機(jī)器視覺應(yīng)用實例第二章

《機(jī)器視覺應(yīng)用實例第二章》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《機(jī)器視覺應(yīng)用實例第二章（39頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,第二章 空間幾何變換與攝像機(jī)模型,2.1 空間幾何變換,2.2 幾何變換的不變量,2.3 歐式空間的剛體變換,2.4 攝像機(jī)透視投影模型,2.5 攝像機(jī)透視投

2、影近似模型,空間幾何變換與計算機(jī)視覺有著密切的關(guān)系，是計算機(jī)視覺的重要數(shù)學(xué)工具之一！,2.1 空間幾何變換,空間幾何變換描述的是空間幾何從一種狀態(tài)按照一定的原則轉(zhuǎn)換到另一種狀態(tài),2.1.1 齊次坐標(biāo),齊次坐標(biāo)：,所謂齊次坐標(biāo)就是用n+1維矢量表示一個n維矢量。n維空間中點的位置矢量用非齊次坐標(biāo)表示時，具有n個坐標(biāo)分（P,1,P,2,.,P,n,)，且是唯一的。若用齊次坐標(biāo)表示時，此矢量有n+1個坐標(biāo)矢量（hP,1,hP,2,.,hP,n,h)，且不是唯一。,例：,若二維點（x,y）的齊次坐標(biāo)表示為（hx,hy,h）,則（h,1,x,h,1,y,h,1,)，(h,2,x,h,2,y,h,2,)，

3、.，（h,m,x,h,m,y,h,m,)都表示二維空間中同一點（x,y)的齊次坐標(biāo)。,為什么要使用齊次坐標(biāo)？,齊次坐標(biāo)的,優(yōu)越性,有以下兩點,：,1、提供了用矩陣運算二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標(biāo)系換到另一個坐標(biāo)系的有效方法。,2、可以表示無窮遠(yuǎn)點。,例：n+1維中，h=0的齊次坐標(biāo)實際上表示了一個n維的無窮遠(yuǎn)點。,2.1.2 射影變換（projective transformation),射影變換是一個最為廣義的線性變換,一維射影變換,如右圖所示：過O點的直線束分別交直線L,1,與L,2,于A,B,C,D和A,B,C,D。對于L,1,上的任意一點，例如，點A，總可以在L,2,上

4、找到與其對應(yīng)的點A，A為OA射線與L,2,的交點。,當(dāng)OA與L,2,平行時，則定義OA與,L,2,的交點A為L,2,上的無窮遠(yuǎn)點。,實際上這種幾何關(guān)系給出了L,1,與L,2,之間的一個一一對應(yīng)的變換，稱之為,一維中心射影變換,。,以上兩個中心射影變換的積就表示了L,1,到L,3,之間的變換關(guān)系，于是我們就稱,由有限次中心射影變換的積定義的兩條直線間的一一對應(yīng)變換為,一維射影變換,。,同樣，L2上的點列A,B,C,D又可以通過以另一點O為中心的一維中心射影變換為L3上的點列A,B,C,D。,n維射影空間的射影變換可以用代數(shù)式表示為y=T,P,x，其中，為一比例因子，x與y分別為變換前后空間店的齊

5、次坐標(biāo)，x=(x,1,x,2,.,x,n+1,),T,，y=(y,1,y,2,.,y,n+1,),T,T,P,為滿秩的（n+1),(n+1)矩陣。攝影變換由T,P,矩陣決定，矩陣T,P,有（n+1),2,個參數(shù)，但T,P,與,k,T,P,表示同一變換（因等式兩邊都是齊次坐標(biāo)），故T,P,的獨立參數(shù)為（n+1),2,1。,以一維射影變換為例寫出上述變換：,由該式得：,由以上兩式相除，并取,，,，得到變換前后點的非齊次坐標(biāo)的關(guān)系,射影變換中用非齊次坐標(biāo)表示的關(guān)系是非線性的。,如右圖所示,在三維射影空間，射影變換矩陣Tp可以表示為：,式中，Tp為4,4可逆矩陣，它有16個參數(shù)，但可以用一個非零的比例

6、因子歸一，因此有15個自由度。,仿射變換,是射影變換的特例，在射影變換中，當(dāng)射影中心平面變?yōu)闊o限遠(yuǎn)處時，射影變換就變成了仿射變換。如圖所示：,2.1.3 仿射變換（affine transformation),同樣，以一維仿射變換為例寫出上述變換,將以上兩式相除得到變化前后點的非齊次坐標(biāo)關(guān)系：,由上式得：,可以看出用非齊次坐標(biāo)表示的射影變換為非線性變換，而仿射變換為線性變換。,三維仿射空間，仿射變換矩陣可以表示為：,用其次坐標(biāo)，上式可重新寫成y=T,A,x，其中仿射變換矩陣T,A,可以表示為：,仿射變換有12個自由度。,2.1.4 比例變換（metric transformation),比例變

7、換,是帶有一比例因子的歐氏變換。,比例變換不改變物體空間的形狀，只是改變大小,，所以有時將比例變換稱為相似變換。,在三維比例空間中其變換形式可表示為：,是比例因子，稱為縮放因子。,用齊次坐標(biāo)，上式可重新寫成y=T,M,x，其中比例變換矩陣T,M,可以表示為：,r,ij,組成了一個正交矩陣。它是一旋轉(zhuǎn)矩陣，該旋轉(zhuǎn)矩陣有3個自由度。,比例變換有7個自由度，其中3個旋轉(zhuǎn)，3個平移和1個比例因子。,2.1.5 歐氏變換（Euclidean transformation),歐氏變換,是在歐式空間進(jìn)行的變換，與比例變換很類似，只是比例因子取為1。,歐氏變換代表了在歐式空間中的剛體運動或剛體變換。,在三維歐

8、式空間其變換形式為：,r,ij,組成了一個正交矩陣。它是一旋轉(zhuǎn)矩陣，該旋轉(zhuǎn)矩陣有3個自由度。,用齊次坐標(biāo)，上式可重新寫成y=T,E,x，其中歐氏變換矩陣T,E,可以表示為：,歐氏變換有6個自由度，其中3個旋轉(zhuǎn)，3個平移。,2.1 幾何變換的不變量,上節(jié)所講的空間幾何變換中，某些幾何特性在變換前后具有不變化的特性，這樣的特性或特征量稱為,不變特性或不變量,。,不變量廣泛用于計算機(jī)視覺中的特征點的提取及模式識別等，在計算機(jī)視覺中起著重要作用。,2.2.1 簡比（simple ratio)與交比(cross ratio),如圖，直線L上三個點A、B、C，以A、B為基礎(chǔ)點，點C為分點（該點C為內(nèi)分點或

9、外分點），由分點與基礎(chǔ)點所確定的兩個有向線段之比稱為,簡比,，記為,SR(A,B;C)=,一條直線上四個點中的兩個簡比的比值稱為交比，如圖直線L上的四個點A、B、C、D的,交比,為：,CR(A,B;C,D)=,對于上圖中，線束O中任意4條直線的交比稱為,線束交比,CR(l,1,l,2,;l,3,l,4,),既有：,CR(l,1,l,2,;l,3,l,4,)=,2.2.2 不變量,下面給出各種幾何變換的一些基本且重要的不變形和不變量，在此不做證明。,射影變換不變量和不變性如下：,1、同素性（幾何元素點、線、面等變換后仍保持原先的種類）和接合性是射影不變換性質(zhì)；,2、保持直線上點列的交比不變；,3

10、、保持線束的交比不變；,4、如果平面內(nèi)有一線束的四直線被任一直線所截，則截點列的交比和線束的交比相等；,5、點列交比是射影變換的基本不變量，是射影變換的充分必要條件，且共線四點交比具有如下特性：（如前頁圖所示）,1) CR(A,B;C,D)=CR(C,D;A,B);,2) CR(A,B;C,D)=CR(B,A;D,C);,3) CR(A,B;C,D)=1/CR(A,B;D,C)=1/CR(B,A;C,D);,4) CR(A,B;C,D)=1CR(A,C;B,D)=1CR(D,B;C,A)。,仿射變換除具有以上射影變換不變性外，還具有如下特性：,仿射變換是攝影變換的特例,1、兩條直線間的平行性是

11、仿射變換的不變換；,2、共線三點的簡比是仿射變換的基本不變量；,3、兩個三角形的面積之比是仿射不變量；,4、兩條封閉曲線所圍成的面積之比是仿射不變量。,比例變換不變性：,比例變換除具有仿射變換的不變性外，還保持兩條相交直線的夾角不變，因此，其形狀保持不變。,歐氏變換不變性：,歐氏變換不僅保持兩條相交直線的夾角不變，而且還保持任意兩點的距離不變，因此其形狀和大小均保持不變。,不變量在計算機(jī)視覺中有著廣泛應(yīng)用，下面我們來看一個交比應(yīng)用于空間平面多邊形識別的例子：,右圖示出了空間平面多邊形的一種攝影關(guān)系，為清晰起見，空間平面多邊形ABCDEF及其射影多邊形ABCDEF分別重繪如下：,由交比的不變性，

12、有：,CR(P,1,P,2;,P,3,P,4,)=CR(P,1,P,2,;P,3,P,4,),在空間平面中有：,CR(P,1,P,2,;P,3,P,4,)=CR(AB,AE;AC,AD),類似地，在投影平面中，也可以得到：,CR(P,1,P,2,;P,3,P,4,)=CR(AB,AE;AC,AD),于是對于頂點A及其投影點A，有：,CR(AB,AE;AC,AD)=CR(AB,AE;AC,AD),即由頂點的其他四個相鄰頂點連線計算的交比是射影不變的。同理，對其他頂點也可分別計算出其交比值，于是得到一個交比序列。因此，對于平面多邊形的頂點A,B,C,D,E,F,得到交比序列：,CR=(CR,A,C

13、R,B,CR,C,CR,D,CR,E,CR,F,),其維數(shù)為多邊形的頂點數(shù)。另外，多邊形各頂點的凹凸性在射影變換中是不變的。于是，可以把各頂點凹凸性加入到交比序列中，如以正值表示凸頂點，以負(fù)值表示凹頂點，形成該平面多邊形的一個,特征矢量CR。,特征矢量CR反映了空間平面多邊形的結(jié)構(gòu)和形狀，可由投影圖像精確獲得其與視點位置無關(guān)，可以作為平面多邊形的一個不變形狀描述子，能定量地區(qū)分兩個相似形狀的細(xì)微差別。,2.3 歐氏空間的剛體變換,計算機(jī)視覺中，剛體變換通常用于兩個方面：,一是,計算一個剛體經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移后的新坐標(biāo)，,另一是,計算同一個剛體在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。本節(jié)介紹剛體變換的過程和旋轉(zhuǎn)矩陣的

14、表示形式。,2.3.1 剛體變換過程,在歐氏空間當(dāng)物體被看做理想的剛體時，無論該物體的位置和方向發(fā)生任意變化，或者是在不同的坐標(biāo)系觀察同一物體，物體的形狀和大小均保持不變，并且都可看成是剛體坐標(biāo)的變換。,如圖，在歐氏空間有一點P，P點在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是p=(x,y,z),T,和p=(x,y,z),T,則有下列變換公式：,p=Rp+,t,t=(t,x,t,y,t,z,),T,是一個三維向量，稱為平移向量，表示第一個坐標(biāo)系遠(yuǎn)點在第二個坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。,R是一個33的正交矩陣且它的行列式值等于一，表示旋轉(zhuǎn)變換。,且有：,該式表明P點在第二個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p是由其在第一個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p通過旋

15、轉(zhuǎn)和平移變換得到的。,旋轉(zhuǎn)矩R有9個參數(shù)，但并不是互相獨立的，具有如下特性：,1、RR,T,=R,T,R=I,因此R,-1,=R,T,;,2、|RU|=|U|;,3、RURV=UV;,4、RURV=R(UV)。,其中，I是3,3單位矩陣，U和V為兩個任意的三維向量，| |為向量的模。,因此，R只有3個獨立參數(shù)，即R的9個元素滿足以下六個約束條件：,實際上，式p=Rp+,t描述了第一個坐標(biāo)系到第二個坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換過程，即旋轉(zhuǎn)第一個坐標(biāo)系，使其方向與第二個坐標(biāo)系完全一致，然后再將第一個坐標(biāo)系平移到第二個坐標(biāo)系的位置上，則兩個坐標(biāo)系完全重合,。,2.3.2 旋轉(zhuǎn)矩陣的表示形式,比較常用的旋轉(zhuǎn)矩陣的表示

16、形式有三種：歐拉角表示法、四元數(shù)表示法和旋轉(zhuǎn)軸表示法，本節(jié)主要介紹前兩種表示法。,1、歐拉角表示法：,如圖：被稱為,歐拉角的三個角度、和,能很好描述剛體的旋轉(zhuǎn)變換：,繞x軸旋轉(zhuǎn)角（偏轉(zhuǎn)）,；,繞y軸旋轉(zhuǎn)角（俯仰）,，,繞z軸旋轉(zhuǎn)角（側(cè)傾）,。各角度旋轉(zhuǎn)正方向定義為從坐標(biāo)系原點沿各軸正方向觀察時的逆時針旋轉(zhuǎn)方向。且對應(yīng)上節(jié)定義的旋轉(zhuǎn)矩陣R，有如下關(guān)系：,用旋轉(zhuǎn)矩陣表示剛體的旋轉(zhuǎn)變換簡化了許多運算，但它需要9個元素來完全描述這種旋轉(zhuǎn)變換，比較麻煩。,2、四元數(shù)表示法：,四元數(shù)是一個四元矢量q=(q,1,q,2,q,3,q,4,),可用來描述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。,如圖所示，對于二維平面上的單位圓，單位圓的任何

17、一個位置對應(yīng)于一個旋轉(zhuǎn)角，即極角。聯(lián)想三維空間中的單位球體，任意一個位置對應(yīng)于繞x軸和繞y軸旋轉(zhuǎn)的兩個角,、，但是繞z軸的旋轉(zhuǎn)角卻無法描述。這時考慮如果再增加一個自由度就可以表示所有三個旋轉(zhuǎn)角，這樣就產(chǎn)生了,四維空間的單位球，,且定義如下：,三維空間中的所有三個旋轉(zhuǎn)角度可以通過四維單位球上的點來表示，四維單位球上點的四元坐標(biāo)構(gòu)成了,單位四元數(shù)。,一個旋轉(zhuǎn)可以用兩個單位四元數(shù)來表示（q和-q），但是，給定一個四元數(shù)只對應(yīng)唯一一個旋轉(zhuǎn)。針對計算機(jī)視覺，旋轉(zhuǎn)角一般不超過，所以可附加條件，保證一個四元數(shù)的第一個元素為正。這樣，旋轉(zhuǎn)和四元數(shù)之間就有了一一對應(yīng)關(guān)系。,用單位四元數(shù)表示剛體變換的旋轉(zhuǎn)矩陣（即

18、上節(jié)定義矩陣R）如下：,其中：,所以：在計算出單位四元數(shù)之后，就可以利用上式計算旋轉(zhuǎn)矩陣。,剛體變換可以很方便的用七個元素(q,0,q,1,q,2,q,3,q,4,q,5,q,6,)表示 ，前四個量是單位四元數(shù)，后三個量是平移量。若用,R(q),表示對應(yīng)于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣，則剛體變換式為：,p=,R(q),p+(q,4,q,5,q,6,),T,2.4 攝像機(jī)透視投影模型,攝像機(jī)通過成像透鏡將三維場景投影到攝像機(jī)二維平面上，這個投影可用成像變換描述，即,攝像機(jī)成像模型。,2.4.1 圖像坐標(biāo)系、攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系,1、圖像坐標(biāo)系：,攝像機(jī)采集的圖像以標(biāo)準(zhǔn)電視信號的形式經(jīng)高速圖像采集系統(tǒng)

19、變換為數(shù)字圖像，并輸入計算機(jī)。,每幅數(shù)字圖像在計算機(jī)內(nèi)為MN數(shù)組，M行N列的圖像中的每一個元素(,稱為像素，pixel,)的數(shù)值即是圖像點的,亮度(或稱灰度)。,如圖，在圖像上定義直角坐標(biāo)系u,v，每一像素的坐標(biāo)(u,v)分別是該像素在數(shù)組中的列數(shù)與行數(shù)，所以，(u,v)是以像素為單位的,圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)。,由于(u,v)只表示像素位于數(shù)組中的列數(shù)與行數(shù)，并沒有用物理單位表示出該像素在圖像中的位置，因此，需要再建立,以物理單位（如mm)表示的圖像坐標(biāo)系,。該坐標(biāo)系以圖像內(nèi)某一點O,1,為原點，X軸Y軸分別于u,v平行。,原點O,1,定義在攝像機(jī)光軸與圖像平面的交點，一般位于圖像中心。,其中，(u

20、,v)表示以像素為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)，(X,Y)表示以mm為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)。如若O,1,在u,v坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（u,0,v,0,)，每一個像素在X軸與Y軸方向上的物理尺寸為dX,dY,則圖像中任意一個像素在兩個坐標(biāo)系下的坐標(biāo)有如下關(guān)系：,為使用方便，用齊次坐標(biāo)與矩陣形式將上式表示為：,逆關(guān)系為：,2、攝像機(jī)坐標(biāo)系：,攝像機(jī)幾何關(guān)系如右圖所示，其中O點稱為攝像機(jī)光心，x軸和y軸與圖像的X軸和Y軸平行，z軸為攝像機(jī)光軸，它與圖像平面垂直。光軸與圖像平面的交點，記為圖像坐標(biāo)系的原點，由點O與x,y,z軸組成的直角坐標(biāo)系為,攝像機(jī)坐標(biāo)系。,OO,1,為攝像機(jī)焦距。,由于攝像機(jī)可安放在環(huán)境

21、中的任意位置，在環(huán)境中選擇一個基準(zhǔn)坐標(biāo)系來描述攝像機(jī)的位置，并用它描述環(huán)境中任何物體的位置，該坐標(biāo)系稱為,世界坐標(biāo)系，,它由X,w,Y,w,Z,w,軸組成（如上圖）。攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以用旋轉(zhuǎn)矩陣R與平移向量t來描述：,3、世界坐標(biāo)系：,其中Xw=(X,w,Y,w,Z,w,1),T,與x=(x,y,z,1),T,分別為空間中某一點P在世界坐標(biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)系下得齊次坐標(biāo)。,R為3,3正交單位矩陣；t為三維平移向量；0=(0,0,0,),T,;M,1,為44矩陣。,2.4.2 針孔成像模型（線性攝像機(jī)模型）,空間任何一點P在圖像中的成像位置可以用針孔成像模型近似表示。,即，任何

22、點P在圖像中的投影位置p，為光心O與P點的連線OP與圖像平面的交點。這種關(guān)系也稱為中心射影或透視投影。,由比例關(guān)系有如下關(guān)系式：,(X,Y)為p點的圖像坐標(biāo);(x,y,z)為空間點P在攝像機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。,用齊次坐標(biāo)和矩陣表示上述透視投影關(guān)系為：,s為一比例因子，P為透視投影矩陣。,將前面所得式子整合，得到一世界坐標(biāo)系表示的P點坐標(biāo)與其投影點p的坐標(biāo)(u,v)的關(guān)系：,且令：M,1,M,2,X,w,=MX,w,其中，,x,=f/dX為u軸上尺度因子，或稱為u軸上歸一化焦距；,y,=f/dY，為v軸上尺度因子，或稱為v軸上歸一化焦距；M為3,3矩陣，稱為投影矩陣；M,1,由,x,、,y,、u,

23、0,、v,0,決定，由于,x,、,y,、u,0,、v,0,只與攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，稱這些參數(shù)為,攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù),；M,2,由攝像機(jī)相對與世界坐標(biāo)系的方位決定，稱為,攝像機(jī)外部參數(shù),。確定某一攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，成為,攝像機(jī)定標(biāo),。,有如下結(jié)論：,1、如果已知攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，就知道投影矩陣M；,2、這時，對于任何空間點P，如已知它的坐標(biāo)X,w,=(X,w,Y,w,Z,w,1)T，就可以 求出它的圖像點p的位置(u,v)。,3、反之，如果已知某空間點P的圖像坐標(biāo)p的位置(u,v)，即使知道攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，X,w,也是不能唯一確定的。,2.4.3 非線性模型,實際上，由于實際的鏡頭并不是理想的透視

24、成像，而是帶有不同程度的畸變，使得空間點所成的像并不在線性模型所描述的位置(X,Y)，而是在受到鏡頭失,真影響而偏移的實際像平面坐標(biāo)(X,Y)處，有：,x,和,y,是線性畸變值，他與圖像點在圖像中的位置有關(guān)。,理論上鏡頭會同時存在徑向畸變和切向畸變。但一般來講切向畸變比較小，徑向畸變的修正量距圖像中心的徑向距離的偶次冪多項式模型來表示，即：,其中,(u0,v0)是主點位置坐標(biāo)的精確值，而：,上式表明，X方向和Y方向的畸變相對值(,x,/X,y,/Y)與徑向半徑的平方成正比，即,在圖像邊緣處的畸變較大,。對一般計算機(jī)視覺，一階徑向畸變已足夠描述非線性畸變，這是可寫成：,線性模型參數(shù),x,、,y,

25、、u,0,、v,0,與非線性畸變參數(shù),k,1,和k,2,一起構(gòu)成了,非線性模型的攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)。,2.4 攝像機(jī)透視投影近似模型,在某些條件下，透視模型可以很好地用線性模型近似。這種近似可大大簡化推導(dǎo)和計算。,例如：攝像機(jī)的視場很小，并且物體的尺寸相對于到攝像機(jī)的距離也很小。,2.5.1 正投影(orthographic projection),特點：,完全忽略了深度信息。,適用情況：,當(dāng)物體到攝像機(jī)的垂直距離（深度信息）和物體到光軸的距離 （位置信息）都可以忽略時。,最簡單的線性近似稱為,正投影。,正投影公式為：,x=X,y=Y。這里,(x,y,z)是三維點在攝像機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，(X,Y)

26、是三維點像點的圖像坐標(biāo)。,2.5.2 弱透視(weak projective),如果攝像機(jī)的視場比較小，而且物體表面深度拜變化相對其到攝像機(jī)機(jī)的距離很小的話，物體上各點的深度可以用以固定的深度值z,0,近似，這個值一般取物體質(zhì)心的深度。這樣的透視稱為,弱透視，,其模型近似為：,這種近似可以看作是兩次投影的合成。,首先,，整個物體按平行于光軸的方向正投影到經(jīng)過物體質(zhì)心并與圖像平面平行的平面上；,然后,，再按透視模型將上述物平面的圖形投影到攝像機(jī)的圖像平面上，這一步實際是全局的放縮。因此，,弱透視也稱為放縮正投影。,弱透視模型可寫成與透視投影類似的形式：,其中：,弱透視模型中，猶豫物體上各點的深度

27、使用一固定值z,0,來近似，因此二維點像和三維點像具有線性對應(yīng)關(guān)系。,下面來推導(dǎo)這種近似帶來的成像誤差。設(shè)三維物點M的實際深度值為z=z,0,+z。該點按透視模型投影為m,p,而弱透視的結(jié)果為m,wp,m,error,為成像誤差，運用泰勒公式得到：,m,error,=m,p,m,wp,1、弱透視模型不僅與物體的深度變化(z)有關(guān)，而且還與物體的位置信息(x,y,z)有關(guān)系；,2、誤差對物體的不同部分是不同的；,3、在實際中使用弱透視模型一般要求物體到攝像機(jī)的距離大于10倍物體表面深度變化。,結(jié)論：,2.5.3 平行透視(paraperspective projective),在,平行透視中,，

28、投影過程仍分為兩個過程：首先仍是把物體平行投影到過質(zhì)心且與像平面平行的平面上，不過這次的投影線不是平行于光軸，而是平行于質(zhì)心G和攝像機(jī)光心O點的連線OG。這克服了物體離光軸較遠(yuǎn)，弱透視帶來的大誤差。另一過程與弱透視相同。平行透視公式為：,(x,0,y,0,z,0,)為質(zhì)心的三維坐標(biāo)。,將該模型寫成與透視投影類似的形式：,其中：,上式表明平行透視中二維像點和三維物點也具有線性對應(yīng)關(guān)系。,下面來推導(dǎo)平行透視引入的誤差，設(shè)三維物點M的實際位置為(x,y,z),T,=(x0+x,y0+x,z0+x),T,用與弱透視類似的方法得到：,m,error,=m,p,m,wp,由誤差表達(dá)式可知，在弱透視情況下，

29、像點誤差是三維點的一階無窮小；在平行透視情況下，像點誤差是三維點的二階無窮小。這說明,平行透視確實是比弱透視更好的近似。,下圖是線性近似和透視模型的比較：,由上圖也可看出，各模型的近似程度和前面分析是一致的。,m,otth,、m,wp,、m,pp,和m,p,分別是物體上的三維點M在正投影、弱透視、平行透視和透視投影下的投影點，G為物體的質(zhì)心。,透視投影還有一種誤差更小的線性近似，即,正透視(orthoperspective),。同樣從兩個過程來考慮，正透視與平行透視的區(qū)別在于第一過程的投影平面不是與圖像平面平行，而是經(jīng)過質(zhì)心和OG(即攝像機(jī)光心和質(zhì)心的連線)垂直。,正透視也可看作以下三步操作的

30、合成：,1、攝像機(jī)繞光心O旋轉(zhuǎn)，直至光軸與OG重合；,2、進(jìn)行弱透視投影；,3、將攝像機(jī)旋轉(zhuǎn)回原位置，這引起圖像平面上的一個仿射變換。,2.5.4 仿射攝像機(jī),觀察在正投影、弱透視和平行透視下的投影矩陣，我們發(fā)現(xiàn)它們都具有如下的形式：,P,A,是3,4矩陣，它決定了一個三維空間到二維平面的線性映射（用齊次坐標(biāo)表示），所以我們把P,A,稱為,仿射攝像機(jī)。,仿射攝像機(jī)具有下列性質(zhì)：,1、保平行性：三維空間的平行線投影為二維空間的平行線；,2、把三維點集的質(zhì)心投影為對應(yīng)二維投影點的質(zhì)心。,仿射攝像機(jī)的,缺點,是幾何意義不明顯，它是前幾節(jié)介紹的各種透視投影線性近似的推廣。這種推廣可按下面兩種方式來理解：,1、允許三維物體作某種非剛性變形。,2、無需標(biāo)定攝相機(jī)內(nèi)參數(shù)。,注意：,仿射攝像機(jī)是實際攝像機(jī)的近似，它只在感興趣目標(biāo)的深度變化相對其深度而言可忽略不計時才適用。,next chapter!,