新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第4章學(xué)案20

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案20兩角和與差的正弦、余弦和正切公式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會(huì)用向量數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應(yīng)用自主梳理1(1)兩角和與差的余弦cos()_，cos()_.(2)兩角和與差的正弦sin()_，sin()_.(3)兩角和與差的正切tan()_，tan()_.(，均不等于k，kZ)其變形為：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )2輔助角公式asin bcos sin()，其中角稱為輔助角自我檢測(cè)1cos 43°cos 77°sin 43°cos 167°的值為_2已知tan()3，tan()5，則tan 2_.3cossin_.4(1tan 17°)(1tan 18°)(1tan 27°)(1tan 28°)的值是_5已知cossin ，則sin的值是_探究點(diǎn)一給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值)例1求值：(1)2sin 50°sin 10°(1tan 10°)；(2)sin(75°)cos(45°)·cos(15°)變式遷移1求值：(1)；(2)tan()tan()tan()tan()探究點(diǎn)二給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值)例2已知0<<<<，cos，sin，求sin()的值變式遷移2(2010·廣州高三二模)已知tan2，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值探究點(diǎn)三給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值)例3已知0<<<<，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值變式遷移3若sin A，sin B，且A、B均為鈍角，求AB的值轉(zhuǎn)化與化歸思想例(14分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若<<0<<，且sin ，求sin 的值【答題模板】解(1)|ab|，a22a·bb2.2分又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a2b21，a·bcos cos sin sin cos()，4分故cos().7分(2)<<0<<，0<<.cos()，sin().9分又sin ，<<0，cos .11分故sin sin()sin()cos cos()sin ××.14分【突破思維障礙】本題是三角函數(shù)問題與向量的綜合題，唯一一個(gè)等式條件|ab|，必須從這個(gè)等式出發(fā)，利用向量知識(shí)化簡(jiǎn)再結(jié)合兩角差的余弦公式可求第(1)問，在第(2)問中需要把未知角向已知角轉(zhuǎn)化再利用角的范圍來求，即將變?yōu)?).本節(jié)主要應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，即異角化同角未知角向已知角轉(zhuǎn)化，非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】|ab|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯(cuò)點(diǎn)，把未知角轉(zhuǎn)化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號(hào)也是易錯(cuò)點(diǎn)1轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換2變換則必須熟悉公式分清和掌握哪些公式會(huì)實(shí)現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個(gè)公式的相互聯(lián)系和適用條件3恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化4基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1已知a(，0)，sin ，則tan()_.2(2011·鹽城模擬)已知cos()，則sin2()cos()的值是_3(2010·東北育才中學(xué)一模)已知、均為銳角，且tan ，則tan()_.4函數(shù)ysin(x)cos(x)的最大值為_5求值：_.6在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則C的大小為_7函數(shù)f(x)asin(x)3sin(x)是偶函數(shù)，則a_.8已知tan 、tan 是方程x23x40的兩根，且、，則tan()_，的值為_二、解答題(共42分)9(14分)(1)已知，且sin()，cos .求sin ；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值10(14分)(2010·四川)(1)證明兩角和的余弦公式C()：cos()cos cos sin sin ；由C()推導(dǎo)兩角和的正弦公式S()：sin()sin cos cos sin .(2)已知ABC的面積S，·3，且cos B，求cos C.11(14分)(2010·濟(jì)南高三三模)設(shè)函數(shù)f(x)a·b，其中向量a(2cos x,1)，b(cos x，sin 2x)，xR.(1)若函數(shù)f(x)1，且x，求x；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標(biāo)系中畫出yf(x)在區(qū)間0，上的圖象答案 自主梳理1(1)cos cos sin sin cos cos sin sin (2)sin cos cos sin sin cos cos sin (3)自我檢測(cè)12.3.4.45.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引在三角函數(shù)求值的問題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算的角轉(zhuǎn)化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用解(1)原式·sin 80°·sin 80°·cos 10°·cos 10°2··cos 10°·cos 10°2sin 60°2×.(2)原式sin(45°)30°cos(45°)·cos(45°)30°sin(45°)cos(45°)cos(45°)cos(45°)sin(45°)0.變式遷移1解(1)原式.(2)原式tan()()1tan()·tan()tan()tan().例2解題導(dǎo)引對(duì)于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?，若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分類討論應(yīng)注意公式的靈活運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要學(xué)會(huì)拆角、拼角等技巧解cossin，0<<<<，<<，<<.cos，cos.sin()sinsincoscossin××.sin().變式遷移2解(1)由tan2，得2，即1tan 22tan ，tan .(2)tan().例3解題導(dǎo)引(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好(2)解這類問題的一般步驟：求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫出所求的角解(1)tan ，sin sin2sin cos .(2)0<<，sin ，cos .又0<<<<，0<<.由cos()，得sin().sin sin()sin()cos cos()sin ××.由<<得.(或求cos ，得)變式遷移3解A、B均為鈍角且sin A，sin B，cos A，cos B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B××.又<A<，<B<，<AB<2.由，知AB.課后練習(xí)區(qū)12.3.14.252解析原式tan 15°tan(45°30°)2.6.解析兩式平方相加得91624sin(AB)37，sin(AB)sin C，所以C或.如果C，則0<A<，從而cos A>，3cos A>1與4sin B3cos A1矛盾，故C.73解析f(x)asin(x)3sin(x)asin xacos x(sin xcos x)(a3)sin x(a3)cos x，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則f(x)f(x)，代入得：(a3)sin x0，所以a3.8.解析tan()，又、，、，<<0，.9解(1)，cos ，sin .(2分)又0<<，<<，<<，又sin()，cos() ，(5分)sin sin()sin()cos cos()sin ··.(7分)(2)tan tan()，(10分)tan(2)tan()1.(12分)，(0，)，tan <1，tan <0，0<<，<<，<2<0，2.(14分)10(1)證明如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角、與，使角的始邊為Ox，交O于點(diǎn)P1，終邊交O于點(diǎn)P2；角的始邊為OP2，終邊交O于點(diǎn)P3；角的始邊為OP1，終邊交O于點(diǎn)P4.則P1(1,0)，P2(cos ，sin )，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin()，(2分)由P1P3P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得cos()12sin2()cos()cos 2sin()sin 2，展開并整理得：22cos()22(cos cos sin sin )，cos()cos cos sin sin .(4分)解由易得，cossin ，sincos .sin()coscoscoscos()sinsin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .(7分)(2)解由題意，設(shè)ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c.則Sbcsin A，·bccos A3>0，A，cos A3sin A，(10分)又sin2Acos2A1，sin A，cos A，由cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.(12分)故cos Ccos(AB)cos(AB).(14分)11解(1)依題設(shè)得f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x2sin1.由2sin11，得sin.(3分)x，2x.2x，即x.(6分)(2)2k2x2k (kZ)，即kxk (kZ)，得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為 (kZ)(10分)列表：x0y2320102描點(diǎn)連線，得函數(shù)圖象如圖所示： (14分)