《組合數(shù)學(xué)》模擬練習(xí)題

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1、組合數(shù)學(xué)模擬練習(xí)題64組合數(shù)學(xué)模擬練習(xí)題 04亠、填空題1、紅、黃、藍(lán)、白4個(gè)球在桌上排成一圈，有 種排法。2、設(shè)P、Q為集合，則|P U Q|P| + I Q|.C(1+ n)2nD、C12n+C22n.64C(1+ n)2nD、C12n+C22n.643、8. 366個(gè)人中必有個(gè)人生日相同。n max0 i n i4、設(shè)S = 1,2,3,4 中僅有2個(gè)定位的排列數(shù)N(2)=5、依照字典序，排列(4576321)的下一個(gè)排列9、(1,2,3, 4)的移位排列數(shù)D10、解遞推關(guān)系 f (r) -4f (r-1) + 4f (r-2) = 2 r 時(shí)，應(yīng)設(shè)非齊次的特解為11.Xi的展開式中，X

2、2X；x4的系數(shù)為 。i 112. 在14個(gè)人中至少有個(gè)人為同月份出生13. 解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系的常用方法稱3、由6顆不同顏色的珠子可以做成()種手鏈A、720B、120C、6CD 6n4、( 1)k nk 0( )A、2nB、0C、n2n 1D、15、按照字典序，排列4517632的下一個(gè)排列是().A、4571236 B 、4517623 C 、457632D 45213676、當(dāng)r k時(shí)差分多項(xiàng)式Pk(r)=()C、r(r 1).(r k+1)1 k!7、設(shè)F(x),G(x)分別是f和g的生成函數(shù)，則以F不成立的是()A、F(x)+G(x)是f+g的生成函數(shù)B、F(x)G(x)C(

3、1+ n)2nD、C12n+C22n.是fg的生成函數(shù)c、xrF(x)是 Sr(f)的生成函數(shù)D、F(x) xF(x)是f的生成函數(shù)&在無柄茶杯的四周畫上四種不同的圖案，共有()種畫法。A、24B、12C、6D 3n9、 knk 1()。A、2nB、0C、 n2n1D、110、設(shè) S=1,2,3,4,5,6,7，5-組合 12367 的下一個(gè) 組合是()A 12567 B、12376 C、12467 D 、 12456三、解答題1.有4個(gè)相同的紅球，5個(gè)相同的白球，那么這9個(gè)球有多少種不同的排列方式？2. 公司有5臺電視機(jī)，4臺洗衣機(jī)，7臺冰箱， 現(xiàn)要把其中3臺電視機(jī)，2臺洗衣機(jī)，4臺冰 箱選

4、送到展銷會(huì)，試問有多少種選法？3. 設(shè)S = 1, 3?2, 3?3, 2?4, 5是一個(gè)多重集，那么 由集合S的元素能組成多少個(gè)不同的四位數(shù)。4. 用09這十個(gè)數(shù)碼，可以組成多少個(gè)恰有兩個(gè)重復(fù)數(shù)碼的三位數(shù)？5. 設(shè)S =a, b, c, d, e，求S的所有3組合（按 字典序排列）。6. 設(shè)集合S =1, 2, 3, 4，按照字典序?qū)懗雠帕?3124后的所有全排列。7. 試求在1到300之間那些不能被3, 5和7中 任何一個(gè)整除的整數(shù)個(gè)數(shù)。8. 數(shù)1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8的全排列中，有4個(gè)數(shù)字在原來位置上，另外4個(gè)不在原來位置 上的錯(cuò)排數(shù)目。9. 一人在8小時(shí)內(nèi)加工了 4

5、0個(gè)零件，已知他在第一個(gè)小時(shí)內(nèi)加工了 6個(gè)零件，而最后一個(gè)小時(shí) 內(nèi)加工了 4個(gè)零件。證明一定存在連續(xù)的兩個(gè)小 時(shí)，這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)至少加工了10個(gè)零件。10. 證明在邊長為2的正方形內(nèi)任意5點(diǎn)必有兩 點(diǎn)，其距離不超過.2。11. 設(shè)數(shù)值函數(shù) f = 1,7,72,73,., g =1,6,62,63,.,求卷積f * g的生成函數(shù)12. 用生成函數(shù)求下式之和：n2213. 解非齊次遞推關(guān)系an 6an 1 9an 23, n 2a。0, a1114. 解齊次遞推關(guān)系an 8an 116an 20ao 1,a1015. 一教室有兩排座位，每排8個(gè)，今有14名學(xué) 生，5人總坐在前排，4人總在后排，問學(xué)

6、生入 座有幾種方式？16. 將字母a,b,c,d,e,f,g排成一行，使得模式beg 和cad都不出現(xiàn)的排列總數(shù)是多少？仃.按照字典序?qū)懗黾蟂 =1,2,3,4的前面12個(gè)全排列。18. 求 8 個(gè)字母 A、B、C、D、E、F、G、H 的 全排列中只有4個(gè)元素不在原來位置上的排列 數(shù)。19. 某次會(huì)議有10個(gè)代表參加，每一位代表至 少認(rèn)識其余9位中的一位，則10位代表中至少 有兩位代表認(rèn)識的人數(shù)相等20. 求數(shù)值函數(shù)f = 1, -3,32, 33,.的生成函數(shù)21. 設(shè)初始值h(0) = 0, h(1) = 1，求解遞推關(guān)系h(n) = 5h( n 1) 6h( n 2). (n 二 2,

7、3,.)組合數(shù)學(xué)模擬練習(xí)題參考答案 亠、填空題1、6；2、nW；3、n2；4、6 ;5、4612357.6、2 n；7、420;8、 29、9 ;10、Po2rP12rP22r11、60 ；12、 2；13、特征方程；nn rD(nr)；15、0f(r0 k) rr k 1 k.14、二、單項(xiàng)選擇題1、C ；2、B；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、B；8、C ；9、C ；10、D；三、解答題1.解：設(shè)有限多重集S = 4?紅球，5?白球,則9-重復(fù)排列數(shù)為:45?= 126即9個(gè)球有126種不同的排列方式.2角軍：電視機(jī)有5種選法；洗衣機(jī)有4種選法；冰箱有7種選法.324由乘法法則

8、得，3.解：從多重集1, 3?2, 3?3, 2?4, 5產(chǎn)生547共有2100種選法.324無重復(fù)的四位數(shù)有：P54個(gè)；有1個(gè)2-重復(fù)的四位數(shù)有：314 4!個(gè).2 2!有2個(gè)2-重復(fù)的四位數(shù)有：32旦個(gè).2!2! 有1個(gè)3-重復(fù)的四位數(shù)有：214 4!個(gè).13!個(gè)；共有120 + 216 + 18 + 32 = 386個(gè)四位數(shù)。4.解：第1,2位重復(fù)有9 9 ；1 1第1,3位重復(fù)有第2, 3位重復(fù)有99共有3 11243個(gè)重復(fù)數(shù)碼的三位數(shù).5. 解：S =a, b, c, d, e，按組合生成算法S的所 有3 組合：abc abd abe acd ace adebcd bce bde c

9、de6. 解：按照字典序排列算法，集合 S =1, 2, 3,4的3124后全排列為：3124 3142 3214 3241 341234214123 4132 4213 4231 431243217. 解：令A(yù),A2和A分別表示1到300之間能被3, 5和7整除的整數(shù)集合，則有300300300|A1 |3100, |A2 |560, |A3 |742,300“ “300300 crA1A2 |20,|AA3 |14, |A2A3 |83 53 75 7“ .300rA1A2A3|23 5 7根據(jù)容斥原理知：| A A Ad 300 (100 60 42) (20 14 8) 2 138.8

10、. 解：求8個(gè)數(shù)字全排列中只有4個(gè)數(shù)字不在原來位置上，其余4個(gè)數(shù)字保持不動(dòng)，相當(dāng) 于4個(gè)數(shù)字的移位排列，其數(shù)目為：1 1D(4)4! (11! 2!12 419.24(-216故8個(gè)數(shù)字的全排列中只有4個(gè)數(shù)字不在原來位置上的排列數(shù)為O36356 27 4009! 48 400 49. 解：去掉首尾兩個(gè)小時(shí)，在其余 6個(gè)小時(shí)內(nèi)加工了 30個(gè)零件,把這6個(gè)小時(shí)分成3個(gè)“連續(xù) 的兩個(gè)小時(shí)”（抽屜），根據(jù)抽屜原理：一定存在 連續(xù)的兩個(gè)小時(shí)，這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)至少加工了10個(gè)零件。10. 解：把邊長為2的正方形，分成4個(gè)邊長為 1的小正方形，這4個(gè)小正方形組成4個(gè)抽屜， 根據(jù)抽屜原理：正方形內(nèi)任意5點(diǎn)必有兩點(diǎn)

11、落入 一個(gè)小正方形內(nèi)，而小正方形內(nèi)兩點(diǎn)間距離不超 過邁（對角線長），所以正方形內(nèi)必有兩點(diǎn)，其距 離不超過2。11. 解：數(shù)值函數(shù)f = 1,7,7 2,73,.的生成函 數(shù)F(x) 1 7x 72x273x3.231(7 x) (7x)(7x).1 K(|7x| 1)數(shù)值函數(shù)f = 1,6,62,6 3,.的生成函數(shù)F(x) 1 6x 62x263x3.231(6x)(6x)(6x).1.(|6x| 1)1 6x所以卷積f * g的生成函數(shù)為1(16x)(17x)12.解：設(shè)數(shù)值函數(shù)n nn3丄,其生成函數(shù)n nF(x) o 1 x(1 x)n兩邊對X求導(dǎo)nF(x) 11n 1n(1 x)n

12、1n2x2 + 6x + 9 = 0 解得特征根為-3, - 3.因此齊次通解(A + Br) (-3) r設(shè)非齊次的特解為 C,代入遞推關(guān)系式有13.解：特征方程為:C + 6C + 9C = 3所以特解為C16非齊次的通解B)( 3)r畧為一般解，由邊界條件得A 0163(A B)( 3) 16 1解此線性方程組得唯一解A , B 16 12因此所求的解為ar168x + 16 = 03 r 1 r 存3)r存3)r14.解：特征方程為：x2解得特征根為4, 4因此ar = (A + Br)4 r為一般解，由邊界條件得A 1(A B)40解此線性方程組得唯一解A = 1, B = 1因此所

13、求的解為rar ( 1r)415.解：由5人總坐在前排，在前排選5個(gè)座位, 有C85 5!種坐法；由4人總坐在后排，在后排選4個(gè)座位，有C84 4!種坐法;在余下的7個(gè)座位中選5個(gè)座位，給余下的5人坐，有C75 5!種坐法；所以學(xué)生入座共有C85 5! C84 4! C75 5! = 28 449 792 000種方式.16 .解：僅有beg模式，或cad模式的排列數(shù)都 是P(5,5)=5!(將模式捆在一起視為一個(gè)元素，再 和其余4個(gè)元素構(gòu)成5個(gè)元素的全排列)。即有 beg模式又有cad模式出現(xiàn)的排列數(shù)為3！。根據(jù) 容斥原理，符合題意的排列數(shù)是7! 2X 5!+ 3!= 4 80617. 解：

14、按照字典序排列算法，集合S =123,4 的前面12個(gè)全排列為：1234 1243 1324 1342 142314322134 2143 2314 2341 24132431.18. 解：求8個(gè)字母全排列中只有4個(gè)元素不在 原來位置上，其余4個(gè)字母保持不同，相當(dāng)于4 個(gè)字母的移位排列，其數(shù)目為:D(4)4!(112 4111111!2!3!4!9.124(2 6故8個(gè)字母的全排列中只有4個(gè)元素不在原來D(!4!位置上的排列數(shù)為19. 解：10位代表認(rèn)識的人數(shù)有1、2、3、4、5、6、7、8 9,共九種情況(抽屜)，根據(jù)抽屜原 理: 10個(gè)代表中至少有兩位代表認(rèn)識的人數(shù)相20. 解：數(shù)值函數(shù)f

15、 = 1, - 3,32, -33,.的生成函 數(shù)F(x) 1 3x 32 x233x3231(3x)(3x)(3x)13x.(|3x| 1)21. 解：特征方程為：x2- 5x+6 = 0解得特征根為2, 3.因此h(n) = A2n + B3n為一般解，由邊界條件得A B 02A 3B 1解此線性方程組得唯一解A = - 1, B = 1 因此所求的解為h(n) = 3n 2n.是6. 1. n nk 0 k7-2,0,* * * 7,3,114. 記移位排列數(shù)為D(n)，則r定位排列數(shù)N(r)=。15. 數(shù)值函數(shù)的推遲函數(shù) Sk(f)= 。二、單項(xiàng)選擇題1、數(shù)值函數(shù)f = (1,1,1,.)的生成函數(shù)F(x)=()A、(1+x)nB、1 x C、(1 x) _ * 1D、(1+x) _ n2、遞推關(guān)系f(n) = 4f(n 1) 4f(n 2)的特征方程有重根2,則()是它的一般解。A、C12n 1+C22nB、(C1+C2n)2nC、