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1、指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)案例分析 醴陵市二中 張新元提出問題：新課程認為知識不是單方面通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（教師指導(dǎo)和同學(xué)的幫助）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的。它強調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。通過多年教學(xué)實踐和對新課程的認識,我認為若遵循這個原則進行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)將是一種高效的活動。教材中的地位： 本節(jié)內(nèi)容是在指數(shù)范圍擴充到實數(shù)的基礎(chǔ)上引入指數(shù)函數(shù)的，而指數(shù)函數(shù)是高中研究的第一種具體函數(shù)。是在初中已經(jīng)初步探討了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，在進一步學(xué)習(xí)了函數(shù)
2、的概念及有關(guān)性質(zhì)的前提下，去研究學(xué)習(xí)的。重點是指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)，難點在于弄清楚底數(shù)a對于函數(shù)變化的影響。這節(jié)課主要是學(xué)生利用描點法畫出函數(shù)的圖像，并描述出函數(shù)的圖像特征，從而指出函數(shù)的性質(zhì)。使學(xué)生從形到數(shù)的熟悉，體驗研究函數(shù)的過程與思路，實現(xiàn)意識的深化。 設(shè)計背景： 在新教材的教學(xué)中，我慢慢體會到新教材滲透的、螺旋式上升的基本理念，知識點的形成過程經(jīng)歷從具體的實例引入，形成概念，再次運用于實際問題或具體數(shù)學(xué)問題的過程，它的應(yīng)用性，實用性更明顯的體現(xiàn)出來。學(xué)數(shù)學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生還是害怕學(xué)數(shù)學(xué)，尤其高中的數(shù)學(xué)，它對于學(xué)生來說顯得很抽象。所以如果再讓讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)
3、離我們的生活太遠，那么將很難激發(fā)他們的學(xué)習(xí)愛好。所以在教學(xué)中我盡力抓住知識的本質(zhì)，以實際問題引入新知識。另外，就本章來說，指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)概念及基本性質(zhì)之后研究的第一個重要的函數(shù)，讓學(xué)生學(xué)會研究一個新的具體函數(shù)的方法比學(xué)會本身的知識更重要。在這個過程中，所有的知識都是生疏的，在大腦中沒有形成基本的框架結(jié)構(gòu)，需要老師的引導(dǎo)，使他們逐漸建立。數(shù)學(xué)中任何知識的形成都體現(xiàn)出它的思想與方法，因而授課中注重讓學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想，運用其中的方法去學(xué)習(xí)新的知識，是非常重要的。教學(xué)目標：一、知識：理解指數(shù)函數(shù)的定義，能初步把握指數(shù)函數(shù)的圖像，性質(zhì)及其簡單應(yīng)用。 二、過程與方法：由實例引入指數(shù)函數(shù)的概念，利用描
4、點作圖的方法做出指數(shù)函數(shù)的圖像，（有條件的話借助計算機演示驗證指數(shù)函數(shù)圖像）由圖像研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。利用性質(zhì)解決實際問題。 三、能力：1通過指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究，培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析和歸納的能力，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。 2通過對指數(shù)函數(shù)的研究，使學(xué)生能把握函數(shù)研究的基本方法。 教學(xué)過程： 由實際問題引入： 問題1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，1個這樣的細胞分裂次后，得到的細胞的個數(shù)與之間的關(guān)系是什么？ 分裂次數(shù)與細胞個數(shù) 1，2；2，22=22；3，222=23；x，222=2x歸納：問題2：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過1年剩留的這種物質(zhì)是原來的
5、84%，那么經(jīng)過年后剩留量與的關(guān)系是什么？ 經(jīng)過1年，剩留量y=184%=0.841；經(jīng)過2年，剩留量y=0.840.84=0.842 經(jīng)過年，剩留量。尋找異同： 你能從以上的兩個例子中得到的關(guān)系式里找到什么異同點嗎？共同點：變量與構(gòu)成函數(shù)關(guān)系式，是指數(shù)的形式，自變量在指數(shù)位置，底數(shù)是常數(shù)；不同點：底數(shù)的取值不同。那么，今天我們來學(xué)習(xí)新的一個基本函數(shù)：指數(shù)函數(shù) 得到指數(shù)函數(shù)的定義：定義：形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。 在以前我們學(xué)過的函數(shù)中，一次函數(shù)用形如的形式表示，反比例函數(shù)用形如表示，二次函數(shù)表示。對于其一般形式上的系數(shù)都有相應(yīng)的限制。 問：為什么指數(shù)函數(shù)對底數(shù)有這樣的要求呢？ 若時，恒等于0，
6、沒有研究價值；當時，無意義。 若，當是無意義的，沒有研究價值。 若則=1,是一個常量，也沒有研究的必要。 所以有規(guī)定且。由定義，我們可以對指數(shù)函數(shù)有一初步熟悉。 進一步理解函數(shù)的定義： 指數(shù)函數(shù)的定義域：在我們學(xué)過的指數(shù)運算中，指數(shù)可以是有理數(shù)，當指數(shù)是無理數(shù)時，也是一個確定的實數(shù)，對于無理數(shù)，學(xué)過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運算法則都適用，所以指數(shù)函數(shù)的定義域為R.研究函數(shù)的途徑：由函數(shù)的圖像的性質(zhì)，從形與數(shù)兩方面研究。學(xué)習(xí)函數(shù)的一個很重要的目標就是應(yīng)用，那么首先要對函數(shù)作一研究，研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)，然后利用其圖像性質(zhì)去解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。根據(jù)以往的經(jīng)驗，你會從那幾個角度考慮？（圖像的分布范圍
7、，圖像的變化趨勢，）圖像的分布情況與函數(shù)的定義域，值域有關(guān)，函數(shù)的變化趨勢體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性。引導(dǎo)學(xué)生從定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，與坐標軸的交點情況著手開始。 首先我們做出指數(shù)函數(shù)的圖像，我們研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。 我們以具體函數(shù)入手，讓學(xué)生以小組形式取不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)畫它們的圖像，將學(xué)生畫的函數(shù)圖像展示，（畫函數(shù)的圖像的步驟是：列表，描點，連線。）。 最后，老師在黑板（電腦）上演示列表，描點，連線的過程，并且，畫出取不同的值時，函數(shù)的圖像。 要求學(xué)生描述出指數(shù)函數(shù)圖像的特征，并試著描述出性質(zhì)。 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明，每一個重要的數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，其中都有豐富的經(jīng)
8、歷，新課程較好的體現(xiàn)了這點。對新課程背景下的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)的知識應(yīng)該是一個數(shù)學(xué)化的過程，即通過對常識材料進行細致的觀察、思考，借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進行去粗取精、去偽存真的精加工。該案例正是從數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)實驗的過程中進行設(shè)計。雖然學(xué)生的思維不一定真實的重演了人類對數(shù)學(xué)知識探索的全過程，但確確實實通過實驗、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中將數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化，從而才使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了樂趣，對數(shù)學(xué)的研究方法有了一定的了解。 雖然學(xué)生要學(xué)的數(shù)學(xué)是歷史上前人已建構(gòu)好了的，但對他們而言，仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學(xué)習(xí)活動來再現(xiàn)類似的過程。該
9、案例正是從創(chuàng)設(shè)問題情景作為教學(xué)設(shè)計的重要的內(nèi)容之一。教師應(yīng)該把教學(xué)設(shè)計成學(xué)生動手操作、觀察猜想、揭示規(guī)律等一系列過程，側(cè)重于學(xué)生的探索、分析與思考，側(cè)重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數(shù)學(xué)能力。 教師的地位應(yīng)由主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者，使教學(xué)活動真正成為學(xué)生的活動。在教學(xué)過程中，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，在時間和空間上保證學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生能自己獨立自主的探究學(xué)習(xí)。使教學(xué)活動始終處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使每一個學(xué)生通過自己的努力，在自己原有的基礎(chǔ)上都有所獲，都有提高。 總之，通過案例研究，不斷研究新教材、新理念，不斷調(diào)整教學(xué)策略優(yōu)化課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)與創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力將是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要繼續(xù)探究的課題。4
《指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》案例分析
