數(shù)學(xué)第六章 數(shù)列 第一節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法 理

第一節(jié)數(shù)列的概念及簡單表示法總綱目錄教材研讀1.數(shù)列的定義考點(diǎn)突破2.數(shù)列的分類3.數(shù)列的表示方法考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an4.數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,教材研讀教材研讀1.數(shù)列的定義數(shù)列的定義按照一定順序一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)項(xiàng).2.數(shù)列的分類數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an+1an其中nN*遞減數(shù)列an+1an常數(shù)列an+1=an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M,使對(duì)于任意的nN*,都有|an|M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)3.數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法數(shù)列有三種表示方法,它們分別是列表法列表法、圖象法圖象法和解析式法解析式法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn,則an=11(1),(2).nnSnSSn 1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n2),且S2=3,則a1+a3的值為()A.1B.3C.5D.6C答案答案C由題意知S2-S1=3-a1=3,a1=0,a3=S3-S2=23-1=5,a1+a3=5,故選C.2.(2018北京海淀期中,4)已知數(shù)列an滿足a1+a2+an=2a2(n=1,2,3,),則()A.a10C.a1a2D.a2=0D答案答案Da1=2a2,a1+a2=2a2,a1=a1+a2,a2=0,故選D.3.(2017北京西城一模,7)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=|n-c|(nN*),則“c1”是“an為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A答案答案A充分性:當(dāng)c1時(shí),an=|n-c|=n-c(nN*),易知an為遞增數(shù)列,所以充分性成立;必要性:當(dāng)c=1.1時(shí),易驗(yàn)證an為遞增數(shù)列,所以必要性不成立.綜上,“c1”是“an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.4.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n(3n-13),則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最小值是()A.S3B.S4C.S5D.S6B答案答案B易知數(shù)列an是遞增數(shù)列,且a1,a2,a3,a4的值為負(fù)數(shù),從第5項(xiàng)開始以后各項(xiàng)均為正數(shù),所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最小值是S4,選B.5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n-3,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=.11,12,2nnn答案答案an=11,12,2nnn解析解析當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2-3=-1,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.又a1=-1不適合上式,故an=11,1,2,2.nnn6.已知函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示,數(shù)列an滿足a1=3,an+1=f(an),則a4=1,a2015=3.x123f(x)321答案答案1;3解析解析a1=3,a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,可知數(shù)列an是以2為周期的周期數(shù)列,a2015=a1=3.考點(diǎn)一由考點(diǎn)一由an與與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)an考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,求an的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.解析解析(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-1;當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,又a1=-1也適合上式,因此an=4n-5(nN*).(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+b,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.當(dāng)b=-1時(shí),a1適合上式;當(dāng)b-1時(shí),a1不適合上式.當(dāng)b=-1時(shí),an=23n-1(nN*);當(dāng)b-1時(shí),an=13,1,2 3,2.nb nn方法技巧方法技巧已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替換Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式;(3)看a1是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫,如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n2兩段來寫.1-1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3-32n,nN*,則an=-32n-1.答案答案-32n-1解析解析分情況討論:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3-321=-3;當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3-32n)-(3-32n-1)=-32n-1.綜合,得an=-32n-1.(經(jīng)檢驗(yàn)a1=-3符合該式)典例典例2(1)已知數(shù)列an滿足a1=,an+1=an+,則an=;(2)若數(shù)列an滿足a1=,an+1=an,則通項(xiàng)an=;(3)若數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+3,則an=.1221nn231nn考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式答案答案(1)-(2)(3)2n+1-3321n23n解析解析(1)由條件知an+1-an=-,則n2時(shí),(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=+,即n2時(shí),an-a1=1-,又a1=,n2時(shí),an=1-+=-,又n=1時(shí),a1=符合上式,an=-.(2)由an+1=an(an0),得=,故n2時(shí),an=a1=,又n=1時(shí),a1=符21nn1(1)n n1n11n11211231134111nn1n121n12321n12321n1nn1nnaa1nn1nnaa12nnaa21aa1nn21nn122323n23合上式,an=.(3)設(shè)遞推關(guān)系式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1-t=2(an-t),則an+1=2an-t,則t=-3.故an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,則b1=a1+3=4,bn0,且=2.所以bn是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.23n1nnbb133nnaa所以bn=42n-1=2n+1,即an=2n+1-3.方法技巧方法技巧由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法遞推式方法轉(zhuǎn)化過程an+1=an+f(n)累加法(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an-a1(n2)=f(n)累乘法=(n2)an+1=pan+q(p0,1,q0)轉(zhuǎn)化法化為an+1+m=p(an+m),以此構(gòu)造等比數(shù)列an+mn 1naa21aa32aa43aan 1n 2aann 1aan1aa2-1數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2,且(n+1)an=nan+1,則a3的值為()A.5B.6C.7D.8答案答案B由題意知=,由累乘法得=,n2,an=na1,n2,又a1=2,an=2n,n2,又a1=2適合上式,an=2n,a3=6,故選B.1nnaa1nn1nnaa12nnaa21aa1nn12nn21B2-2數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+n+1,則an=.答案答案222nn解析解析由條件知an+1-an=n+1,則n2時(shí),an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)+a1=(2+3+4+n)+2=,又當(dāng)n=1時(shí),a1=2符合上式,an=.222nn222nn222nn典例典例3(1)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為2,且數(shù)列an滿足an+1=,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S2016為()A.504B.588C.-588D.-504(2)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為.11nnaa考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)答案答案(1)C(2)64解析解析(1)a1=2,an+1=,a2=,a3=-,a4=-3,a5=2,數(shù)列an是以4為周期的數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=-,20164=504,S2016=504=-588,故選C.(2)設(shè)an的公比為q,于是a1(1+q2)=10,a1(q+q3)=5,聯(lián)立解得a1=8,q=,11nnaa1312767612an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)=26=64.a1a2an的最大值為64.217222nn21749()2282n方法技巧方法技巧(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法:用作差比較法,根據(jù)an+1-an的符號(hào)進(jìn)行判斷.用作商比較法,根據(jù)(an中各項(xiàng)都同號(hào))與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.(2)解決數(shù)列周期性問題的方法:先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng),確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期求值.(3)數(shù)列的最值問題可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的方法求解.1nnaa3-1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),則S11=()A.-21B.-19C.19D.21答案答案DS11=-45+(-1)11-1(411-3)=-20+41=21.D