新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和 考點一等差數(shù)列的判定與證明 來源:例1已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項和最小項，并說明理由自主解答(1)證明：an2(n2，nN*)，bn，bn1bn1.又b1，數(shù)列bn是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知bnn，則an11.設(shè)f(x)1，則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)，當(dāng)n3時，an取得最小值1，當(dāng)n4時，an取得最大值3.【方法規(guī)律】等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項法：驗證2

2、an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通項公式法：驗證anpnq；(4)前n項和公式法：驗證SnAn2Bn.注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷若數(shù)列an滿足an2an12n1(nN*，n2)，a327.(1)求a1，a2的值；(2)記bn(ant)(nN*)，是否存在一個實數(shù)t，使數(shù)列bn為等差數(shù)列？若存在，求出實數(shù)t；若不存在，請說明理由解：(1)由a327,272a2231，得a29，由92a1221，得a12.(2)假設(shè)存在實數(shù)t，使得bn為等差數(shù)列則2b2b1b3，即2(9t)(2t)(27t)，t1.bn(

3、an1)bnbn1(an1)(an11)(2an12n11)(an11)an11an11.存在一個實數(shù)t1，使數(shù)列bn為等差數(shù)列高頻考點考點二 等差數(shù)列基本量的計算1等差數(shù)列基本量的計算是高考的常考內(nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題或解答題的第(1)問中，屬容易題2高考對等差數(shù)列基本量計算的考查常有以下幾個命題角度：(1)化基本量求公差d或項數(shù)n；(2)化基本量求通項；(3)化基本量求特定項；(4)化基本量求前n項和例2(1)(2012福建高考)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A1 B2 C3 D4(2)(2013安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S84a3，a7

4、2，則a9()A6 B4 C2 D2(3)(2013新課標(biāo)全國卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m()A3 B4 C5 D6(4)(2012廣東高考)已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_.自主解答(1)法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則即解得d2.法二：由等差中項的性質(zhì)知，a35，又a47，公差da4a3752.(2)由等差數(shù)列前n項和公式知S84(a1a8)4(a7a2)，又S84a3，4(a7a2)4a3，2a2a3，公差d2.a9a72d6.(3)法一：Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，

5、由Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5.法二：數(shù)列an為等差數(shù)列，且前n項和為Sn，數(shù)列也為等差數(shù)列，即0，解得m5.經(jīng)檢驗為原方程的解(4)由a3a4，得到12d(1d)24，即d24，因為an是遞增的等差數(shù)列，所以d2，故an2n1.答案(1)B(2)A(3)C(4)2n1等差數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略(1)化基本量求公差d或項數(shù)n.通項公式和前n項和公式是解決此類問題的基礎(chǔ)和核心，在求解時，一般要運用方程思想(2)化基本量求通項a1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素，只要把它們求出來，其余的元素便可以求出(3)化基本量求特定項利用通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解(4)化基本量求

6、前n項和直接將基本量代入前n項和公式求解，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解來源:1記等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若a1，S420，則S6()A16 B24 C36 D48解析：選D設(shè)公差為d，由得則故S66348.來源:2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差為()A. B1 C2 D3解析：選CSn，由1，得1，即a3a22，數(shù)列an的公差為2.3已知數(shù)列an中，a12，當(dāng)n2時，an，則數(shù)列an的通項公式為_解析：當(dāng)n2時，an1，兩邊取倒數(shù)，得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以(n1)1(n1)，所以an(nN*)答案：an(nN*)考點三等差數(shù)列的性質(zhì) 例

7、3(1)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項和S11()A58 B88 C143 D176(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn324(n6)，求數(shù)列an的項數(shù)及a9a10.自主解答(1)S1188.(2)由題意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.a1an36，n18，a1a1836，從而a9a10a1a1836.答案(1)B【方法規(guī)律】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(1)在等差數(shù)列an中，若mnpq2k，則

8、amanapaq2ak是常用的性質(zhì)，本例(1)(2)都用到了這個性質(zhì)(2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認真分析項數(shù)、序號、項的值的特征，這是解題的突破口1已知等差數(shù)列an的公差為2，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15，所有偶數(shù)項之和為25，則這個數(shù)列的項數(shù)為()A10 B20 C30 D40解析：選A設(shè)這個數(shù)列有2n項，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項之和等于nd，即25152n，故2n10，即數(shù)列的項數(shù)為10.2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.解析：S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，且S1010，S2

9、030，S20S1020，S30301021030，S3060.答案：60考點四等差數(shù)列前n項和的最值 例4已知在等差數(shù)列an中，a131，Sn是它的前n項的和，S10S22.(1)求Sn；(2)這個數(shù)列前多少項的和最大？并求出這個最大值自主解答(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，又S10S22，a11a12a220，即0，即a11a222a131d0.又a131，d2.Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法一：由(1)知，Sn32nn2(n16)2256，當(dāng)n16時，Sn有最大值256.法二：由(1)知，令(nN*)，解得n，nN*，n16時，Sn有最大值256.【互

10、動探究】若將本例中的“S10S22”改為“S10S15”，則該數(shù)列的前多少項的和最大？解：S10S15，a11a12a13a14a150，即5a130，a130.又此等差數(shù)列首項為正，當(dāng)n12或13時，Sn有最大值 【方法規(guī)律】求等差數(shù)列前n項和的最值的方法(1)運用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解(2)通項公式法：求使an0(an0)成立時最大的n值即可一般地，等差數(shù)列an中，若a10，且SpSq(pq)，則若pq為偶數(shù)，則當(dāng)n時，Sn最大；若pq為奇數(shù)，則當(dāng)n或n時，Sn最大已知等差數(shù)列an中，Sn為前n項和，a312，且S120，S130.(1

11、)求公差d的取值范圍；(2)前幾項和最大？并說明理由解：(1)因為a3a12d12，所以a1122d，所以即解得d3.故公差d的取值范圍為.(2)法一：前6項和最大由d0可知an為遞減數(shù)列，因此，在1n12中，必存在一個自然數(shù)n，使得an0，an10，此時對應(yīng)的Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于于是a70，因此S6最大法二：前6項和最大由d0可知an是遞減數(shù)列，令可得來源:由于d3，可得所以5.5n0，d0，則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；若a10，則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.4種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法；(2)等差中項法；(3)通項公式法；(4)前n項和公式法