新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修5 第三章3.2 基本不等式與最大小值 作業(yè) Word版含解析

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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練 1已知 a，bR，且 a2b24，那么 ab( ) A有最大值 2，有最小值2 B有最大值 2，但無(wú)最小值 C有最小值 2，但無(wú)最大值 D有最大值 2，有最小值 0 解析：選 A.這里沒(méi)有限制 a，b 的正負(fù)，則由 a2b24，a2b22|ab|，得|ab|2，所以2ab2，可知 ab 的最大值為 2，最小值為2. 2若 x4，則函數(shù) yx1x4( ) A有最大值6 B有最小值 6 C有最大值2 D有最小值 2 解析：選 B.x4，x40，yx1x4(x4)1x44246.當(dāng)且僅當(dāng) x41x4，即 x5 時(shí)，取“”號(hào) 3已知 x、y 為正實(shí)數(shù)，且 x4y

2、1，則 xy 的最大值為( ) A.14 B.18 C.116 D.132 解析：選 C.x、y 為正實(shí)數(shù)，xy14x4y14x4y22116，當(dāng)且僅當(dāng) x4y 且 x4y1，即 x12，y18時(shí)取等號(hào) 4點(diǎn) P(x，y)是直線 x3y20 上的動(dòng)點(diǎn)，則代數(shù)式 3x27y有( ) A最大值 8 B最小值 8 C最小值 6 D最大值 6 解析：選 C.點(diǎn) P(x，y)在直線 x3y20 上， x3y2. 3x27y3x33y2 3x33y2 3x3y2 326.當(dāng)且僅當(dāng) x3y，即 x1，y13時(shí)，等號(hào)成立代數(shù)式 3x27y有最小值 6. 5將一根鐵絲切割成三段，做一個(gè)面積為 2 m2、形狀為直

3、角三角形的框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 解析：選 C.設(shè)兩直角邊分別為 a、b，直角三角形的框架的周長(zhǎng)為 l，則12ab2，lab a2b22 ab 2ab42 26.828(m)故選 C. 6已知 x，y 都是正數(shù)， (1)如果 xy15，則 xy 的最小值是_； (2)如果 xy15，則 xy 的最大值是_ 解析：(1)因?yàn)?x，y 都是正數(shù)，且 xy15，由基本不等式得 xy2 xy2 15.當(dāng)且僅當(dāng) xy 15時(shí)，取等號(hào) (2)因?yàn)?x，y 都是正數(shù)，且 xy15，由基本不等式得 xyxy221

4、5222254.當(dāng)且僅當(dāng) xy7.5 時(shí)，取等號(hào) 答案：(1)2 15 (2)2254 7一批救災(zāi)物資隨 26 輛汽車從某市以 v 千米/時(shí)的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長(zhǎng) 400 千米，為了安全起見(jiàn)，兩輛汽車的間距不得小于v202千米，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要_小時(shí) 解析： 從第一輛車出發(fā)到最后一輛車到達(dá)目的地共需要的時(shí)間 y400v25v202v400v25v4002400v25v40010.當(dāng)且僅當(dāng) v80 時(shí)，等號(hào)成立 答案：10 8有下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程： a，b(0，)， baab2baab2； x，y(0，)， lg xlg y2 lg xlg y； aR，a0， 4a

5、a24aa4； x，yR，xy0， xyyxxyyx 2xyyx2. 其中正確推導(dǎo)過(guò)程的序號(hào)為_ 解析：從基本不等式成立的條件考慮 a，b(0，)， ba，ab(0，)，符合基本不等式的條件，故推導(dǎo)正確； 雖然 x，y(0，)，但當(dāng) x(0，1)時(shí)，lg x 是負(fù)數(shù)，y(0，1)時(shí)，lg y 是負(fù)數(shù)， 故的推導(dǎo)過(guò)程是錯(cuò)誤的； 的推導(dǎo)過(guò)程中 aR，不符合基本不等式的條件， 故4aa24aa4 是錯(cuò)誤的 對(duì)于，由 xy0，求證：x22x132. 證明：x0，x120，x22x1x1x12x121x12122x121x121232.當(dāng)且僅當(dāng) x121x12，即 x12時(shí)等號(hào)成立 10用一塊鋼錠燒鑄一

6、個(gè)厚度均勻，且表面積為 2 平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖所示)，設(shè)容器高為 h 米，蓋子邊長(zhǎng)為 a 米 (1)求 a 關(guān)于 h 的解析式； (2)設(shè)容器的容積為 V 立方米，則當(dāng) h 為何值時(shí)，V 最大？并求出 V 的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度) 解：(1)設(shè) h是正四棱錐的斜高，由題設(shè)，得 a2412ha2，h214a2h2，消去 h， 解得 a1h21(a0) (2)由 V13a2hh3（h21）(h0)， 得 V13h1h.而 h1h2h1h2. 所以 V16，當(dāng)且僅當(dāng) h1h，即 h1 時(shí)，等號(hào)成立 故當(dāng) h1 米時(shí)，V 有最大值，V 的最大值為16立方米 高考水平訓(xùn)練 1在

7、區(qū)間12，2 上，函數(shù) f(x)x2bxc(b，cR)與 g(x)x2x1x在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么 f(x)在區(qū)間12，2 上的最大值是( ) A.134 B4 C8 D.54 解析：選 B.g(x)x2x1xx1x13，當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng) x1 時(shí)取最小值 3，所以 f(x)的對(duì)稱軸是 x1，所以 b2.再把(1，3)代入即得 c4.所以 f(x)x22x4，易得在12，2 上的最大值是 f(2)4444. 2若實(shí)數(shù) a，b，c 滿足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，則 c 的最大值是_ 解析：2a2b2ab， 2ab2a2b2 2a2b2 2ab，即 2ab2

8、 2ab. 2ab4. 又2a2b2c2abc， 2ab2c2ab2c，即 2c2ab()2c1 . 2c2c12ab4，即2c2c14，432c2c10， 2c43，clog2432log23， c 的最大值為 2log23. 答案：2log23 3(1)若 x、yR，且 2x8yxy0，求 xy 的最小值； (2)若 x1，求 yx23x3x1的最小值 解：(1)由 2x8yxy0，得 2x8yxy， x、yR，2y8x1， xy(xy)8x2y108yx2xy1024yxxy10224yxxy18. 當(dāng)且僅當(dāng)4yxxy，即 x2y 時(shí)取等號(hào)，又 2x8yxy0， 當(dāng) x12，y6 時(shí)，x

9、y 取最小值 18. (2)法一：yx23x3x1（x1）2x2x1 （x1）2（x1）1x1(x1)1x11. x1，x10.y(x1)1x11213. 當(dāng)且僅當(dāng) x11x1，即 x0 時(shí)，函數(shù)有最小值 3. 法二：令 x1t，則 xt1. yx23x3x1（t1）23（t1）3t t2t1tt1t1. x1，tx10. yt1t12t1t13. 當(dāng)且僅當(dāng) t1t，即 t1，即 x0 時(shí)，函數(shù)有最小值 3. 4 某工廠擬建一座平面圖為矩形， 面積為 200 m2， 高度一定的三段污水處理池(如圖) 由于受地形限制，其長(zhǎng)、寬都不能超過(guò) 16 m，如果池的外壁的建造費(fèi)單價(jià)為 400 元/m，池中

10、兩道隔墻的建造費(fèi)單價(jià)為 248 元/m，池底的建造費(fèi)單價(jià)為 80 元/m2，試設(shè)計(jì)水池的長(zhǎng) x 和寬y(xy)，使總造價(jià)最低，并求出這個(gè)最低造價(jià) 解：設(shè)污水池長(zhǎng)為 x m，則寬 y200 x m，且 0 x16，0200 x，設(shè)總造價(jià)為Q(x)，則 Q(x)400(2x2200 x)2482200 x80200800(x324x)16 0001 600 x324x16 00044 800.當(dāng)且僅當(dāng) x324x(x0)，即 x18 時(shí)取等號(hào)，44 800 不是最小值 又0 x16，0200 x， 10 2x16，而 Q(x)在(10 2，16上單調(diào)遞減， Q(x)Q(16)800(1632416)16 00045 000(元) 故水池長(zhǎng)為 16 m，寬為 12.5 m 時(shí)，其總造價(jià)最低，最低造價(jià)為 45 000 元