《洛必達(dá)法則》優(yōu)秀課件

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1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 : 00 洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題二、二、0,0,0,00 0,1,1,0 0型未定式解法型未定式解法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則.00 )()(lim )()()()(型未定式型未定式或或常把這種極限稱為常把這種極限稱為在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存極限極限大，那末大，那末都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與時(shí)，兩個(gè)函數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)或或

2、如果當(dāng)如果當(dāng) xFxfxFxfxaxxax一一、 ： 洛比達(dá)法則洛比達(dá)法則 00型未定式解法型未定式解法型及型及 【定義】【定義】【例如】【例如】,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx )00()( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在且且都存在都存在及及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)

3、設(shè)【定理【定理1 1】【定義】【定義】這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【證】【證】 定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(xaU內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)在在 , 為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa , )(),(11件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條xFxf則有則有)()()()()()(aFxFafx

4、fxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 【證完】【證完】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則，即即定定理理的的條條件件，可可以以繼繼續(xù)續(xù)滿滿足足型型，且且仍仍屬屬如如果果 )(),(00)()( )1(xFxfxFxf . , )2(該該法法則則仍仍然然成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(lim

5、xFxfxFxfxx . , , )3(應(yīng)的洛必達(dá)法則應(yīng)的洛必達(dá)法則也有相也有相時(shí)的未定式時(shí)的未定式當(dāng)當(dāng) xax（即定理（即定理2）【注】【注】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【例【例1】【解】【解】.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原原式式1seclim20 xx . 1 【例【例2】【解】【解】.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【注意】【注意】（1）

6、 上式中上式中 已不是未定式，已不是未定式，不能再使用洛必達(dá)法則，否則導(dǎo)致不能再使用洛必達(dá)法則，否則導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果錯(cuò)誤的結(jié)果. .266lim1 xxx（2） 由此可見，在使用羅必達(dá)法則時(shí)應(yīng)由此可見，在使用羅必達(dá)法則時(shí)應(yīng)步步整理步步整理、步步判別步步判別。如果不是未定式就。如果不是未定式就堅(jiān)決不能用洛必達(dá)法則。堅(jiān)決不能用洛必達(dá)法則。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【例【例3】【解】【解】.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 【例【例4】【解】【解】.sinlnsinlnlim0bxaxx

7、求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )00()( bxaxxcoscoslim0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【例【例5】【解】【解】.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 00機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【例【例6】)0 ( lim 為正

8、整數(shù)，為正整數(shù)，求求nexxnx【解】【解】相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則n次，得次，得 xnxxnxenxex 1lim lim xnxexn 0!lim 0 )( 【教材例【教材例5】)0( lnlim nxxnx求求【解】【解】11lim lnlim nxxnxnxxx01lim nxnx)( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【注意】【注意】洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .【例【例7】【解】【解】.tantan

9、lim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 或或上式上式22031seclimxxx 2203tanlimxxx 313lim220 xxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則二、二、0,00,1,0 型未定式解法型未定式解法【例【例8】【解】【解】.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . 【關(guān)鍵】【關(guān)鍵】將以上其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可將以上其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型解決的類型 ),00

10、()( 【步驟】【步驟】 100100 或或注：以下寫法僅是記號(hào)注：以下寫法僅是記號(hào)1. 【0】型型2limxexx 原原式式 , . 00 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【例【例9】【解】【解】).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 【步驟】【步驟】xxxxxsincos2sinlim0 2. 【】型型 . 00 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【說明】【說明】 上式中上式中xxxxx

11、sinsinlim0 可結(jié)合等價(jià)無窮小可結(jié)合等價(jià)無窮小代換更簡單。先代換，再用洛必達(dá)法則代換更簡單。先代換，再用洛必達(dá)法則)0( sinxxx200sinlimsinsinlimxxxxxxxxx 02sinlim0 xxxxx2cos1lim0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【步驟】【步驟】 ln01ln0ln01000取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù).0 【例【例10】【解】【解】.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 3. 【00,1,0】 型型冪指函

12、數(shù)類冪指函數(shù)類機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【實(shí)質(zhì)】【實(shí)質(zhì)】 先化為復(fù)合函數(shù)：先化為復(fù)合函數(shù)：uvveuln 利用復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)的連續(xù)性：利用復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)的連續(xù)性：極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)交換位置，結(jié)合極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)交換位置，結(jié)合洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則求極限. .【例【例11】【解】【解】.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1ln lim111 lim1 xxe.1 e機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【例【例12】【解】【解】.)(cotlim

13、ln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原原式式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【例【例13】【解】【解】.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原原式式).sin1(limxx 極限振蕩不存在極限振蕩不存在故洛必達(dá)法則失效。故洛必達(dá)法則失效。但但)cos11(limxxx 原式原式. 1 【注意】【注意】洛必達(dá)法則的使用條件：洛必達(dá)法則的使用條件：充分條件，不

14、必要充分條件，不必要機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則三、小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 )00(uvveuln 取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【思考題】設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在， 是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明. . 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束最新第二節(jié) 洛必達(dá)法則【思考題解答】【思考題解答】不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在