新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和突破熱點(diǎn)題型

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 考點(diǎn)一等差數(shù)列的判定與證明 來源:例1已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由自主解答(1)證明：an2(n2，nN*)，bn，bn1bn1.又b1，數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知bnn，則an11.設(shè)f(x)1，則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)，當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1，當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.【方法規(guī)律】等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證anpnq；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證SnAn2Bn.注意：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷若數(shù)列an滿足an2an12n1(nN*，n2)，a327.(1)求a1，a2的值；(2)記bn(ant)(nN*)，是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使數(shù)列bn為等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)由a327,272a2231，得a29，由92a1221，得a12.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得bn為等差數(shù)列則2b2b1b3，即2×(9t)(2t)(27t)，t1.bn(an1)bnbn1(an1)(an11)(2an12n11)(an11)an11an11.存在一個(gè)實(shí)數(shù)t1，使數(shù)列bn為等差數(shù)列高頻考點(diǎn)考點(diǎn)二 等差數(shù)列基本量的計(jì)算1等差數(shù)列基本量的計(jì)算是高考的?？純?nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題或解答題的第(1)問中，屬容易題2高考對(duì)等差數(shù)列基本量計(jì)算的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)化基本量求公差d或項(xiàng)數(shù)n；(2)化基本量求通項(xiàng)；(3)化基本量求特定項(xiàng)；(4)化基本量求前n項(xiàng)和例2(1)(2012·福建高考)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A1 B2 C3 D4(2)(2013·安徽高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9()A6 B4 C2 D2(3)(2013·新課標(biāo)全國卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m()A3 B4 C5 D6(4)(2012·廣東高考)已知遞增的等差數(shù)列an滿足a11，a3a4，則an_.自主解答(1)法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則即解得d2.法二：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知，a35，又a47，公差da4a3752.(2)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知S84(a1a8)4(a7a2)，又S84a3，4(a7a2)4a3，2a2a3，公差d2.a9a72d6.(3)法一：Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，由Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5.法二：數(shù)列an為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列也為等差數(shù)列，即0，解得m5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解(4)由a3a4，得到12d(1d)24，即d24，因?yàn)閍n是遞增的等差數(shù)列，所以d2，故an2n1.答案(1)B(2)A(3)C(4)2n1等差數(shù)列基本量運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)化基本量求公差d或項(xiàng)數(shù)n.通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是解決此類問題的基礎(chǔ)和核心，在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想(2)化基本量求通項(xiàng)a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素，只要把它們求出來，其余的元素便可以求出(3)化基本量求特定項(xiàng)利用通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解(4)化基本量求前n項(xiàng)和直接將基本量代入前n項(xiàng)和公式求解，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解來源:1記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a1，S420，則S6()A16 B24 C36 D48解析：選D設(shè)公差為d，由得則故S66××348.來源:2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差為()A. B1 C2 D3解析：選CSn，由1，得1，即a3a22，數(shù)列an的公差為2.3已知數(shù)列an中，a12，當(dāng)n2時(shí)，an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：當(dāng)n2時(shí)，an1，兩邊取倒數(shù)，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以(n1)1(n1)，所以an(nN*)答案：an(nN*)考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì) 例3(1)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11()A58 B88 C143 D176(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn324(n>6)，求數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)及a9a10.自主解答(1)S1188.(2)由題意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.a1an36，n18，a1a1836，從而a9a10a1a1836.答案(1)B【方法規(guī)律】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)在等差數(shù)列an中，若mnpq2k，則amanapaq2ak是常用的性質(zhì)，本例(1)(2)都用到了這個(gè)性質(zhì)(2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征，這是解題的突破口1已知等差數(shù)列an的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A10 B20 C30 D40解析：選A設(shè)這個(gè)數(shù)列有2n項(xiàng)，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和等于nd，即25152n，故2n10，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10.2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.解析：S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，且S1010，S2030，S20S1020，S3030102×1030，S3060.答案：60考點(diǎn)四等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 例4已知在等差數(shù)列an中，a131，Sn是它的前n項(xiàng)的和，S10S22.(1)求Sn；(2)這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值自主解答(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，又S10S22，a11a12a220，即0，即a11a222a131d0.又a131，d2.Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法一：由(1)知，Sn32nn2(n16)2256，當(dāng)n16時(shí)，Sn有最大值256.法二：由(1)知，令(nN*)，解得n，nN*，n16時(shí)，Sn有最大值256.【互動(dòng)探究】若將本例中的“S10S22”改為“S10S15”，則該數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大？解：S10S15，a11a12a13a14a150，即5a130，a130.又此等差數(shù)列首項(xiàng)為正，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值 【方法規(guī)律】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法(1)運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解(2)通項(xiàng)公式法：求使an0(an0)成立時(shí)最大的n值即可一般地，等差數(shù)列an中，若a1>0，且SpSq(pq)，則若pq為偶數(shù)，則當(dāng)n時(shí)，Sn最大；若pq為奇數(shù)，則當(dāng)n或n時(shí)，Sn最大已知等差數(shù)列an中，Sn為前n項(xiàng)和，a312，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范圍；(2)前幾項(xiàng)和最大？并說明理由解：(1)因?yàn)閍3a12d12，所以a1122d，所以即解得<d<3.故公差d的取值范圍為.(2)法一：前6項(xiàng)和最大由d<0可知an為遞減數(shù)列，因此，在1n12中，必存在一個(gè)自然數(shù)n，使得an0，an1<0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于于是a7<0，從而a6>0，因此S6最大法二：前6項(xiàng)和最大由d<0可知an是遞減數(shù)列，令可得來源:由于<d<3，可得所以5.5<n<7，故n6，即S6最大課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)技巧利用等差數(shù)列的性質(zhì)妙設(shè)項(xiàng)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項(xiàng)為ad，a，ad；若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項(xiàng)為ad，ad，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元來源:2種選擇等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的選擇等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩個(gè)，如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an，則利用Sn，該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用；如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和公差d，則利用Snna1，在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問題時(shí)，有時(shí)會(huì)和通項(xiàng)公式結(jié)合使用3個(gè)結(jié)論等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的三個(gè)結(jié)論(1)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(2)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1，則S2n1(2n1)an1；.(3)在等差數(shù)列an中，若a1>0，d<0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，則滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.4種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法；(2)等差中項(xiàng)法；(3)通項(xiàng)公式法；(4)前n項(xiàng)和公式法