《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1994年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1、設a，b，c是實數(shù)，那么對任何實數(shù)x， 不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要條件是(A) a，b同時為0，且c0 (B) =c (C) c 2、給出下列兩個命題： 設a，b，c都是復數(shù)，如果a2+b2c2，則a2+b2c20；設a，b，c都是復數(shù)，如果a2+b2c20，則a2+b2c2那么下述說法正確的是 (A)命題正確，命題也正確 (B)命題正確，命題錯誤 (C)命題錯誤，命題也錯誤 (D)命題錯誤，命題正確3、已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，則滿足不等式|Snn
2、6|的最小整數(shù)n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)84、已知0b1，0a，則下列三數(shù)：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina) (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xy()2，則點集AB中的整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為 4設0，則sin(1+cos)的最大值是 5已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則sin= 6已知95個數(shù)a1，a2，a3，a95， 每個都只能取+1或1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 第二試一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復數(shù)，
3、且z4z2=16+20i，設這個方程的兩個根、，滿足|=2,求|m|的最大值和最小值. 二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個數(shù)列的第1000項。三、(本題滿分35分) 如圖，設三角形的外接圓O的半徑為R,內(nèi)心為I，B=60,AC,A的外角平分線交圓O于E證明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+IC0都成立的充要條件是(A) a，b同時為0，且c0 (B) =c (C) c 解：asinx+bcosx+c=sin(x+)+c+c，+c故選C2、給出下列兩個命題：(1)設a，b，c都是復數(shù)，如果a2+b2c2，則a2+b2c20(2)設a，b，
4、c都是復數(shù)，如果a2+b2c20，則a2+b2c2那么下述說法正確的是 (A)命題(1)正確，命題(2)也正確 (B)命題(1)正確，命題(2)錯誤 (C)命題(1)錯誤，命題(2)也錯誤 (D)命題(1)錯誤，命題(2)正確 解：正確，錯誤；理由：a2+b2c2，成立時，a2+b2與c2都是實數(shù)，故此時a2+b2c20成立； 當a2+b2c20成立時a2+b2c2是實數(shù)，但不能保證a2+b2與c2都是實數(shù)，故a2+b2c2不一定成立故選B3、已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，則滿足不等式|Snn6|的最小整數(shù)n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D
5、)8 解：(an+11)=(an1)，即 an1是以為公比的等比數(shù)列， an=8()n1+1 Sn=8+n=6+n6()n，6，n7選C4、已知0b1，0a，則下列三數(shù)：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina)的大小關系是 (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz 解：0sinacosalogbcosa0 (sina) (sina) (cosa)即xzy選A5、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是 (A)( ，) (B)( ，) (C)(0，) (D)( ，)解：設相鄰兩側(cè)面所成的二面角為，易得大于正n邊形的一個內(nèi)角，當棱錐的高趨于0時，趨于，故選A6、在
6、平面直角坐標系中，方程+=1 (a，b是不相等的兩個正數(shù))所代表的曲線是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的長方形 (D)非正方形的菱形解：x+y0，xy0時，(一、四象限角平分線之間)：(a+b)x+(ba)y=2ab； x+y0，xy0時，(一、二象限角平分線之間)：(ba)x+(a+b)y=2ab； x+y0，xy0時，(三、四象限角平分線之間)：(ab)x(a+b)y=2ab；x+y0，xy2 x+m(x+)+m=0，(3+m)x=7mx=23m0，即f(t)在，上單調(diào)增 x=2y cos(x+2y)=13已知點集A=(x，y)|(x3)2+(y4)2()2，B=(x，y)|
7、(x4)2+(y5)2()2，則點集AB中的整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為 解：如圖可知，共有7個點，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7點 4設00，則y2=4 sin2cos4=22sin2cos2cos22()3 y當tan=時等號成立5已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則sin= 解：12條棱只有三個方向，故只要取如圖中AA與平面ABD所成角即可設AA=1，則AC=，AC平面ABD，AC被平面ABD、BDC三等分于是sin=6已知95個數(shù)a1，a2，a3，a95， 每個都只能取+1或1兩個值之一，那么它們的兩兩之積
8、的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 解：設有m個+1，(95m)個1則a1+a2+a95=m(95m)=2m95 2(a1a2+a1a3+a94a95)=(a1+a2+a95)2(a12+a22+a952)=(2m95)2950取2m95=11得a1a2+a1a3+a94a95=13為所求最小正值.第二試一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復數(shù)，且z4z2=16+20i，設這個方程的兩個根、，滿足|=2,求|m|的最大值和最小值.解：設m=a+bi(a，bR)則=z124z24m=16+20i4a4bi=4(4a)+(5b)i設的平
9、方根為u+vi(u，vR)即(u+vi)2=4(4a)+(5b)i|=2，|2=28，|(4a)+(5b)i|=7，(a4)2+(b5)2=72，即表示復數(shù)m的點在圓(a4)2+(b5)2=72上，該點與原點距離的最大值為7+，最小值為7二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個數(shù)列的第1000項。解：由105=357；故不超過105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有105(1)(1)(1)=48個。1000=4820+488， 10520=2100.而在不超過105的與105互質(zhì)的數(shù)中第40個數(shù)是86 所求數(shù)為2186。三、(本題滿分35分) 如圖，設三角形的外接圓
10、O的半徑為R,內(nèi)心為I，B=60,AC,A的外角平分線交圓O于E證明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+ICOH=2R設OHI=，則030IO+IA+IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2Rsin(+45)又+4575，故IO+IA+ICnk+1即nk+11nk+1則C+ C( C+ C)= CC0這就是說，當nk+1與nk的差大于1時，可用nk+11及nk+1代替nk+1及nk，而其余的數(shù)不變此時，m(G)的值變小于是可知，只有當各ni的值相差不超過1時，m(G)才能取得最小值1994=8324+2故當81組中有24個點，2組中有25個點時，m(G)達到最小值m0=81C+2C=812024+22300=168544 取5個點為一小組，按圖1染成a、b二色這樣的五個小組，如圖2，每個小圓表示一個五點小組同組間染色如圖1，不同組的點間的連線按圖2染成c、d兩色這25個點為一組，共得83組染色法相同其中81組去掉1個點及與此點相連的所有線即得一種滿足要求的染色
全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14
