新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第4章學(xué)案20

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案20兩角和與差的正弦、余弦和正切公式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會(huì)用向量數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應(yīng)用自主梳理1(1)兩角和與差的余弦cos()_，cos()_.(2)兩角和與差的正弦sin()_，sin()_.(3)兩角和與差的正切tan()_，tan()_.(，均不等于k，kZ)其變形為：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )2輔助角公式asin bcos sin()，其中

2、角稱為輔助角自我檢測(cè)1cos 43cos 77sin 43cos 167的值為_2已知tan()3，tan()5，則tan 2_.3cossin_.4(1tan 17)(1tan 18)(1tan 27)(1tan 28)的值是_5已知cossin ，則sin的值是_探究點(diǎn)一給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值)例1求值：(1)2sin 50sin 10(1tan 10)；(2)sin(75)cos(45)cos(15)變式遷移1求值：(1)；(2)tan()tan()tan()tan()探究點(diǎn)二給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值)例2已知0，cos，sin，求sin()

3、的值變式遷移2(2010廣州高三二模)已知tan2，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值探究點(diǎn)三給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值)例3已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值變式遷移3若sin A，sin B，且A、B均為鈍角，求AB的值轉(zhuǎn)化與化歸思想例(14分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，且sin ，求sin 的值【答題模板】解(1)|ab|，a22abb2.2分又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a2b21，abcos cos sin sin co

4、s()，4分故cos().7分(2)0，0.cos()，sin().9分又sin ，0，cos .11分故sin sin()sin()cos cos()sin .14分【突破思維障礙】本題是三角函數(shù)問題與向量的綜合題，唯一一個(gè)等式條件|ab|，必須從這個(gè)等式出發(fā)，利用向量知識(shí)化簡(jiǎn)再結(jié)合兩角差的余弦公式可求第(1)問，在第(2)問中需要把未知角向已知角轉(zhuǎn)化再利用角的范圍來求，即將變?yōu)?).本節(jié)主要應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，即異角化同角未知角向已知角轉(zhuǎn)化，非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】|ab|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯(cuò)點(diǎn)，把未知角轉(zhuǎn)化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號(hào)也是易錯(cuò)點(diǎn)1轉(zhuǎn)化思想是

5、實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換2變換則必須熟悉公式分清和掌握哪些公式會(huì)實(shí)現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個(gè)公式的相互聯(lián)系和適用條件3恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化4基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1已知a(，0)，sin ，則tan()_.2(2011鹽城模擬)已知cos()，則sin2()cos()的值是_3(2010東北育才中學(xué)一模)已知、均為銳角，且tan ，則tan()_.4函數(shù)ysin(x)cos(x)的最大值為_5求值

6、：_.6在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則C的大小為_7函數(shù)f(x)asin(x)3sin(x)是偶函數(shù)，則a_.8已知tan 、tan 是方程x23x40的兩根，且、，則tan()_，的值為_二、解答題(共42分)9(14分)(1)已知，且sin()，cos .求sin ；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值10(14分)(2010四川)(1)證明兩角和的余弦公式C()：cos()cos cos sin sin ；由C()推導(dǎo)兩角和的正弦公式S()：sin()sin cos cos sin .(2)已知ABC的面積S，3，且cos B，求

7、cos C.11(14分)(2010濟(jì)南高三三模)設(shè)函數(shù)f(x)ab，其中向量a(2cos x,1)，b(cos x，sin 2x)，xR.(1)若函數(shù)f(x)1，且x，求x；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標(biāo)系中畫出yf(x)在區(qū)間0，上的圖象答案 自主梳理1(1)cos cos sin sin cos cos sin sin (2)sin cos cos sin sin cos cos sin (3)自我檢測(cè)12.3.4.45.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引在三角函數(shù)求值的問題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算的角轉(zhuǎn)化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，

8、把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用解(1)原式sin 80sin 80cos 10cos 102cos 10cos 102sin 602.(2)原式sin(45)30cos(45)cos(45)30sin(45)cos(45)cos(45)cos(45)sin(45)0.變式遷移1解(1)原式.(2)原式tan()()1tan()tan()tan()tan().例2解題導(dǎo)引對(duì)于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角

9、的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?，若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分類討論應(yīng)注意公式的靈活運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要學(xué)會(huì)拆角、拼角等技巧解cossin，0，.cos，cos.sin()sinsincoscossin.sin().變式遷移2解(1)由tan2，得2，即1tan 22tan ，tan .(2)tan().例3解題導(dǎo)引(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好(2)解這類問題的一般步驟：求

10、角的某一個(gè)三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫出所求的角解(1)tan ，sin sin2sin cos .(2)0，sin ，cos .又0，0.由cos()，得sin().sin sin()sin()cos cos()sin .由得.(或求cos ，得)變式遷移3解A、B均為鈍角且sin A，sin B，cos A，cos B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B，AB2.由，知AB.課后練習(xí)區(qū)12.3.14.252解析原式tan 15tan(4530)2.6.解析兩式平方相加得91624sin(AB)37，sin(AB)sin C，所以C或.如果C，則0A

11、，3cos A1與4sin B3cos A1矛盾，故C.73解析f(x)asin(x)3sin(x)asin xacos x(sin xcos x)(a3)sin x(a3)cos x，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則f(x)f(x)，代入得：(a3)sin x0，所以a3.8.解析tan()，又、，、，0，.9解(1)，cos ，sin .(2分)又0，又sin()，cos() ，(5分)sin sin()sin()cos cos()sin .(7分)(2)tan tan()，(10分)tan(2)tan()1.(12分)，(0，)，tan 1，tan 0，0，20，A，cos A3sin A，(10分)又sin2Acos2A1，sin A，cos A，由cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.(12分)故cos Ccos(AB)cos(AB).(14分)11解(1)依題設(shè)得f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x2sin1.由2sin11，得sin.(3分)x，2x.2x，即x.(6分)(2)2k2x2k (kZ)，即kxk (kZ)，得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為 (kZ)(10分)列表：x0y2320102描點(diǎn)連線，得函數(shù)圖象如圖所示： (14分)