|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于包括:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一個(gè)大于等于,其余兩個(gè)小于;三個(gè)中有2個(gè)大于等于,另一個(gè)小于;三個(gè)都大于等于.如果從正面證明,將有7種情況需要證明,非常繁雜,可考慮用反證法證明【答題模板】證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2,f(1)f(3)2f(2)2.2分(2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,則|f(1)|2|f(2)|f(3)|<2,4分而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|2,與假設(shè)矛盾9分|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.10分【突破思維障礙】根據(jù)正難則反的證明原則,|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一個(gè)不小于的反面為|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,所以用反證法證明只有一種情況,如果這一種情況不成立,則原命題成立【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在證明(2)中如果不知道用反證法證,而是從正面分七種情況證明,往往會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的失誤1證明不等式的常用方法有六種,即比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法,重點(diǎn)是前四種方法2比較法是證明不等式的一個(gè)最基本,最常用的方法當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí),一般使用作差比較法;當(dāng)被證的不等式(或變形后)的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí),一般使用作商比較法3分析法執(zhí)果索因,利于思考;綜合法由因?qū)Ч擞诒磉_(dá),適合人們的思維習(xí)慣,凡是能用分析法證明的不等式,一般可以用綜合法證明因此,我們做題時(shí),通常先用分析法探求證題途徑,在解答問題時(shí)用綜合法書寫4放縮法就是利用不等式的傳遞性的方法,即要證a>b,可以證a>c且c>b.其中c的確定是最困難的,要憑借對題意的分析和一定的解題經(jīng)驗(yàn)放縮法的常用措施:(1)舍去或加上一些項(xiàng),如2>2;(2)將分子或分母放大(縮小),如<,>,<,> (kN*且k>1)等(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共42分)1已知a、b、mR且a>b,則與的大小關(guān)系為_2設(shè)aR且a0,以下四個(gè)式子中恒大于1的個(gè)數(shù)是_a31;a22a2;a;a2.3在下列不等式中,一定成立的是_(填序號(hào))48a<84b;aabb>abba;a3>a2a1;()m2<.4如圖所示,矩形OPAQ中,a1<a2,b1<b2,則陰影部分的矩形的面積之和_空白部分的矩形的面積之和(填“>”“<”或“”)5已知P,Q,則P、Q的大小關(guān)系為_6有一臺(tái)天平,兩臂長略有差異,其他均精確現(xiàn)將一物體A分別放在左、右托盤內(nèi)各稱一次,稱得的結(jié)果分別為a克和b克,關(guān)于物體A的質(zhì)量,有下列一些說法:(1)物體A的質(zhì)量是克;(2)物體A的質(zhì)量介于a克與b克之間;(3)物體A的質(zhì)量大于克;(4)物體A的質(zhì)量大于克其中正確的說法是_(將滿足題意的所有序號(hào)填在題中橫線上)7設(shè)兩個(gè)不相等的正數(shù)a,b滿足a3b3a2b2,則ab的取值范圍是_二、解答題(共48分)8(12分)若ab1,求證: 2.9(12分)(2009·江蘇)設(shè)ab>0,求證:3a32b33a2b2ab2.10(12分)已知x,y,z均為正數(shù),求證:.11(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明>.學(xué)案75不等式選講(二)不等式的證明答案自主梳理1(1)差商(2)定理(3)充分(5)放大縮小自我檢測1MN解析MNa2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20,當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)“”成立MN.2ab1或a2解析由x>y,得a2b252aba24a(ab1)2(a2)2>0,所以有ab1或a2.3解析a>0,b>0,ab22·2;(ab)()44;,a2b2(ab)·(ab).ab;a>0,a>0,恒成立4(1)(1)(1)2k1解析因?yàn)榉帜傅墓顬?,所以乘上去的第一個(gè)因式是(1),最后一個(gè)是(1),共有2k2k12k1項(xiàng)5兩邊同乘以解析要想辦法出現(xiàn)ak1bk1,兩邊同乘以,右邊也出現(xiàn)了要求證的()k1.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引不等式左、右兩邊是多項(xiàng)式形式,可用作差或作商比較法,也可用分析法、綜合法證明(),又>0,>0,()20,()0.故.變式遷移1解由|2x1|<1得1<2x1<1,解得0<x<1,所以Mx|0<x<1由和a,bM可知0<a<1,0<b<1.所以(ab1)(ab)(a1)(b1)>0,故ab1>ab.例2解題導(dǎo)引本例不等式中的a、b、c具有同等的地位,證明此類型不等式往往需要通過系數(shù)的變化,利用基本不等式進(jìn)行放縮,得到要證明的結(jié)論證明a、b、c均為正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立;同理:,當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立;,當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立三個(gè)不等式相加即得,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立變式遷移2證明x是正實(shí)數(shù),由基本不等式知,x12,1x22x,x312,故(x1)(x21)(x31)2·2x·28x3 (當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立)例3解題導(dǎo)引當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜,已知條件信息量太少,已知與待證間的聯(lián)系不明顯時(shí),一般可采用分析法分析法是步步尋求不等式成立的充分條件,而實(shí)際操作時(shí)往往是先從要證的不等式出發(fā),尋找使不等式成立的必要條件,再考慮這個(gè)必要條件是否充分,這種“逆求”過程能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力,也是分析問題、解決問題時(shí)常用的思考方法證明欲證<<,只需證<<.a>b>0,只需證<<,即<1<.欲證<1,只需證<2,即<.該式顯然成立欲證1<,只需證2<,即<.該式顯然成立<1<成立,且以上各步均可逆<<成立變式遷移3證明要證 a2,只需證 2a,a>0,只需證22,從而只要證2 ,只要證42,即a22,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立例4解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,推導(dǎo)nk1也成立時(shí),證明不等式的常用方法,如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用在證明過程中,常常利用不等式的傳遞性對式子放縮,建立關(guān)系證明(1)當(dāng)n2時(shí),>0,不等式成立(2)假設(shè)nk(k2)時(shí),原不等式成立即>,則當(dāng)nk1時(shí),左邊>>.當(dāng)nk1時(shí),原不等式成立由(1)(2)知,原不等式對n2的所有的自然數(shù)都成立,即>(n2)變式遷移4證明(1)當(dāng)n1時(shí),顯然命題成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí),原不等式成立即<k1,k2k<(k1)2.則當(dāng)nk1時(shí),左邊<<k2(k1)1.<(k1)1.當(dāng)nk1時(shí),原不等式成立由(1)(2)知,原不等式對nN*成立即<n1.課后練習(xí)區(qū)1.>解析>0,>.21解析只有a22>1.3解析取ab1,顯然有4·4416>1,48>84,不成立;a·bab,當(dāng)a<b<0時(shí),ab<1,不一定成立;a3a2a1(a1)(a21),當(dāng)a<1時(shí),不成立;()272,2(2)272,<,又m2<m21,()m2<,故正確4>5P<Q解析將P、Q平方,比較大小6(2)(4)解析設(shè)物體A的質(zhì)量為x克,天平左臂長m,右臂長n,則由題設(shè),得mxna,mbnx.從而,由兩式相除,得,即x.若ab,則由兩式相乘,得m2bxn2ax,即mn,這與題設(shè)中“兩臂長略有差異”相矛盾于是,必有ab,從而>,所以(1)(3)錯(cuò)誤由放縮法易知必介于a,b之間,所以說法(2)正確又<,所以說法(4)正確7(1,)解析a3b3a2b2(ab),a2abb2ab,(ab)2abab,ab(ab)2(ab),又0<ab<()2,0<(ab)2(ab)<()2,解之得1<ab<.8證明要證 2成立,即證( )24,(2分)即證ab12( ·)4,(4分)ab1,故就是證 · 1,(6分)即證ab(ab)1,即證ab,(8分)只需證ab()2,也就是證2aba2b2,這是顯然成立的,故原不等式成立(12分)9證明3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)(8分)因?yàn)閍b>0,所以ab0,3a22b2>0,(10分)從而(3a22b2)(ab)0,即3a32b33a2b2ab2.(12分)10證明因?yàn)閤,y,z均為正數(shù),所以,(3分)同理可得,(6分)當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí),以上三式等號(hào)都成立,將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,得.(12分)11證明(1)當(dāng)n1時(shí),>1,命題成立(2分)(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立,即>.則當(dāng)nk1時(shí),>>(k1),即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立(10分)綜合(1)(2),得對一切正整數(shù)n,不等式都成立(12分)

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