直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用

上傳人:hjk****65 文檔編號:45400052 上傳時間:2021-12-07 格式:DOC 頁數(shù):3 大?。?8.50KB
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1、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用崔佰華在必修本和選修本中分別學(xué)習(xí)了直線的方程和圓錐曲線的內(nèi)容,它們都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一,若將兩者結(jié)合起來,復(fù)雜的推理和大量的運(yùn)算更使學(xué)生望而生畏。如果通過直線方程的另一種形式參數(shù)式,則可能使問題的解決變得簡單了,而且可以讓我們從一個嶄新的角度去認(rèn)識這些問題。一、求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)例1一個小蟲從P(1,2)出發(fā),已知它在 x軸方向的分速度是3,在y軸方向的分速度是4,問小蟲3s后的位置Q。分析:考慮t的實(shí)際意義,可用直線的參數(shù)方程(t是參數(shù))。解:由題意知則直線PQ的方程是,其中時間t 是參數(shù),將t=3s代入得Q(8,12)。例2求點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線

2、l:2x 3y +1 =0的對稱點(diǎn)A' 的坐標(biāo)。解:由條件,設(shè)直線AA' 的參數(shù)方程為 (t是參數(shù)),A到直線l的距離d = , t = AA' = ,代入直線的參數(shù)方程得A' ( ,)。點(diǎn)評:求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的基本方法是先作垂線,求出交點(diǎn),再用中點(diǎn)公式,而此處則是充分利用了參數(shù) t 的幾何意義。二、求解中點(diǎn)問題例3已知雙曲線 ,過點(diǎn)P(2,1)的直線交雙曲線于P1,P2,求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析:中點(diǎn)問題與弦長有關(guān),考慮用直線的參數(shù)方程,并注意有t1 +t2=0。解:設(shè)M(x0,y0)為軌跡上任一點(diǎn),則直線P1P2的方程是(t是參數(shù)),代入雙

3、曲線方程得:(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0,由題意t1 +t2=0,即2x0cos y0sin =0,得。又直線P1P2的斜率 ,點(diǎn)P(2,1)在直線P1P2上,即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。三、求定點(diǎn)到動點(diǎn)的距離例4直線l過點(diǎn)P(1,2),其參數(shù)方程為(t是參數(shù)),直線l與直線 2x +y 2 =0 交于點(diǎn)Q,求PQ。解:將直線l的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,代入 2x +y 2 =0得 t' = , PQ = | t'| = 。點(diǎn)評:題目給出的直線的參數(shù)并不是位移,直接求解容易出錯,一般

4、要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。例5經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),傾斜角為 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A,B兩點(diǎn),求PA +PB和PA · PB的值。解:直線l的方程可寫成,代入圓的方程整理得:t2 +t4=0,設(shè)點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別是t1 ,t2,則t1 +t2 = ,t1 ·t2 = 4,由t1 與t2的符號相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = = 3,PA · PB =| t1 · t2 | = 4。點(diǎn)評:解決本題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù),二是注意兩個點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)的符號的異同。四、求直線與曲線相交弦

5、的長例6已知拋物線y2 = 2px,過焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),求證:。分析:弦長AB = |t1 t2|。解:由條件可設(shè)AB的方程為(t是參數(shù)),代入拋物線方程,得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0,由韋達(dá)定理:, AB = |t1 t2| = = = 。例7已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,過橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若FA =2FB,求則橢圓的離心率。分析:FA =2FB轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解:設(shè)橢圓方程為 ,左焦點(diǎn)F1(c,0),直線AB的方程為,代入橢圓整理可得:(b2 +a2)t2 b2ct b4 = 0,由于t1= 2t2,則,2×2+得:,將b2 =a2 c2代入,8 c2 = 3 a2 + a2 c2,得 ,故e = 。在研究線段的長度或線段與線段之間的關(guān)系時,往往要正確寫出直線的參數(shù)方程,利用 t 的幾何意義,結(jié)合一些定理和公式來解決問題,這是直線參數(shù)的主要用途;通過直線參數(shù)方程將直線上動點(diǎn)坐標(biāo)用同一參變量 t 來表示,可以將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題來求解,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。3

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