全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14

1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1、設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，那么對(duì)任何實(shí)數(shù)x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要條件是(A) a，b同時(shí)為0，且c>0 (B) =c (C) <c (D) >c 2、給出下列兩個(gè)命題： 設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2>c2，則a2+b2c2>0；設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2c2>0，則a2+b2>c2那么下述說法正確的是 (A)命題正確，命題也正確 (B)命題正確，命題錯(cuò)誤 (C)命題錯(cuò)誤，命題也錯(cuò)誤 (D)命題錯(cuò)誤，命題正確3、已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n項(xiàng)之和為Sn，則滿足不等式|Snn6|<的最小整數(shù)n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)84、已知0<b<1，0<a<，則下列三數(shù)：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina) (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z5、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是 (A)( ，) (B)( ，) (C)(0，) (D)( ，)6、在平面直角坐標(biāo)系中，方程+=1 (a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的長方形 (D)非正方形的菱形二、填空題(每小題9分，共54分)1已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-1，1)和(2，2)，若直線l：x+my+m=0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是 2已知x，y，aR且則cos(x+2y) = 3已知點(diǎn)集A=(x，y)|(x3)2+(y4)2()2，B=(x，y)|(x4)2+(y5)2>()2，則點(diǎn)集AB中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為 4設(shè)0<<，則sin(1+cos)的最大值是 5已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則sin= 6已知95個(gè)數(shù)a1，a2，a3，a95， 每個(gè)都只能取+1或1兩個(gè)值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 第二試一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復(fù)數(shù)，且z4z2=16+20i，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根、，滿足|=2,求|m|的最大值和最小值. 二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個(gè)數(shù)列的第1000項(xiàng)。三、(本題滿分35分) 如圖，設(shè)三角形的外接圓O的半徑為R,內(nèi)心為I，B=60°,A<C,A的外角平分線交圓O于E證明:(1) IO=AE； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+)R 四、 (本題滿分35分) 給定平面上的點(diǎn)集P=P1，P2，P1994, P中任三點(diǎn)均不共線,將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個(gè)點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連,不在同一組的兩點(diǎn)不連線段,這樣得到一個(gè)圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)記為m(G) (1)求m(G)的最小值m0 (2)設(shè)G*是使m(G*)=m0的一個(gè)圖案，若G*中的線段(指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段)用4種顏色染色,使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1、設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，那么對(duì)任何實(shí)數(shù)x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要條件是(A) a，b同時(shí)為0，且c>0 (B) =c (C) <c (D) >c 解：asinx+bcosx+c=sin(x+)+c+c，+c故選C2、給出下列兩個(gè)命題：(1)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2>c2，則a2+b2c2>0(2)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果a2+b2c2>0，則a2+b2>c2那么下述說法正確的是 (A)命題(1)正確，命題(2)也正確 (B)命題(1)正確，命題(2)錯(cuò)誤 (C)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)也錯(cuò)誤 (D)命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)正確 解：正確，錯(cuò)誤；理由：a2+b2>c2，成立時(shí)，a2+b2與c2都是實(shí)數(shù)，故此時(shí)a2+b2c2>0成立； 當(dāng)a2+b2c2>0成立時(shí)a2+b2c2是實(shí)數(shù)，但不能保證a2+b2與c2都是實(shí)數(shù)，故a2+b2>c2不一定成立故選B3、已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n項(xiàng)之和為Sn，則滿足不等式|Snn6|<的最小整數(shù)n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：(an+11)=(an1)，即 an1是以為公比的等比數(shù)列， an=8()n1+1 Sn=8·+n=6+n6()n，Þ6·<，Þn7選C4、已知0<b<1，0<a<，則下列三數(shù)：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina)的大小關(guān)系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 解：0<sina<cosa<1logbsina>logbcosa>0 (sina)< (sina)< (cosa)即x<z<y選A5、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是 (A)( ，) (B)( ，) (C)(0，) (D)( ，)解：設(shè)相鄰兩側(cè)面所成的二面角為，易得大于正n邊形的一個(gè)內(nèi)角，當(dāng)棱錐的高趨于0時(shí)，趨于，故選A6、在平面直角坐標(biāo)系中，方程+=1 (a，b是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的長方形 (D)非正方形的菱形解：x+y0，xy0時(shí)，(一、四象限角平分線之間)：(a+b)x+(ba)y=2ab； x+y0，xy<0時(shí)，(一、二象限角平分線之間)：(ba)x+(a+b)y=2ab； x+y<0，xy0時(shí)，(三、四象限角平分線之間)：(ab)x(a+b)y=2ab；x+y<0，xy<0時(shí)，(二、三象限角平分線之間)：(a+b)x+(ab)y=2ab四條直線在ab時(shí)圍成一個(gè)菱形(非正方形)選D二、填空題(每小題9分，共54分)1已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-1，1)和(2，2)，若直線l：x+my+m=0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是 解：即x+my+m=0與y=(x+1)+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)>2 x+m(x+)+m=0，(3+m)x=7mx=>2Þ3<m<2已知x，y，aR且則cos(x+2y) = 解：2a=x3+sinx=(2y)3sin(2y)， 令f(t)=t3+sint，t，f ¢(t)=3t2+cost>0，即f(t)在，上單調(diào)增 x=2y cos(x+2y)=13已知點(diǎn)集A=(x，y)|(x3)2+(y4)2()2，B=(x，y)|(x4)2+(y5)2>()2，則點(diǎn)集AB中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為 解：如圖可知，共有7個(gè)點(diǎn)，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7點(diǎn) 4設(shè)0<<，則sin(1+cos)的最大值是 解：令y= sin(1+cos) >0，則y2=4 sin2cos4=2·2sin2cos2cos22()3 y當(dāng)tan=時(shí)等號(hào)成立5已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則sin= 解：12條棱只有三個(gè)方向，故只要取如圖中AA¢與平面AB¢D¢所成角即可設(shè)AA¢=1，則A¢C=，A¢C平面AB¢D¢，A¢C被平面AB¢D¢、BDC¢三等分于是sin=6已知95個(gè)數(shù)a1，a2，a3，a95， 每個(gè)都只能取+1或1兩個(gè)值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 解：設(shè)有m個(gè)+1，(95m)個(gè)1則a1+a2+a95=m(95m)=2m95 2(a1a2+a1a3+a94a95)=(a1+a2+a95)2(a12+a22+a952)=(2m95)295>0取2m95=±11得a1a2+a1a3+a94a95=13為所求最小正值.第二試一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是復(fù)數(shù)，且z4z2=16+20i，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根、，滿足|=2,求|m|的最大值和最小值.解：設(shè)m=a+bi(a，bR)則=z124z24m=16+20i4a4bi=4(4a)+(5b)i設(shè)的平方根為u+vi(u，vR)即(u+vi)2=4(4a)+(5b)i|=2，Û|2=28，Û|(4a)+(5b)i|=7，Û(a4)2+(b5)2=72，即表示復(fù)數(shù)m的點(diǎn)在圓(a4)2+(b5)2=72上，該點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最大值為7+，最小值為7二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個(gè)數(shù)列的第1000項(xiàng)。解：由105=3×5×7；故不超過105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有105×(1)(1)(1)=48個(gè)。1000=48×20+488， 105×20=2100.而在不超過105的與105互質(zhì)的數(shù)中第40個(gè)數(shù)是86 所求數(shù)為2186。三、(本題滿分35分) 如圖，設(shè)三角形的外接圓O的半徑為R,內(nèi)心為I，B=60°,A<C,A的外角平分線交圓O于E證明:(1) IO=AE； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+)R證明：B=60°，AOC=AIC=120°A，O，I，C四點(diǎn)共圓圓心為弧AC的中點(diǎn)F，半徑為RO為F的弧AC中點(diǎn)，設(shè)OF延長線交F于H，AI延長線交弧BC于D由EAD=90°（內(nèi)外角平分線）知DE為O的直徑OAD=ODA但OAI=OHI，故OHI=ADE，于是RtDAERtHIOAE=IO由ACH為正三角形，易證IC+IA=IH由OH=2RIO+IA+IC=IO+IH>OH=2R設(shè)OHI=，則0<<30°IO+IA+IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2Rsin(+45°)又+45°<75°，故IO+IA+IC<2 R(+)/4=R(1+) 四、 (本題滿分35分) 給定平面上的點(diǎn)集P=P1，P2，P1994, P中任三點(diǎn)均不共線,將P中的所有的點(diǎn)任意分成83組，使得每組至少有3個(gè)點(diǎn)，且每點(diǎn)恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點(diǎn)用一條線段相連,不在同一組的兩點(diǎn)不連線段,這樣得到一個(gè)圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)記為m(G) (1)求m(G)的最小值m0 (2)設(shè)G*是使m(G*)=m0的一個(gè)圖案，若G*中的線段(指以P的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段)用4種顏色染色,每條線段恰好染一種顏色證明存在一個(gè)染色方案,使G*染色后不含以P的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三邊顏色相同的三角形解：設(shè)G中分成的83個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)分別為ni(1i83)，ni=1994且3n1n2n83則m(G)= C即求此式的最小值設(shè)nk+1>nk+1即nk+11nk+1則C+ C( C+ C)= CC<0這就是說，當(dāng)nk+1與nk的差大于1時(shí)，可用nk+11及nk+1代替nk+1及nk，而其余的數(shù)不變此時(shí)，m(G)的值變小于是可知，只有當(dāng)各ni的值相差不超過1時(shí)，m(G)才能取得最小值1994=83×24+2故當(dāng)81組中有24個(gè)點(diǎn)，2組中有25個(gè)點(diǎn)時(shí)，m(G)達(dá)到最小值m0=81C+2C=81×2024+2×2300=168544 取5個(gè)點(diǎn)為一小組，按圖1染成a、b二色這樣的五個(gè)小組，如圖2，每個(gè)小圓表示一個(gè)五點(diǎn)小組同組間染色如圖1，不同組的點(diǎn)間的連線按圖2染成c、d兩色這25個(gè)點(diǎn)為一組，共得83組染色法相同其中81組去掉1個(gè)點(diǎn)及與此點(diǎn)相連的所有線即得一種滿足要求的染色