直線的參數(shù)方程及其應用

直線的參數(shù)方程及其應用崔佰華在必修本和選修本中分別學習了直線的方程和圓錐曲線的內(nèi)容，它們都是高考的重點內(nèi)容，也是學生學習的難點之一，若將兩者結合起來，復雜的推理和大量的運算更使學生望而生畏。如果通過直線方程的另一種形式參數(shù)式，則可能使問題的解決變得簡單了，而且可以讓我們從一個嶄新的角度去認識這些問題。一、求直線上點的坐標例1一個小蟲從P（1，2）出發(fā)，已知它在 x軸方向的分速度是3，在y軸方向的分速度是4，問小蟲3s后的位置Q。分析：考慮t的實際意義，可用直線的參數(shù)方程(t是參數(shù))。解：由題意知則直線PQ的方程是，其中時間t 是參數(shù)，將t=3s代入得Q（8，12）。例2求點A（1，2）關于直線l：2x 3y +1 =0的對稱點A' 的坐標。解：由條件，設直線AA' 的參數(shù)方程為 (t是參數(shù))，A到直線l的距離d = ， t = AA' = ，代入直線的參數(shù)方程得A' ( ，)。點評：求點關于直線的對稱點的基本方法是先作垂線，求出交點，再用中點公式，而此處則是充分利用了參數(shù) t 的幾何意義。二、求解中點問題例3已知雙曲線 ，過點P（2，1）的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點M的軌跡方程。分析：中點問題與弦長有關，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。解：設M(x0，y0)為軌跡上任一點，則直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由題意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直線P1P2的斜率 ，點P（2，1）在直線P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。三、求定點到動點的距離例4直線l過點P(1，2)，其參數(shù)方程為(t是參數(shù))，直線l與直線 2x +y 2 =0 交于點Q，求PQ。解：將直線l的方程化為標準形式，代入 2x +y 2 =0得 t' = ， PQ = | t'| = 。點評：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯，一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標準形式。例5經(jīng)過點P(1，2)，傾斜角為 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點，求PA +PB和PA · PB的值。解：直線l的方程可寫成，代入圓的方程整理得：t2 +t4=0，設點A，B對應的參數(shù)分別是t1 ，t2，則t1 +t2 = ，t1 ·t2 = 4，由t1 與t2的符號相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = = 3，PA · PB =| t1 · t2 | = 4。點評：解決本題的關鍵一是正確寫出直線的參數(shù)，二是注意兩個點對應的參數(shù)的符號的異同。四、求直線與曲線相交弦的長例6已知拋物線y2 = 2px，過焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，求證：。分析：弦長AB = |t1 t2|。解：由條件可設AB的方程為(t是參數(shù))，代入拋物線方程，得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，由韋達定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例7已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A，B兩點，若FA =2FB，求則橢圓的離心率。分析：FA =2FB轉化成直線參數(shù)方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解：設橢圓方程為 ，左焦點F1（c，0），直線AB的方程為，代入橢圓整理可得：(b2 +a2)t2 b2ct b4 = 0，由于t1= 2t2，則，2×2+得：，將b2 =a2 c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2 c2，得 ，故e = 。在研究線段的長度或線段與線段之間的關系時，往往要正確寫出直線的參數(shù)方程，利用 t 的幾何意義，結合一些定理和公式來解決問題，這是直線參數(shù)的主要用途；通過直線參數(shù)方程將直線上動點坐標用同一參變量 t 來表示，可以將二元問題轉化為一元問題來求解，體現(xiàn)了等價轉化和數(shù)形結合的數(shù)學思想。3